譚品恒，周闖，鄧文高，張家歐

(廣西大學機械工程學院， 廣西南寧530004)

0 引言

隨著對航空航天領域研究的深入，高精度慣性導航定位成為此領域日益重要和備受關注的研究課題[1-4]。近幾十年來，航空航天陀螺儀也歷經幾代變換升級。其中，半球諧振陀螺儀以其高精度、高可靠性以及壽命長等特點成為陀螺儀里最具發(fā)展前景的一種[5-8]。但也是因為這種特性，使這種陀螺儀中核心結構的石英半球殼(如圖1所示)的制造工藝要求十分精細。在石英半球殼制造工藝過程中難免產生微觀的孔隙與晶相結構變異，造成宏觀的密度和阻尼不均勻等瑕疵[9-11]，這對半球諧振陀螺儀的高精度工作性能有著極大的影響[12-13]。

圖1 半球諧振陀螺儀的結構
Fig.1 Structure of Hemispherical Resonator gyroscope

半球諧振陀螺儀是慣性導航元件中對于物體姿態(tài)測量的模塊，其主要通過二階模態(tài)的振動形成駐波，當基座隨物體旋轉時，由于科氏力的作用，駐波會相對基座產生進動，其中駐波相對激發(fā)振動的進動角度與基座自身旋轉的角度有恒定的比例關系，如公式(1)：

θ=Kφ,

(1)

其中θ為駐波進動角度；K為比例因子；φ為基座旋轉角度。通過感測電極解算測得駐波進動角度θ，根據上式可得到基座旋轉角度，即物體旋轉角度[14]。

無瑕疵的理想狀態(tài)半球殼，其激發(fā)模態(tài)與感測模態(tài)的固有頻率是相同的，然而密度和阻尼瑕疵會使此兩頻率分歧(即所謂的頻率裂解)，并導致測量的角速度有一些誤差，從而嚴重影響半球諧振陀螺儀的工作精度。李巍等[15]也嘗試設計過測試固有剛性軸的方案，但其理論和操作相對復雜，而且缺乏實驗或者仿真支撐。根據目前相關文獻[16]可知，當半球諧振陀螺儀同時存在密度和阻尼瑕疵時，可以在低頻固有剛性軸的所在方位的半球殼唇緣蝕刻去一定的質量，半球殼的固有剛性軸在此蝕刻過程中方位不會發(fā)生變化，以此方法達到減少頻率裂解的目的。本方法建立在這個基礎上，通過強迫振動測試和李薩如圖觀察，能較快較準確地定位固有剛性軸。

1 固有軸系的定義

1.1 固有剛性軸

圖2 固有剛性軸Fig.2 Normal mode axes

半球諧振陀螺儀的誤差主要來源于諧振子的材料、工藝缺陷。其中對諧振子工作駐波影響最大的是密度ρ、楊氏模量E、薄殼的壁厚h等參數的不均勻性的傅里葉展開式的第四次諧波。該諧波的存在導致諧振子中出現(xiàn)2個成45°的固有軸系。如圖2所示，諧振子沿每個軸振動的固有頻率都能達到極大值和極小值。其頻率極大值和極小值的差稱為固有頻率分裂：Δω=ω2-ω1，其中ω1、ω2為固有頻率。固有頻率小的剛性軸即A-A軸(ω1)稱為“重”軸，也稱為小剛度軸；固有頻率大的剛性軸B-B軸(ω2)稱為“輕”軸，也稱為大剛度軸[14]。若將x和y振幅的運動方程式轉換到固有剛性軸上，則運動方程式會變?yōu)榉邱詈闲问?。這樣修正某一軸的頻率，不會影響到另一軸的頻率。

1.2 固有黏性軸

半球諧振子在有阻尼的情況下存在能量耗散使振幅衰減，如果諧振子的品質因數沿半球殼圓周角分布不均勻，即阻尼分布不均勻(阻尼瑕疵)，就使駐波發(fā)生偏移。由于缺陷四次諧波的存在，使得諧振子中出現(xiàn)2個成45°的軸系，稱為“固有黏性軸”(principal damping axes)。諧振子振動的時間常數τ2和τ1沿著2個軸的每一個軸方向將達到極大值和極小值。由材料品質因數不均勻(阻尼分布不均勻)造成的漂移速度一般難于進行機械補償，通常通過算法來補償[14]；這主要是因為品質因數與很多因素有關，如噴鍍導電層、殘留的氣體壓力、空氣微粒落入表面等都將造成品質因數的變化。由于瑕疵的隨機性，固有剛性軸和固有黏性軸一般不會重合。

