張 鵬，楊 坤, 儲(chǔ)恒超, 王章銘

(安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

0 引言

雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)是一種新型傳動(dòng)，其采用少齒差行星傳動(dòng)的基本結(jié)構(gòu)，具有傳動(dòng)比大、 功率密度高等優(yōu)點(diǎn). 該傳動(dòng)采用圓柱形滾柱作為輪齒進(jìn)行嚙合傳動(dòng)，因此較之一般少齒差行星傳動(dòng)，還具備齒形簡(jiǎn)單、 制造方便、 精度易于控制等優(yōu)點(diǎn). 若輔以合理的齒形優(yōu)化設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)0.017°～0.067°[1]的高精度傳動(dòng)，在機(jī)器人、 數(shù)控機(jī)床、 精密檢測(cè)裝備等領(lǐng)域具備良好的應(yīng)用前景.

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)進(jìn)行了一些基礎(chǔ)研究，Lai[2-3]、 陳兵奎等[4]針對(duì)雙滾柱等少齒差行星傳動(dòng)進(jìn)行了嚙合理論研究，Tsukada等[5]構(gòu)建了該傳動(dòng)的誤差分析模型，劉景亞等[6]分析了該傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)傳動(dòng)精度的影響. 針對(duì)雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)，目前仍缺乏完善的齒形綜合研究，尚未建立有效的精度控制及其參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，限制了該傳動(dòng)的有效設(shè)計(jì)和技術(shù)應(yīng)用.

針對(duì)上述問(wèn)題，基于雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)的嚙合原理，構(gòu)建了該傳動(dòng)齒形方程； 結(jié)合曲率分析，提出了滾柱齒形的替代方法，并利用粒子群優(yōu)化算法，對(duì)齒形參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)傳動(dòng)精度的有效控制； 最后通過(guò)傳動(dòng)誤差分析驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性.

1 結(jié)構(gòu)與傳動(dòng)原理

圖1 雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)結(jié)構(gòu)原理圖 Fig.1 Structural of double rollers planetary transmission with small tooth number difference

雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)由行星輪、 中心輪所組成，行星輪外圈均布有圓柱形的行星輪齒，中心輪內(nèi)圈也均布有圓柱形的中心輪齒，如圖1所示. 圖1中Oa為行星輪的幾何中心，Ob為中心輪的幾何中心，Oa與Ob之間的距離等于偏心軸的偏心距e.

行星輪安裝于偏心軸上，在傳動(dòng)過(guò)程中行星輪隨偏心軸以O(shè)b為中心做公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)行星輪上的行星輪齒與中心輪上的中心輪齒相互嚙合，反推行星輪以O(shè)a為中心作低速自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，并實(shí)現(xiàn)動(dòng)力輸出.

2 齒形綜合分析

2.1 雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)的齒形原理

2.1.1共軛齒形分析

圖2 定坐標(biāo)系與動(dòng)坐標(biāo)系 Fig.2 Fixed coordinate system and dynamic coordinate system

以行星輪幾何中心Oa和中心輪幾何中心Ob為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立定坐標(biāo)系Oaxayaza和Obxbybzb，如圖2所示. 軸xa與xb平行，xa與xb之間的距離為偏心距e； 同時(shí)以O(shè)a和Ob為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別建立動(dòng)坐標(biāo)系Oaxaiyaizai和Obxbiybizbi，動(dòng)坐標(biāo)系Oaxaiyaizai與行星輪固連，動(dòng)坐標(biāo)系Obxbiybizbi與中心輪固連，兩動(dòng)坐標(biāo)系Oaxaiyaizai和Obxbiybizbi分別隨行星輪和中心輪作同步轉(zhuǎn)動(dòng). 圖2中，θa為行星輪在Oaxaya平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，θb是中心輪在Obxbyb平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，采用偏心軸固定法，當(dāng)行星輪繞其中心Oa逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θa角度時(shí)，中心輪繞其中心Ob逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θb角度.

在動(dòng)坐標(biāo)系Obxbiybizbi中，中心輪齒的第i個(gè)齒廓的位置向量Pbi可表示為

Pbi=[rbcosθrbsinθ+Rbμ]

(1)

式中：rb為中心輪齒的半徑；Rb為中心輪齒在中心輪上的分布圓半徑；θ為角參量；μ為中心輪齒寬.

(2)

式中：Maibi為從動(dòng)坐標(biāo)系Obxbiybizbi到動(dòng)坐標(biāo)系Oaxaiyaizai的變換矩陣，Maibi=MaibMbbi.

其中，從定坐標(biāo)系Obxbybzb到動(dòng)坐標(biāo)系Oaxaiyaizai的變換矩陣Maib為

(3)

從動(dòng)坐標(biāo)系Obxbiybizbi到定坐標(biāo)系Obxbybzb的變換矩陣Mbbi為

(4)

(5)

式中：m=θa/θb=Zb/Za；Za為行星輪齒數(shù)；Zb為中心輪齒數(shù).

