中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 蔡明艷

錢學(xué)森教授曾指出：“教育工作的最終機(jī)智在于人腦的思維過程?！比祟惖幕顒?dòng)離不開思維，思維活動(dòng)的研究是教學(xué)研究的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，就是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，就要在教學(xué)中展現(xiàn)思維過程，讓學(xué)生親自參與思維活動(dòng)，而課堂問題的動(dòng)態(tài)生成可以很好地體現(xiàn)學(xué)生的思維活動(dòng)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,生成性教學(xué)就是指在教學(xué)目標(biāo)的設(shè)預(yù)下,在師生交往互動(dòng)中,以即時(shí)出現(xiàn)的有價(jià)值、有創(chuàng)見的數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)情境為契機(jī),挖掘?qū)W生的潛能,引發(fā)學(xué)生深入思考,師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展。本文圍繞《與平行線有關(guān)的角的計(jì)算》這一節(jié)課，就如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)動(dòng)態(tài)生成談?wù)勛约旱淖龇ā?/p>

一、感知幾何問題的生成過程，體會(huì)還原定理圖形的思想

數(shù)學(xué)教學(xué)要研究知識(shí)的起源，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生感受問題是怎樣一步一步形成的，在形成的過程中關(guān)注派生出來的問題，并確立研究問題的方向。例如，在本節(jié)課提出初始性問題：

【問題1】已知直線AB∥CD，那么我們是如何研究平行線的呢？引導(dǎo)學(xué)生理解問題的根源，并在此基礎(chǔ)上通過添加圖形元素，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，不斷形成新的挑戰(zhàn)性問題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

【問題2】若再增加一條截線GH，又會(huì)有產(chǎn)生哪些數(shù)學(xué)問題呢？

添加第二條截線GH時(shí)，需要考慮它與第一條截線MN的位置關(guān)系，滲透研究幾何問題的方法，即首先關(guān)注圖形之間的位置關(guān)系。

第一種情況：GH與MN平行。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生感知當(dāng)引入第二條截線時(shí)，又會(huì)產(chǎn)生一些角，相鄰2個(gè)點(diǎn)之間的角的關(guān)系我們已經(jīng)探究完了，那么不相鄰的交點(diǎn)處的角是否存在數(shù)量關(guān)系呢？在學(xué)生敘述角關(guān)系的過程中，進(jìn)一步體會(huì)平行線具有轉(zhuǎn)移角的作用。

第二種情況：GH與MN相交。此時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)若GH與MN相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P對(duì)于原有圖形平行線會(huì)有哪些可能的位置呢？學(xué)生在畫圖與幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示過程中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P可能在其中一條平行線上；點(diǎn)P可能在兩條平行線之間；點(diǎn)P可能在兩條平行線外。在這個(gè)過程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)幾何問題的形成過程，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)研究方向，并滲透分類思想。

圖1

【問題3】以點(diǎn)P在平行線內(nèi)為例，如圖1，我們已經(jīng)知道∠1、∠2分別決定了兩條截線的方向，但兩條截線又形成了一個(gè)角，即∠EPH，那么兩條截線的夾角∠EPH與∠1、∠2是否存在一定的聯(lián)系呢？

這個(gè)過程是通過在基本圖形的基礎(chǔ)上添加圖形元素，形成新的數(shù)學(xué)問題，體會(huì)幾何問題的形成過程，分類思想是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生的問題意識(shí)、空間觀念和幾何直觀等學(xué)科素養(yǎng)在對(duì)話過程中自然而然地得到培養(yǎng)和提升。

而學(xué)生在解決問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，這3個(gè)角之間位置不相關(guān)，需要建立它們之間的聯(lián)系。怎么建立聯(lián)系呢？學(xué)生在交流探究中得到不同的輔助線的作法，并歸納它們的共性，發(fā)現(xiàn)最終是還原了定理圖形，借助平行線建立了不同位置的角之間的關(guān)系，并得出結(jié)論：∠1+∠P+∠2=360°。

二、動(dòng)態(tài)生成幾何問題，展示思維的有序性

用動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)看待幾何問題，有助于建立學(xué)生思維的有序性，滲透由一般到特殊，再由特殊到一般的研究方法，使學(xué)生在面對(duì)新的問題時(shí)能夠找到解決問題的一般方法，揭示問題形成的本質(zhì)。

【問題4】若點(diǎn)P在其他的位置，情況又如何呢？

此時(shí)，我們可以借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，剛才的結(jié)論還成立嗎？幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示讓點(diǎn)P順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，在圖形的變化過程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P與平行線的位置發(fā)生變化時(shí)，其形成的角的數(shù)量關(guān)系也在發(fā)生變化，這就是說，圖形的數(shù)量關(guān)系是由位置關(guān)系所決定的。通過圖形運(yùn)動(dòng)，建立從動(dòng)態(tài)視角認(rèn)識(shí)幾何問題形成的過程，在圖形運(yùn)動(dòng)過程中把握?qǐng)D形的不變關(guān)系，體會(huì)圖形位置與數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)，滲透從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的研究方法以及分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力。

三、滲透數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)問題生成的本質(zhì)

數(shù)學(xué)思想方法是教學(xué)的本質(zhì)，課堂教學(xué)要通過對(duì)變式問題的研究，培養(yǎng)學(xué)生探究問題根源的意識(shí)，正所謂“求根索源”，把握問題的實(shí)質(zhì).

【問題5】如果增加第3條截線，又會(huì)形成哪些圖形呢？角之間又會(huì)存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

【問題6】若平行線AB、CD之間有n個(gè)點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn，形成∠1，∠2，…，那么這些角之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

由于點(diǎn)P的位置不同，所以會(huì)形成不同位置的圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)圖形位置對(duì)數(shù)量關(guān)系的影響，通過增加截線的條數(shù)，體會(huì)圖形變化過程中不變的圖形關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生的研究意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在研究幾何問題中的作用。

本節(jié)課以讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、共同探索、驗(yàn)證猜想為主線的課堂形式組織教學(xué)，給了學(xué)生更多展示自己的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在充分思考的同時(shí)，找出思維漏洞，使他們?cè)谧晕艺J(rèn)識(shí)、自我完善的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)從不同角度考慮問題，學(xué)會(huì)如何思考的過程。

我們教師應(yīng)該把上好每一節(jié)課看成是對(duì)生命構(gòu)成的高度珍惜，帶著以學(xué)生終身發(fā)展為本的新理念，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，在每一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考。教師對(duì)課堂上生成性因素的巧妙把握，提升了課堂教學(xué)的價(jià)值，使得我們的課堂充滿活力，充滿數(shù)學(xué)味道，讓學(xué)生的思維得以真正發(fā)展。