王慶菊

[摘 要]在學習“三角形的內(nèi)角和”之前，很多學生都已經(jīng)知道了“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結論，順學而教，課堂教學的重心必然從“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”升級為“驗證結論”——讓學生經(jīng)歷三角形的內(nèi)角和之所以為180°的探究過程，讓數(shù)學學習在建構中走向豐盈和深刻。

[關鍵詞]理性思維;推理;深度建構;三角形的內(nèi)角和

【教學內(nèi)容】

人教版教材四年級下冊第67頁“三角形的內(nèi)角和”。

【課前慎思】

1. 四年級學生大多數(shù)都知道“三角形的內(nèi)角和是180°”這個結論，而且對此深信不疑，并沒有太強的探究欲望。因此，即使教師讓學生用量角器量或用剪拼角等方法驗證這個結論，也是徒有形式的“虛假”操作。那么，本節(jié)課的生長點和核心是什么？

2.“內(nèi)角”指“在封閉折線構成的圖形內(nèi)的夾角”。既然是研究三角形的內(nèi)角和，“內(nèi)角”自然成為繞不過的概念，而教材對于“內(nèi)角”概念卻只字未提。那么，需要專門進行“內(nèi)角”概念教學嗎？

3.用測量法、剪拼法、折拼法等研究三角形的內(nèi)角和往往不能正好得到180°。對此，能否用“誤差”一詞以概之？

4. 數(shù)學之美在于理性思維，來不得一絲“差不多”。那么，是否有嚴密的適合學生驗證“三角形的內(nèi)角和”的方法，以幫助學生實現(xiàn)概念的深度建構？

【教學實踐】

一、直觀感知，認識內(nèi)角、內(nèi)角和

1. 初識內(nèi)角、內(nèi)角和

師（出示一個三角形，如右圖）：這是一個什么圖形？

生（齊）：三角形。

師：為什么叫三角形？

生1：因為它有三個角。

師：三角形的三個角∠1、∠2、∠3都在三角形的內(nèi)部，我們可以叫它們什么角？

生2：內(nèi)角。

師：把這三個內(nèi)角的度數(shù)合起來，又叫什么？

生3：內(nèi)角和。

2. 初識三角形的內(nèi)角和

師：聽說過三角形的內(nèi)角和嗎？誰能介紹自己了解到的有關三角形內(nèi)角和的知識？

生4：三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你是怎么知道的？

生4：我是在書上看到的。

師：哪些同學真正研究過三角形的內(nèi)角和？三角形的內(nèi)角和真的是180°嗎？

二、小組交流，實踐驗證

師：你準備用什么方法研究？請先想一想，然后在小組里交流，再選擇合適的材料以小組為單位進行驗證。小組合作要求：（1）利用學具袋中提供的（或自己設計的）材料，選擇自己最喜歡的方法進行驗證，并填好記錄單。（2）通過驗證，看看可以得出什么結論。

師：現(xiàn)在我們召開研究成果發(fā)布會。發(fā)言的小組選一名同學當主發(fā)言人，其他同學可以補充，下面的同學當小記者，隨時準備提問?？茨膫€發(fā)言人表現(xiàn)最棒，哪個小記者最會提問題。

（1）度量法

生1：我們小組用的是測量的方法。先用量角器測量出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，再算內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和正好是180°。其他同學有問題嗎？

師：這的確是個好方法。其他小組測量的結果也是180°嗎？好像有些同學遇到了一些問題。

生2：我們小組測量后發(fā)現(xiàn)，有的三角形的內(nèi)角和是182°。

生3：我們小組測量的三角形的內(nèi)角和是179°，也不是180°。

師：剛才大家都認為三角形的內(nèi)角和是180°，但測量的結果有的是180°，有的不是180°。為什么會出現(xiàn)不同的結果？

生4：是不是量錯了？

生5：可能量角器不準。

生6：可能沒有把量角器放好。

師：的確，由于受測量工具或測量方法的影響，測量時只要有一點偏差，就會出現(xiàn)誤差。數(shù)學需要嚴謹，還有別的方法嗎？

（2）剪拼法

生7：我們小組用的是剪拼的方法。因為一個平角是180°，我們就想，如果三角形的三個內(nèi)角剛好能拼成一個平角，不就能說明三角形的內(nèi)角和是180°了嗎？于是我們把三角形的三個角撕下來拼到一起，發(fā)現(xiàn)正好拼成一個平角，說明三角形的內(nèi)角和是180°。

師：這個小組通過變換位置，把原本不在一起的三個角轉化成一個平角。其他同學有問題要問嗎？

生8：我覺得這種方法也不太準確——拼成的角和角之間也會有縫隙，不能確定正好是180°吧？

師：的確，這種方法也會產(chǎn)生一定的誤差。剛才同學們分別用測量和剪拼的方法進行了檢驗，卻發(fā)現(xiàn)三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)和未必正好是180°。

三、以疑促思，補充完善

師：學具袋里好像還有一個材料被大家忽略了?？纯词悄膫€圖形？

生1：長方形。

師：今天研究的是三角形的內(nèi)角和。猜猜看，老師為什么要給大家準備這樣一個長方形？

生1：這個長方形沿對角線剪開后可以得到兩個完全一樣的直角三角形。長方形的每個角都是90°，4個角一共360°，所以一個直角三角形的內(nèi)角和就是180°。

師：這種方法好不好？好在哪里？

生2：好！這種方法避免了在剪拼過程中出現(xiàn)的誤差。

生3：這種方法能說明直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。

師：是這樣嗎？這種方法實際上就是借助已知的準確數(shù)據(jù)——長方形的內(nèi)角和是360°，推出直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。那么，現(xiàn)在可以說三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