根據(jù)曲面單參數(shù)的包絡(luò)方法[3]，可得

(6)

將式(5)代入式(6)，化簡(jiǎn)后可得角參量θ的表達(dá)式為

(7)

則與中心輪共軛的行星輪齒廓方程的一般表達(dá)式為

(8)

式(8)的行星輪齒廓方程還可以表示為

(9)

式中：ρ1為行星輪齒廓任一點(diǎn)的極坐標(biāo)向徑.

2.1.2齒廓曲率半徑

利用微分中曲率半徑公式，求得式(8)對(duì)應(yīng)的行星輪齒廓曲率半徑ρ為

(10)

式中：K1為短幅系數(shù)；K1=eZb/Rb.

式(10)中，令行星輪齒廓曲率半徑的一階導(dǎo)ρ′=0，可知當(dāng)θb=-180° 時(shí), 對(duì)應(yīng)行星輪齒廓曲率半徑的極值點(diǎn).

取算例參數(shù)K1=0.69，Rb=44 mm，rb=5 mm，Zb=16，代入式(10)繪制出行星輪齒廓曲率半徑ρ隨轉(zhuǎn)角θb的變化曲線(xiàn)，如圖3所示. 行星輪齒廓曲率半徑在極值點(diǎn)(θb=180° )附近的變化曲線(xiàn)如圖4所示.

圖3 行星輪齒廓曲率半徑Fig.3 Radius of curvature of planetary gear tooth profile

圖4 極值點(diǎn)附近的行星輪齒廓曲率半徑Fig.4 Curvature radius of planetary gear profile near extreme point

由圖3、 圖4可知，算例中在極值點(diǎn)(θb=180°) 附近，行星輪齒廓曲率半徑的變化幅度僅為0.05 mm，行星輪齒廓曲線(xiàn)可近似于圓，因此可采用圓形滾柱作為行星輪齒.

2.2 雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)的齒形建模

2.2.1圓形滾柱行星輪齒的建模方法

由2.1.2的分析可得行星輪可以采用圓形滾柱作為輪齒，由于行星輪齒廓曲率半徑在極值點(diǎn)(θb=180°) 附近變化很小，且曲率半徑以θb=180°位置呈對(duì)稱(chēng)式分布，因此宜選取θb=180°對(duì)應(yīng)的齒廓點(diǎn)

圖5 圓形滾柱行星輪齒及其坐標(biāo)系 Fig.5 Circular roller planetary gear and its coordinate system

作為圓形滾柱行星輪齒的齒頂點(diǎn). 同時(shí)，為防止干涉，圓形滾柱行星輪齒半徑應(yīng)小于等于θb=180° 對(duì)應(yīng)的齒廓曲率半徑值. 為進(jìn)一步減小齒形替代誤差，優(yōu)先選取圓形滾柱行星輪齒半徑等于θb=180° 對(duì)應(yīng)的齒廓曲率半徑，將θb=180°代入式(10)，可得行星輪齒的半徑ra為

(11)

圓形滾柱行星輪齒及其坐標(biāo)系如圖5所示，圓形滾柱行星輪齒與行星輪齒廓在θb=180° 處相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為(xA，yA). 由式(8)可得(xA，yA)的表達(dá)式為

(12)

由于圓形滾柱行星輪齒的圓心(xa，ya)與(xA，yA)距離為ra，可得圓形滾柱行星輪齒的圓心(xa，ya)表達(dá)式為

(13)

2.2.2圓形滾柱行星輪齒的齒形方程

由式(11)～(13)可得極坐標(biāo)形式的圓形滾柱行星輪齒的齒形方程為

(14)

3 齒形精度優(yōu)化

用圓形滾柱替代行星輪齒廓進(jìn)行嚙合傳動(dòng)，仍然存在一定的齒形誤差與傳動(dòng)誤差，需進(jìn)行齒形參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以減小齒形誤差，從而實(shí)現(xiàn)齒形的精度控制，達(dá)到精密傳動(dòng)的要求.

3.1 設(shè)計(jì)變量

選取對(duì)傳動(dòng)精度有顯著影響的齒形參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，相應(yīng)齒形參數(shù)包括短幅系數(shù)K1、 偏心距e、 中心輪齒數(shù)Zb、 中心輪齒半徑rb、 行星輪齒半徑ra、 中心輪齒分布圓半徑Rb和行星輪齒分布圓半徑Ra.

3.2 目標(biāo)函數(shù)

圖6 目標(biāo)函數(shù)的幾何表達(dá)Fig.6 Geometric representation of objective function

為使齒形替代誤差盡可能小，以圓形滾柱行星輪齒與行星輪齒廓的徑向差值的積分為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，選任一對(duì)輪齒建立分析模型, 如圖6所示. 為將優(yōu)化范圍控制在有效嚙合區(qū)內(nèi)，積分區(qū)間上限為圓心(xa，ya)與原點(diǎn)Oa連線(xiàn)，積分區(qū)間下限為過(guò)原點(diǎn)Oa的圓形滾柱行星輪齒的切線(xiàn)，即圖6所示的陰影區(qū)域.

