劉小龍

（巴中市第三中學(xué)，四川 巴中 636600）

一、根據(jù)函數(shù)圖像解決函數(shù)零點(diǎn)問題

已知函數(shù)f(x)=logax+x-b（a＞0,且a≠1）,當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈（n,n+1）,n∈N*,則n=（）

[常規(guī)解法]：設(shè)f(x0)=0，因?yàn)閒(x)=logax+x-b，又2＜a＜3＜b＜4，所以f(1)=loga1+1-b=1-b＜0

因?yàn)?＜a＜3＜b＜4，

綜上，x0∈（n,n+1），因此n=2

[圖像解法]：在直角坐標(biāo)系下分別作出y=log2x，y=log3x及y=3-x,y=4-x的圖像，所有可能的交點(diǎn)構(gòu)成了圖中的陰影區(qū)域（不含邊界），其中各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都坐落在（2,3）以內(nèi)，又因?yàn)閤0∈（n,n+1），n∈N*，所以n=2。

要進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生針對零點(diǎn)問題的求法，掌握函數(shù)和方程之間的轉(zhuǎn)化技巧，另外還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的方法來判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，零點(diǎn)所在區(qū)間。在高考問題中，考查函數(shù)性質(zhì)和方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合運(yùn)用題一般難度較大，因此要在日常的學(xué)習(xí)中有所準(zhǔn)備，加強(qiáng)訓(xùn)練。

二、利用零點(diǎn)性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍

1.f(x)=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解：由f'(x)=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-3)(x-1)得

令f'(x)＞0,得x＞3或x＜1,f'(x)＜0,

得1＜x＜3

所以f(x)在（-∞，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1,3）上單調(diào)遞減。

所以f(x)極大值=f(1)=4+a＜0，a＞-4

f(x)極小值=f(3)=a＜0

所以-4＜a＜0.

2.方程x3-ax2+9x+a=0在[2,4]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。

解：由方程x3-ax2+9x+a=0在[2,4]上有實(shí)數(shù)解

即x3-ax2+9x=-a，

由f(x)=x3-ax2+9x的圖像可得

0≤a≤4

3.x3-ax2+9x=0在[2,4]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。

在解決函數(shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間或者方程根的個(gè)數(shù)問題時(shí)，主要采用的方法有函數(shù)零點(diǎn)定理和利用函數(shù)圖象來進(jìn)行判斷。根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，求參數(shù)的取值范圍主要采用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換以及分類討論等方法。學(xué)生在解題過程中要注重利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫出函數(shù)的圖象等方法，能夠有效解決和零點(diǎn)相關(guān)的問題。