謝鳳艷
[摘 要]Jordan標準形反映了矩陣的本質性質并且是形式最為簡單的方陣. 結合教學實踐,從教學過程中強化Jordan標準形矩陣是對角矩陣的推廣和延伸,通過典型例題講解,融入Matlab軟件,強調應用四個方面對Jordan標準形的教學進行探討,旨在加深學生對Jordan標準形的認識.
[關鍵詞]方陣;Jordan塊;Jordan標準形;Matlab Square matrix;Jordan block
[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437(2019)08-0108-03
高等代數是學習更一般的代數系統(tǒng)乃至整個數學的基礎,它涉及的內容對近代科學技術和數學的任何其它分支非常有用. 矩陣是解決高等代數問題的一個非常有力的工具.它在計算機三維動畫制作、電路圖、交通流、統(tǒng)計分析、數值分析等領域有著非常廣泛的應用.Jordan標準形反映了矩陣的本質性質并且是形式最為簡單的方陣.在全國數學專業(yè)碩士研究生入學考試中,華中師范大學、華東師范大學、陜西師范大學、廈門大學、鄭州大學等大學多次都涉及到對Jordan標準形的考查. 然而隨著高等學校各個專業(yè)基礎理論課時的減少,數學專業(yè)基礎課時也大為縮減.很多高校數學專業(yè)高等代數課時由以前的周課時六減為周課時四. 不少高校的數學專業(yè)把高等代數中“[λ]-矩陣”、“雙線性函數”等相關內容作為選修內容,不再作為考試大綱進行課堂講解. 而很多高等代數教材對Jordan標準形尤其對如何找一個可逆矩陣,將一方陣化成Jordan標準形缺乏系統(tǒng)討論.由于Jordan標準形矩陣的重要性并且學生對這部分知識自學起來比較吃力,因此教師應盡可能的抽出時間對Jordan標準形相關知識進行講解。為了深化學生對Jordan標準形的認識,本文結合多年來教育教學實踐從以下四個方面對Jordan標準形進行教學探討.
一、教學過程中強化Jordan標準形矩陣是對角化的推廣和延伸
設[A]為[n]級方陣. 是否存在一個形式較為簡單的矩陣[B]使得矩陣[A]與矩陣[B]有很多相似的性質,比如相同行列式的值,相同的秩,特征值相等.我們知道,如果矩陣[A]有[n]個線性無關的特征向量,那么矩陣[A]與一個對角矩陣[B]相似,并且[B]對角線上的元素為矩陣[A]的[n]個特征值, 重根按重數計算[[1]].然而可對角化的矩陣畢竟是少數的,于是Jordan矩陣誕生了.對于任意[n]級方陣都與一個Jordan矩陣是相似的[[1]]. 而對角矩陣是Jordan矩陣的特殊情況,即若當塊為一階時的Jordan矩陣. Jordan矩陣是“幾乎”對角化矩陣.
當[A]可對角化時,設[P=(p1,p2,...,pn)]使得[P-1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)].則[Api=λipi]且[(λiE-A)pi=0].即[pi]為[A]的屬于特征值[λi]的特征向量.
當[A]不可對角化時,設[P=(p1,p2,...,pn)]使得[P-1AP=J].不妨設[J]為[n]級若當塊,即
[J=λ1λ1?1λ].
則[Ap1=λp1],[Api=λpi+pi-1]([i=2,3,...,n])且 [(λE-A)i-1pi-1=0].稱[pi]為[A]的屬于特征值[λ]的廣義特征向量[[2]].
Jordan標準形教學過程中要復習鞏固矩陣對角化的相關知識,并強化Jordan矩陣是對角矩陣的推廣,Jordan標準形是對角化的延伸及完善.教學過程中教師要按照循序漸進、螺旋上升的教學原則,在教學過程中注重新舊知識的銜接,以便學生克服陌生恐懼的心理. Jordan標準形教學過程中復習鞏固矩陣對角化的相關知識,看似比單純講解Jordan標準形多花了時間,但卻能起到事半功倍的效果,不僅有利于學生對新知識點的掌握,而且能夠使學生做到知識點的融會貫通.