2 強迫振動穩(wěn)態(tài)時半球諧振子運動呈封閉橢圓狀的證明

2.1 基于笛卡爾坐標系下解析方程式證明

根據二維彈簧—阻尼—質點運動物理模型，參考圖3，本文用Lynch的方法[16]表示半球諧振子在笛卡爾坐標系下的運動方程(2)，其中x軸代表激勵電極所在方向，x代表此方向的質點位移；y軸代表感測電極所在方向，y代表此方向的質點位移。激勵電極與感測電極在實際半球殼上始終保持相隔45°擺放，而在此模型笛卡爾坐標系x-y中，它們分別代表x和y并且始終保持相隔90°，于是在此坐標系下的角度始終為實際半球殼上角度的兩倍。

圖3 諧振半球殼二維彈簧—阻尼—質點運動物理模型Fig.3 Two dimension spring-damping-particle kinetic physical model of hemispherical resonant shell

(2)

式中

(3)

ω1：極小值固有頻率；ω2：極大值固有頻率；Δω：固有頻率裂解值；τ1：極小值阻尼時間常數；τ2：極大值阻尼時間常數；θω：固有剛性軸與x軸夾角；θτ：固有黏性軸與x軸夾角；θf：施力方向與x軸夾角。

在強迫振動測試定位時，半球殼是固定不動的，所以Ω=0；激勵電極位于半球殼直徑的兩端處，激勵電極輸入的是一對余弦力，所以fx=Acosωt,fy=0，將式(2)重寫為下列形式：

(4)

其穩(wěn)態(tài)時解的形式為：

x=Rcosωt+Ssinωty=Pcosωt+Qsinωt,

(5)

其中R、S、P、Q為常數。

將式(5)代入方程(4)有方程組(6)如下：

-A+K12P+K11R+ω(D12Q+D11S-Rω)=0K12Q+K11S-ω(D12P+D11R+Sω)=0K22P+K12R+ω(D22Q+D12S-Pω)=0K22Q+K12S-ω(D22P+D12R+Qω)=0,

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

本文將式(5)改寫成矩陣形式，有：

(11)

進一步得：

(12)

令Δ=RQ-PS,本文可以得到：

(13)

(14)

根據二次曲線的判別式來討論方程(14)是表示橢圓、雙曲線還是拋物線。已知一般的二元二次曲線方程為：

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，

(15)

(16)

(17)

根據判別式條件有：①當I3=0時，方程為直線；②當I3≠0時，1.I2>0時方程為橢圓；2.I2<0時方程為雙曲線；③I2=0時方程為拋物線。則具體到已知方程式有：

(18)

(19)

(20)

f=-1。

(21)

b2-ac<0，

(22)

進一步有：

(23)

(24)

若要滿足式(24)，只要Δ=RQ-PS≠0即可。而在實際情況中，根據R、Q、P、S的解析式可知RQ≠PS是成立的，這便從解析上證明強迫振動最終穩(wěn)態(tài)時，質點運動曲線為一封閉的橢圓。

2.2 基于Mathematica李薩如圖的數值仿真

通過圖4和圖5可以明顯看出在強迫振動穩(wěn)態(tài)下半球諧振子運動的李薩如圖一般情況為一個封閉的橢圓，這從仿真上驗證了理論解析證明的正確性。

3 含瑕疵半球殼固有剛性軸的定位

3.1 強迫振動穩(wěn)態(tài)時橢圓參數的解析形式

圖6 橢圓方程的坐標變換Fig.6 Coordinate transformation of elliptic equation

根據已知的方程可知，方程所代表的橢圓與坐標軸x-y有一傾角φ，而當進行坐標變換時，可以通過將原坐標旋轉φ角使橢圓的兩主軸與新的坐標軸x′-y′分別平行。求出此φ角便可確定穩(wěn)態(tài)時橢圓傾角。

如圖6所示，當坐標軸從x-y旋轉φ到坐標軸x′-y′后，坐標之間的變換滿足下式：

(25)

則原坐標用新坐標表示為：

(26)

將(26)式代入(14)式有：

(27)

經過坐標變換后得到的新坐標軸下表示的橢圓方程為式(27)，若要滿足橢圓主軸與新坐標軸分別平行，則應滿足x′y′項的系數為“0”：

(28)

通過式(28)可以求得坐標軸的旋轉角度φ：

(29)

同時橢圓的長半軸a和短半軸b也可以得出：

(30)

(31)

3.2 數值仿真與分析

坐標變換旋轉的角度φ決定了穩(wěn)態(tài)時橢圓的傾角。而由于R、Q、P、S表達式的復雜性，橢圓傾角φ也不能通過直接求解其導數而得到最小值。因此，利用李薩如圖數值仿真模擬的方式同時配合φ相對于θf的函數圖像對其進行研究。

本文模擬一般情況的諧振半球殼，給定預設的初始條件:正弦力振幅A=0.01 N，ω1=5 200 Hz，ω2=5 200.01 Hz，τ1=300 s，τ2=440 s，θω=30°，θτ=-10°。改變激發(fā)角度θf，觀察諧振半球殼穩(wěn)態(tài)時運動的李薩如圖(圖7～圖14)。

