廣東

解析幾何是用代數方法研究幾何問題，解析法偏重于對相關量的數量關系的研究，由于代數運算比較復雜，對運算能力要求較高，往往使很多學生對解析幾何題望而生畏，束手無策.事實上，解析幾何問題的本質仍是幾何問題，若能充分把握解析幾何中圖形的特征，挖掘圖形相應的幾何性質，恰當地運用平面幾何的相關知識進行求解，往往能簡化運算，優(yōu)化解題過程，能起到四兩撥千斤的功效.

通過對近幾年高考全國卷的分析，可以發(fā)現平面幾何的解題思想在高考的解析幾何題中有著重要的作用.本文以近兩年圓錐曲線的高考題為例，展示了從平面幾何的視角解答解析幾何問題，拋磚引玉，供大家參考.

一、與平行線相關的幾何性質

1.梯形的中位線定理

例1(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°，則k=________.

解答:如圖所示，設AB的中點為E，過點A,B,E分別作準線l:x=-1的垂線，垂足分別為A1,B1,H.設A(x1,y1)，B(x2,y2),E(xE,yE).

由梯形的中位線定理與拋物線的定義可得

同時點M(-1,1)在拋物線的準線l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

2.平行線分線段成比例定理

(Ⅰ)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅱ)不難發(fā)現點M是橢圓的右準線x=2與x軸的交點，所以可以用橢圓的第二定義來證明.

當直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當直線l與x軸不重合時，如圖所示，過點A,B分別作準線x=2的垂線，垂足分別為C,D，則有AC∥BD∥x軸.

所以△ACM∽△BDM，可得∠AMC=∠BMD，即有∠AMO=∠BMO.

評析:以上兩例都是以直線和圓錐曲線的相交關系為背景，若用解析法組成方程組求解，運算量較大，較難順利地得出結論.例1利用梯形的中位線定理與拋物線的定義，例2利用橢圓的第二定義與平行線分線段成比例定理，都充分應用了平面幾何中“平行線”的相關知識進行解題，極大地簡化了運算，且解法簡單、優(yōu)美.

二、與三角形相關的幾何性質

1.等腰(等邊)三角形的性質

( )

2.直角三角形的性質

( )

在Rt△OMN中，∠ONF=90°-60°=30°，

在Rt△OMF中，|OF|=2，∠MOF=30°，所以|MF|=1，

在△ONF中，∠ONF=∠NOF=30°，所以|NF|=|OF|=2，

所以|MN|=|MF|+|NF|=1+2=3，故選B.

3.相似三角形的性質

例5(2017·全國卷Ⅱ理·16)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=________.

(Ⅰ)求點P的軌跡方程；

解答：(Ⅰ)略.P的軌跡方程為x2+y2=2.

由①+②得(m+n)2+m2-n2=6，即m(m+n)=3.

評析：三角形雖然是簡單的圖形，但有很多的幾何性質，特別是在特殊的三角形中，如等腰三角形的三線合一，等邊三角形的三邊相等、三角相等，直角三角形的勾股定理，邊角關系和相似三角形的對應邊關系等.熟練運用三角形相關的幾何性質可以巧妙避免“解析法”帶來運算上的困難.

三、與圓相關的幾何性質

1.垂徑定理

2.相交弦定理

例8(2017·全國卷Ⅲ文·20)在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點，點C的坐標為(0,1).當m變化時，解答下列問題：

(Ⅰ)能否出現AC⊥BC的情況？說明理由；

(Ⅱ)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.

(Ⅱ)設過A，B，C三點的圓與y軸相交于另一個點D(點D在x軸的下方)，根據相交弦定理得|OC|×|OD|=|OA|×|OB|，即有1×|OD|=-x1x2，所以|OD|=2.因此過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為|CD|=|OC|+|OD|=1+2=3，是定值.

評析：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，蘊藏著諸多的幾何性質，常見的性質有：直徑所對的圓周角為直角、垂徑定理、切線長定理、切割線定理和相交弦定理等.對于解析幾何中涉及圓的問題，若能聯系題中的幾何要素，靈活運用圓的幾何性質，解題往往能事半功倍.如例8中的問題(Ⅱ)用到了圓的相交弦定理，思路巧妙，解法簡單快捷，相比于解析法，極大地減少了運算量.

四、小結反思

解析幾何是建立在坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，用代數方法(解析法)解決幾何問題，解題過程常常會出現繁雜的推理與運算.在平時的學習中，我們也往往偏重于對相關量的數量關系的研究，習慣于代數的推理過程，而忘記解析幾何的本質是“幾何”這一重要特征.