二、 教學過程中通過典型例題講解,加深學生對抽象理論知識的認識
抽象性是高等代數一個重要特點[[3]].通過數學例題講解可以有助于學生對抽象數學知識的理解,深化和鞏固學生對數學基本概念和主要定理的認識. Jordan標準形中涉及到行列式計算、線性方程組求解、矩陣運算等相關知識,而教材太過于偏重理論知識講解,選用例題較少.學生學習這部分知識頗感吃力.因此在Jordan標準形教學的過程中要精選例題并加強對例題的講解.
(一) 可對角化矩陣Jordan標準化的實例
例1 設矩陣[A=122212221],求可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標準形.
解 由[φA(λ)=|λE-A|=λ-1-2-2-2λ-1-2-2-2λ-1=(λ+1)2(λ-5)],得[A]的特征值為-1、5.
解齊次線性方程組[(-E-A)x=0]得到對應-1的兩個線性無關特征向量:
[p1=(1,0,-1)T,p2=(0,1,-1)T]
解齊次線性方程組[(5E-A)x=0]得到對應5的一個特征向量:
[p3=(1,1,1)T]
令[P=(p1,p2,p3)],則[P-1AP=J=-1-15].
注:例1可以提前以作業(yè)形式布置下來,讓學生課后自己完成。課堂上用多媒體課件展示出來即可.
(二)一般方陣Jordan標準化的實例
例2設矩陣[A=-1-26-103-1-14],求可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標準形.
解 由[φA(λ)=|λE-A|=λ+12-61λ-311λ-4=(λ-1)3,] 得[A]的特征值為1.
因為[r(E-A)=1],所以齊次線性方程組[(E-A)x=0]的一個基礎解系中含2個向量.即[Ker(E-A)=2].同理可得[Ker(E-A)2=3].
設[Ker(E-A)]的一組基[{p1,p2}]并把它擴充為[Ker(E-A)2]的一組基[{p1,p2,p3}]并且滿足[Ap1=p1,Ap2=p2],[Ap3=p3+p2].則
[A(p1,p2,p3)=(p1,p2,p3)1111],
于是得到[A]的Jordan標準形[J=1111]
下面求解[p1,p2,p3].解齊次線性方程組[(E-A)x=0]得到對應特征值1的兩個線性無關特征向量:
[x1=(1,-1,0)T,x2=(3,0,1)T]
令[p1=x1],[p2=c1x1+c2x2](其中常數[c1,c2]的選取使得[p1,p2]線性無關),則[Ap1=p1,Ap2=p2]+[p1].為了使得[Ap3=p3+p2]有解.可得[c1=-c2].令[c1=-c2=-1]
得到非齊次線性方程組[Ax3=x3+p2]的一個特解:[p3=(1,0,0)T]
從而[P=(p1,p2,p3)=121-1-10010],
且[P-1AP=][J=1111].
通過例1學生已經熟練掌握特征值、特征向量及可逆矩陣[P]求解,在此基礎上進行例2的講解.由學生已知對角化的過程及[λE-A]核的求解, 逐步推導出矩陣[A]的Jordan矩陣以及求解可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標準形的方法.以啟發(fā)式、引導式原則講解例2,引導學生積極主動地思考做題的方法,這樣不僅使學生對所學到的相關知識點融會貫通,而且加深了對“每個[n]級復數矩陣都與一個Jordan標準形矩陣是相似的”等教材相關結論證明的理解.
對于任意一個不可以對角化的方陣[A]來說,[A]的Jordan矩陣[J]中對應某個特征值[λi]的若當塊[J(λi)]的階數可以通過下列方法求解.
計算
[r1(λi)=r(λiE-A),r2(λi)=r(λiE-A)2,...,rk(λi)=]
[r(λiE-A)k]
直到[λiE-A]某個[k]方冪的秩不再變化,這個[k]就是[λi]的最大子塊階數.設[rt(λi)=rk(λi)(t≥k)],階數為[l]的子塊個數為[bl(λi)].則
[bl(λi)=n-2r1(λi)+r2(λi) ? ? ? ? ? ? l=1rj+1(λi)-2rj(λi)+rj-1(λi) ? ? ?l=2,3,...,k.]
