陳偉鋒

(寧波市效實中學(xué) 浙江 寧波 315012)

眾所周知，多普勒效應(yīng)是波源和觀測者發(fā)生相對運動時，觀測頻率與波源頻率不一致的現(xiàn)象.多普勒效應(yīng)是波動特有的現(xiàn)象，機械波和電磁波(或光)均具有多普勒效應(yīng).盡管如此，它們發(fā)生多普勒效應(yīng)時仍有其各自特點，差異來源于它們產(chǎn)生和傳播機制有所不同.機械波的傳播需要介質(zhì)，波速是擾動在介質(zhì)中傳播的速度；而電磁波(或光)的傳播不需要介質(zhì)，光速不變原理指出，相對于觀測者，光在真空中的傳播速度恒為c；機械波的波源相對介質(zhì)的運動一般遠小于光速，光源速度若接近光速，則應(yīng)考慮相對論效應(yīng).正確快速解答此類競賽試題，要求學(xué)生們能推導(dǎo)機械波和光的多普勒效應(yīng)公式、弄清公式的物理含義和適用條件，這樣才能識別試題所涉的多普勒效應(yīng)特征并直接應(yīng)用公式進行求解.

1 多普勒效應(yīng)公式的導(dǎo)出

我們分別就機械波和電磁波(或光)推導(dǎo)出多普勒效應(yīng)公式，并加以比較.首先，明確兩個概念，所謂波源頻率就是波源單位時間內(nèi)發(fā)出同相位信號的數(shù)目(完整波的數(shù)目)；觀測頻率指觀測者單位時間內(nèi)接收到同相位信號的數(shù)目(完整波的數(shù)目).其次，波源發(fā)出波的相位或觀測者接收到的波的相位隨時間變化的規(guī)律相同，均滿足

dφ=2πfdt

先討論機械波的普遍多普勒效應(yīng)公式，機械波的傳播需要介質(zhì)，設(shè)波源在介質(zhì)中的速度大小為vs，觀測者相對介質(zhì)的速度大小vp，波速大小為u，如圖1所示.

圖1 機械波的普遍多普勒效應(yīng)分析圖

dφ=2πfdtdφ=2πf′dt′

(1)

觀測者接收到這兩個相位的時間差

(2)

如圖1所示，過B和B′作AA′垂線垂足為M和N，由幾何關(guān)系有

AA′-BB′=vsdtcosβ+vpdt′cosα

(3)

式(3)代入式(2)，整理得

(u+vpcosα)dt′=(u-vscosβ)dt

(4)

式(4)代入式(1)得

(5)

式(5)為一般情況下機械波的多普勒效應(yīng)公式，應(yīng)用此式時應(yīng)特別注意，A是波源發(fā)出某相位時所處的位置，A′是觀測者接收到同一相位時所處的位置，即波源位于A和觀測者位于A′并非在同一時刻.

下面推導(dǎo)電磁波(或光)的多普勒效應(yīng)公式，電磁波(或光)與機械波有兩點區(qū)別：一是電磁波(或光)的傳播不需要介質(zhì)，觀測者所測得的真空中的光速總為c；二是當光源速度接近光速c時，還應(yīng)考慮光源參考系和觀測者參考系中時間的相對性，如圖2所示.

圖2 觀測者參考系中的電磁波多普勒效應(yīng)分析圖

dφ=2πfdTdφ=2πf′dT′

(6)

其中，dT為光源參考系中發(fā)出兩光信號的時間，是固有時，由于時間膨脹效應(yīng)，它與觀測者所測得的發(fā)出兩光信號的運動時dt之間應(yīng)滿足

(7)

觀測者接收兩光信號的時間間隔

(8)

由幾何關(guān)系

AA′-BA′=vdtcosα

(9)

聯(lián)立式(6)～(9)得

(10)

(1)若光源速度v?c，則

取一級近似得

(11)

(2)若α=0或α=π，則

(12)

此時光源向著或背離觀測者運動，稱為縱向多普勒效應(yīng).

(13)

此時光源速度與兩者連線垂直，稱為橫向多普勒效應(yīng)，是光特有的現(xiàn)象.