生4：不行。銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和還沒有證明呢。

師：每個同學手中都有銳角三角形和鈍角三角形，有沒有辦法進一步確認它們的內(nèi)角和也是180°呢？

生5：是不是可以把銳角三角形、鈍角三角形也轉化成長方形或者直角三角形，從而得出它們的內(nèi)角和？

師：試試看！

生6：在銳角三角形內(nèi)畫一條高，把它分成兩個直角三角形，這兩個直角三角形的內(nèi)角和一共是360°，減去增加的兩個直角的度數(shù)，那么，三角形的內(nèi)角和是180°+180°-90°-90°=180°。

生7：在鈍角三角形內(nèi)畫一條高，把它分成兩個直角三角形，發(fā)現(xiàn)每個鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

師：現(xiàn)在可以得出什么結論？

生8：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

師：其實，早在300多年前，法國著名的數(shù)學家和物理學家帕斯卡就用這種方法驗證了任何三角形的內(nèi)角和都是180°，當時他只有12歲。（介紹帕斯卡的推理證明方法）

師：為什么三角形的形狀不同，內(nèi)角和卻都是180°？這里面有沒有什么奧秘？老師這里有一幅圖（用幾何畫板演示不斷變化的三角形），仔細觀察，在這個過程中，什么變了？什么沒變？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：三個角的度數(shù)都在變化，內(nèi)角和卻總是不變。

師：如果老師把上面這個角一直往下拉，猜一猜會出現(xiàn)什么情況？

生10：真神奇！這個角變成了一個180°的平角，另外兩個角變成了0°，雖然這個圖形已經(jīng)不再是三角形，但這三個角的和仍然是180°。

師：不同的方法，同樣的精彩！大家發(fā)現(xiàn)了嗎？無論是撕一撕、折一折，還是拼一拼、分一分，這些方法都有異曲同工之妙，那就是都用了轉化的策略。

四、應用感悟，豐富內(nèi)涵

（1）一個三角形的內(nèi)角和是180°，把這個三角形分成兩個小三角形，這兩個小三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

（2）把兩個三角形拼成一個大三角形，拼成的大三角形內(nèi)角和是180°嗎？

（3）著名數(shù)學家陳省身爺爺在北京大學的一次講學中語驚四座：“人們常說，三角形內(nèi)角和等于180°。但是，這是不對的！”這又是為什么呢？

【課后思考】

1.重要的是驗證結論

雖然很多學生在課前就知道“三角形的內(nèi)角和是180°”，但對他們而言，這僅僅是一個聽來的信息而已。三角形的內(nèi)角和為什么是180°，學生未必思考過。因此，本節(jié)課的教學重點不僅僅在于“三角形的內(nèi)角和是多少度”，更重要的是“用什么方法來說明三角形的內(nèi)角和是180°”，即讓學生通過量、撕、拼、折等方法，經(jīng)歷“三角形的內(nèi)角和為180°”的探究過程。正如畢達哥拉斯所言：在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道的。

2.在質(zhì)疑中走向深刻

關于三角形的內(nèi)角和，測量也好，剪拼、折拼也罷，誤差是不可避免的，許多教師對此不以為然，直接告訴學生這是誤差惹的禍。但是，用“誤差”之說解釋“三角形的內(nèi)角和是180°”，是不是同樣可以解釋“三角形的內(nèi)角和是179°” “三角形的內(nèi)角和是182°”？如此，為什么三角形的內(nèi)角和偏偏是180°？

本節(jié)課之初，當教師讓學生想辦法證明三角形的內(nèi)角和是180°時，很多學生想到的就是用量角器測量三個角的度數(shù)。但測量的結果并未如他們所聽所想的那樣正好是180°。于是，有的學生開始想辦法“解決”這個問題：或調(diào)整測量結果，“湊”出180°;或先測出其中兩個角的度數(shù)，再用180°減去這兩個角的度數(shù)求出第三個角的度數(shù)，以迎合“三角形的內(nèi)角和是180°”。對此，如果僅以“誤差”一詞以概之，勢必會影響學生嚴謹?shù)目茖W作風和實事求是的科學精神的形成。

本節(jié)課中，從學生對“三角形的內(nèi)角和是180°的深信不疑，到測量法、剪拼法的不精確，使學生對“三角形的內(nèi)角和是180°”將信將疑，再到借助長方形論證以及幾何畫板演示使學生對 “三角形的內(nèi)角和一定是180°”確信無疑，學生經(jīng)歷了一個完整的探究發(fā)現(xiàn)過程，提升了思維品質(zhì)，讓數(shù)學學習在質(zhì)疑中走向深刻。

3.在推理中觸摸理性

中科院院士姜伯駒認為，“不講證明，數(shù)學課就失去了靈魂。其實，數(shù)學上很多概念并不是完全可以實驗出來的。比如三角形的內(nèi)角相加是180°，你真用尺子去量，可能會有誤差，也許就得不到這個180°?！?數(shù)學之美在于理性思維，推理是數(shù)學思維的核心。

本節(jié)課中，當測量、剪拼等方法均不能很好地解釋三角形的內(nèi)角和為什么是180°時，借助學生熟知的、顯而易見的“長方形的四個內(nèi)角都是90°”“長方形的內(nèi)角和是360°”這一經(jīng)驗性數(shù)學事實，再結合長方形與直角三角形的內(nèi)角關系，從特殊到一般進行推理，使學生真正理解了三角形的內(nèi)角和之所以是180°的數(shù)學本質(zhì)，同時感受轉化、變與不變的數(shù)學思想和推理力量，有效消除了直觀感知的尷尬，課堂在豐富和深刻中綻放出理性的光輝和散發(fā)出濃濃的數(shù)學味。

（責編 金 鈴）