例2中求解Jordan矩陣和廣義特征向量方法比較簡單,但當一個方陣[A]的階數較高且[A]的某個特征值的重數較大時,用此方法求解廣義特征向量從而確定Jordan塊的階數就不太容易了.這就要尋找別的方法. 求解Jordan標準形的方法有很多,比如參考文獻[4-7],教師可以從中選擇一種或者多種方法課堂中進行講解,從而加深學生對Jordan標準形的認識.
三、 Jordan標準形教學過程中融入Matlab軟件
信息技術是當下高校教育教學必不可少的輔助力量。隨著計算機技術的迅猛發(fā)展, 將常用的數學軟件融入到高等代數教學中已成為一種趨勢[[8]].
Matlab是matrix和laboratory兩個詞的組合, 意為矩陣實驗室.它是一款由美國The mathworks公司出品的商業(yè)數學軟件. MATLAB是一種用于算法開發(fā),數據可視化,數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境.Matlab軟件強大的計算功能使得Jordan標準化輕而易舉. 比如求一可逆矩陣[P]使得例2中的矩陣[A]滿足[P-1AP=J]為Jordan標準形. 在Matlab窗口中輸人:
>>A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4];%輸入矩陣A
>>[P,J]=Jordan(A) %求可逆矩陣P使得P-1AP為Jordan標準形.
執(zhí)行命令,出來結果:
注:Jordan矩陣[J]除了Jordan塊的排列次序外和例2求解的Jordan矩陣一樣. 因為齊次線性方程組的一個基礎解系中的向量不唯一,所以可逆矩陣[P]的選取不唯一.
通過系統(tǒng)學習及一系列的練習, 絕大多數學生能夠對Jordan標準形求解方法熟練掌握,但由于Jordan標準形中涉及行列式求解、方程組求解、矩陣運算等相關知識,其計算量非常大,稍不留神就會出錯, Matlab軟件簡單容易操作.利用Matlab軟件使得矩陣Jordan標準化變得輕而易舉,從而提高學生的學習興趣,獲得更好的教學效果. 信息化時代,作為高校教師,應該與時俱進,適當改革傳統(tǒng)教學方法將數學軟件引入教學,使學生體會到數學學習的時代性,但值得注意的是高等代數作為數學專業(yè)的一門基礎課程,Matlab在其教學中只能作為輔助教學軟件,且不可取代教材知識,成為主要教學工具.
四、 Jordan標準形教學過程中強調應用
學以致用是教學的最終目的.隨著科技的發(fā)展,矩陣的應用已經在計算機三維動畫制作、電路圖、交通流、統(tǒng)計分析、數值分析、微分方程等領域有著非常廣泛的應用。矩陣理論的發(fā)展極大地推動和豐富了其他眾多學科的發(fā)展. Jordan標準形反映了矩陣的本質性質并且是形式最為簡單的方陣.因此Jordan標準形教學過程中教師應指出Jordan標準形的一些應用,比如:求一個方陣的[k]次冪[[7]]、求解常系數線性微分方程組[[8]]以及對方陣特征值考查[[9]]. 此外借助Matlab軟件,讓學生解決一些現實生活中的問題,比如系統(tǒng)狀態(tài)方程[[10]]等.教師可以簡單羅列一些應用,然后通過布置作業(yè),分任務的形式讓學生分組收集整理相關的一些應用.這樣不僅進一步加深了學生對知識的認識而且提高了學生的參與度,還能調動學生學習的積極性,提高學生分析問題、解決問題的能力.
五、結語
Jordan標準形定理在高等代數中有著非常重要的地位。近年來,多種考試中對Jordan標準形的考查也是一個熱點問題。鑒于目前高等代數教學的現狀,本文結合數學專業(yè)本科生教學實踐從Jordan標準形教學過程中四個方面:即強化Jordan標準形矩陣是對角矩陣的推廣和延伸,典型例題講解,融入Matlab軟件,強調應用對Jordan標準形的教學進行探討,從學生熟知的對角化問題著手,引入Jordan矩陣,采用啟發(fā)式、引導式原則展示出Jordan標準形相關知識,旨在加深學生對Jordan標準形的認識,為高等代數的教學提供一些參考價值.
[參考文獻]
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[10] 高芳征,常瑾瑾.矩陣若爾當標準型的標注[J].安陽師范學院學報,2010(2):12-14.
[責任編輯:林志恒]