目標(biāo)函數(shù)F的表達(dá)式為

(15)

式中：c為積分區(qū)間上限對(duì)應(yīng)的相位角，c=nπ/Za，(n=0，1，2，…,Za)；d為積分區(qū)間下限對(duì)應(yīng)的相位角，d=c+Zaarcsin[ra/(Rbe-ra)] .

3.3 約束條件

表1 短幅系數(shù)K1的優(yōu)選范圍

目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計(jì)變量需滿(mǎn)足一定的約束條件，考慮齒形根切[7]、 接觸應(yīng)力[8]、 傳動(dòng)結(jié)構(gòu)等因素，得到如下約束條件為：

1) 短幅系數(shù)K1隨齒數(shù)Za的優(yōu)選范圍[9]如表1所示.

2) 為盡量減小接觸應(yīng)力，ra、rb取值為

(16)

3) 根據(jù)少齒差行星傳動(dòng)結(jié)構(gòu)尺寸關(guān)系，可得

Ra=Rb-ra-rb+e

(17)

(18)

3.4 優(yōu)化計(jì)算

粒子群優(yōu)化算法[10]在求解優(yōu)化函數(shù)時(shí)，表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力，特別是針對(duì)復(fù)雜的工程問(wèn)題，通過(guò)迭代尋優(yōu)計(jì)算，能夠迅速找到近似解，因此粒子群算法在工程計(jì)算中應(yīng)用廣泛.

選取Zb=24，Zb=60，Zb=88，以式(15)為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合式(16)～(18)及表1的約束條件，運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法，求得使目標(biāo)函數(shù)F→min時(shí)的齒形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，如表2所示.

表2 齒形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

4 誤差分析

4.1 誤差公式

將表2所得優(yōu)化結(jié)果代入傳動(dòng)誤差公式進(jìn)行分析. 建立雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)嚙合過(guò)程中幾何尺寸關(guān)系圖，如圖7所示.

圖7 雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)幾何關(guān)系Fig.7 Geometric relationship of double roller planetary transmission with few teeth difference

θai為行星輪上的第i個(gè)齒與其中心連線(xiàn)和偏心軸之間的夾角，θbi為中心輪上的第i個(gè)齒與其中心連線(xiàn)和偏心軸之間的夾角；Oai為行星輪上的第i個(gè)滾柱的圓心，其坐標(biāo)可表示為(Rasinθai，Racosθai+e)，Obi為中心輪上第i個(gè)滾柱的圓心，其坐標(biāo)可表示為(Rbsinθbi，Rbcosθbi)；d為OaiObi之間的距離.

根據(jù)文[5]，可得雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)的傳動(dòng)誤差Δθ為

(19)

式中：

4.2 實(shí)例計(jì)算

將表2中的三組齒形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果代入式(19)，分別得到誤差分析結(jié)果如圖8所示.

圖8 傳動(dòng)誤差Fig.8 Transmission error of data

由圖8可知，當(dāng)Zb=88，K1=0.8，e=1時(shí)，Δθ可控制在0.060 6°以下，一般擺線(xiàn)針輪減速器的傳動(dòng)精度為0.050°～0.067°[11]，即雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)能夠滿(mǎn)足精密傳動(dòng)的要求. 根據(jù)文[1]，同等設(shè)計(jì)參數(shù)下，滾柱式減速器的傳動(dòng)誤差值約為0.06°，與數(shù)據(jù)組Ⅲ計(jì)算的理論傳動(dòng)誤差值基本一致. 與同等條件下的一般漸開(kāi)線(xiàn)齒輪減速機(jī)傳動(dòng)誤差[12]相比，數(shù)據(jù)組Ⅲ計(jì)算的傳動(dòng)誤差值降低了約50%.

5 結(jié)語(yǔ)

1) 建立中心輪和行星輪的共軛齒廓方程，對(duì)齒廓方程進(jìn)行曲率分析，確立圓形滾柱行星輪齒的齒形方程，并進(jìn)行精度優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)作為精密傳動(dòng)的可行性.

2) 由于行星輪齒廓曲率半徑變化小，可以使用圓形滾柱替代行星輪齒廓，再結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)0.067°以?xún)?nèi)的精密傳動(dòng)，因此雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)能夠適用于精密傳動(dòng)場(chǎng)合.

3) 中心輪齒數(shù)Zb較大時(shí)，傳動(dòng)誤差Δθ相對(duì)較小，可以實(shí)現(xiàn)精密傳動(dòng)，因此雙滾柱少齒差行星傳動(dòng)更適宜較大傳動(dòng)比的傳動(dòng)場(chǎng)合.