圖7 激發(fā)角θf=30°李薩如圖
Fig.7 Excitation angleθf=30° Lissajous-Figure

圖8 激發(fā)角θf=31°李薩如圖
Fig.8 Excitation angleθf=31° Lissajous-Figure

圖9 激發(fā)角θf=35°李薩如圖
Fig.9 Excitation angleθf=35° Lissajous-Figure

圖10 激發(fā)角θf=45°李薩如圖
Fig.10 Excitation angleθf=45° Lissajous-Figure

圖11 激發(fā)角θf=60°李薩如圖
Fig.11 Excitation angleθf=60° Lissajous-Figure

圖12 激發(fā)角θf=75°李薩如圖
Fig.12 Excitation angleθf=75°Lissajous-Figure

圖13 激發(fā)角θf=90°李薩如圖
Fig.13 Excitation angleθf=90° Lissajous-Figure

圖14 激發(fā)角θf=120°李薩如圖
Fig.14 Excitation angleθf=120° Lissajous-Figure

圖15 穩(wěn)態(tài)時橢圓傾角φ隨激發(fā)角θf的變化Fig.15 Change of elliptic inclination φ with excitation angle θf at steady state

從圖7到圖14可以看出，隨著激發(fā)角θf從30°變化到120°，穩(wěn)態(tài)時李薩如圖的橢圓傾角φ從0°變化到180°。基于給定的初始條件θω=30°，而另一固有剛性軸在李薩如圖中為120°(實際球殼中兩固有剛性軸應相差45°)，由此可以判定在固有剛性軸上進行強迫振動激發(fā)，得到的穩(wěn)態(tài)李薩如圖橢圓呈水平狀態(tài)，傾角φ為零，即與x軸重合。圖15描述的是式(29)的圖像，它直觀的表現(xiàn)了激發(fā)角在0～π弧度之間時，穩(wěn)態(tài)橢圓傾角φ的變化。經Mathematica計算，在0～π弧度之間，傾角φ為零時激發(fā)角θf的值分別為0.524 32、1.308 84、2.093 63、2.879 90，分別對應30.041 1°、74.991 1°、119.756°、165.006°。其中需要注意的是75°和165°對應的是圖12所示的情況，而由于傾角函數φ(29)的周期為π/2，所以當傾角φ值超過-45°后便以此傾角的補角方向來計算，這也解釋了圖15中從0.524 32到1.308 84這一段圖像中間傾角φ值為什么從-45°跳變到45°。另外，正是由于傾角函數φ(29)是由tan函數反推得來，所以傾角φ取不到45°或者-45°處的值，在圖15中圓圈所標識出的點以及兩點間整條直線是無法取到的，則在此點所在橫坐標處應為斷點。于是傾角φ為0°(或180°)對應的激發(fā)角θf分別為30.041 1°(119.756°)。

綜上可知，在含有耦合瑕疵諧振半球殼固有剛性軸所在的方位的進行激發(fā)的強迫振動穩(wěn)態(tài)橢圓的傾角一定是為0°(橢圓是水平的)。故可以通過以上現(xiàn)象歸納的方法去測試一個未知具體參數的含耦合瑕疵諧振半球殼的固有剛性軸的具體方位角：給定一個半球殼任意直徑兩端處一個余弦力，使其保持強迫振動，待振動穩(wěn)定后觀測x和y兩處感測電極的位移李薩如圖，若呈現(xiàn)一封閉的傾角與x軸重合的橢圓，則可定位此激發(fā)處為固有剛性軸所在方位。否則，再更換另外的角度進行強迫振動激發(fā)，直至出現(xiàn)上述李薩如圖，便可定位其固有剛性軸。

4 結論

本研究針對的半球諧振陀螺儀是同時含有密度瑕疵和阻尼瑕疵的，這是實際中所知的半球諧振陀螺儀的一般情況。通過Lynch的二維彈簧—阻尼質點運動模型建立的方程，在半球殼直徑兩端施加一對方向相反的余弦力以達成強迫振動。為了使觀察到穩(wěn)態(tài)時的李薩如圖更有說服力，本文證明了強迫振動穩(wěn)態(tài)時李薩如圖為一封閉的橢圓，這也為后續(xù)觀察橢圓傾角提供了可能。當給定了初始條件和半球殼特性參數后，得到了強迫振動穩(wěn)態(tài)時李薩如圖的橢圓傾角與激發(fā)角度的關系，并提供了相應的李薩如圖。仿真實驗表明，若以固有剛性軸方位角作為激發(fā)角來完成強迫振動，則穩(wěn)態(tài)時李薩如圖的橢圓一定與x軸是重合的，即橢圓的傾角與激勵電極所在的x軸相差最小。通過這一現(xiàn)象，可以給未知具體參數的含耦合瑕疵的半球諧振陀螺儀進行固有剛性軸的定位。