2 競賽試題解析

2.1 機械波的多普勒效應(yīng)

【例1】(第22屆全國復(fù)賽試題)兩輛汽車A與B，在t=0時從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進，如圖3所示．汽車A持續(xù)地以固定的頻率ν0鳴笛，求在任意時刻t汽車B的司機所檢測到的笛聲頻率．已知聲速為u，且當然有u>vA,vB．

圖4給出了在λT=5,Cwf=1,ηc=ηT=0.85,D1=D2=0.96時，雙重最大功率時的總壓比與循環(huán)溫比的關(guān)系.由圖可知，雙重最大功率時的總壓比與循環(huán)溫比基本成正比關(guān)系.

圖3 例1題圖

分析與解:本題為機械波的多普勒效應(yīng)，而且波源和觀測者相對介質(zhì)的速度與兩者連線不在一條直線上，可直接應(yīng)用式(5)，代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算，應(yīng)用此式要注意兩點，一是由于車速相對于聲速并不能忽略，波源和觀測者的連線并不是同一時刻的位置連線；二是本題中速度與連線的夾角均為鈍角，應(yīng)取負值，即兩車速度在連線上的分速度與兩者相背離.

題中，汽車B上司機為觀測者，汽車A為波源，如圖4所示.

圖4 以B中的司機為觀測者，A為波源的圖示

設(shè)在時刻t汽車B位于Q處正接收到相位φ，此相位是汽車A在更早的時刻t-Δt位于P處發(fā)出的，而聲音從P傳到Q處的時間為Δt，有

OQ=vBtOP=vA(t-Δt)PQ=uΔt

(14)

由幾何關(guān)系

PQ2=OP2+OQ2

(15)

由式(14)、(15)解得

(16)

2.2 電磁波(或光)的多普勒效應(yīng)

【例2】(第32屆全國復(fù)賽試題)如圖5所示，飛機在距水平地面(xz平面)等高的航線KA(沿x正方向)上，以大小為v(v遠小于真空中的光速c)的速度勻速飛行；機載雷達天線持續(xù)向航線正右側(cè)地面上的被測固定目標P點(其x坐標為xP)發(fā)射扇形無線電波束(扇形的角平分線與航線垂直)，波束平面與水平地面交于線段BC(BC隨著飛機移動，且在測量時應(yīng)覆蓋被測目標P點)，取K點在地面的正投影O為坐標原點.已知BC與航線KA的距離為R0.天線發(fā)出的無線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波，其頻率為f0.

圖5 例2題圖

(1)已知機載雷達天線經(jīng)過A點(其x坐標為xA)及此后朝P點相繼發(fā)出無線電波信號，由P反射后又被機載雷達天線接收到，求接收到的回波信號的頻率與發(fā)出信號的頻率之差(頻移).

(2)已知BC長度為Ls，討論上述頻移分別為正、零或負的條件，并求出最大的正、負頻移.

分析與解:本題為電磁波的多普勒效應(yīng)，由于飛機速度v遠小于真空中的光速c，故不必考慮相對論效應(yīng)，用式(11)即可；因飛機與地面P點距離相對電磁波速度c極短，飛機發(fā)出信號到接收到回波信號的時間內(nèi)，飛機的位移可以忽略不計.

(1)如圖6所示，在KA和BC所在的平面內(nèi)，連A和P并過P點做KA垂線交KA于Q.

圖6 (1)問分析圖

由幾何關(guān)系得

(17)

故P接收到的頻率

(18)

式(17)代入式(18)得

(19)

由于v?c，故不必考慮從發(fā)出信號到接收到回波信號過程中飛機的位移.

同理，飛機接收到的信號頻率

將式(19)代入得

取一級近似得

(20)

(21)

(2)分析圖如圖7所示.

圖7 (2)問分析圖

由式(5)可知，當xP>xA時頻移為正，當xP=xA時頻移為零，當xP

(22)

(3)結(jié)合式(22)得帶寬

當R0?Ls時，有

故

從以上兩題的解析我們不難發(fā)現(xiàn)，對機械波，波源速度一般都遠小于光速，與波速相差不大，不必考慮相對論效應(yīng)，但應(yīng)考慮波在傳播過程中波源或觀測者相對介質(zhì)的位移.對于電磁波或光，需要明確波源速度與光速的大小關(guān)系，確定是否要考慮相對論效應(yīng).只要明確公式的適用條件和物理含義，對此類試題不必從最基本的相位和時間關(guān)系出發(fā)去解答，從而可以減少答題篇幅，節(jié)省解答時間.