甘肅

本文以一道省級數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題為例，通過對不同解法的比較，揭示了試題命制的背景，以三正切公式為載體的內(nèi)在關(guān)聯(lián).并且通過在不同的競賽試題中的應(yīng)用，進一步表明了三正切公式是各級競賽試題中聯(lián)系三角和代數(shù)之間的重要橋梁和紐帶.

題目(2018·全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(吉林)預(yù)賽·6)設(shè)x>0，y>0，z>0，滿足x+y=xy，x+y+z=xyz，則z的取值范圍是

( )

分析這是一道有限制條件下的多元函數(shù)的最值問題，多元函數(shù)的變量多，式子復(fù)雜，其解決方法主要是消元法，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題，然后運用函數(shù)的思想或者基本不等式來解決.

解法1 整體消元法

由x+y=xy，x+y+z=xyz得xy+z=xyz，

解法2 代入消元法

注意到題設(shè)限制條件x>0，y>0，z>0，且x+y+z=xyz的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合在斜三角形中三個內(nèi)角滿足tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可以做三角代換.如解法3所示.

解法3 三正切公式

在銳角三角形ABC中，令x=tanA，y=tanB，z=tanC，

則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

又由x+y=xy得tanA+tanB=tanAtanB，

所以tanAtanB≥4，(1)

評析多元問題的解決方案主要是消元，但本題根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點，轉(zhuǎn)化為銳角三角形中的有關(guān)問題，這正是這道多元函數(shù)最值試題命制的背景，三個變量之間的相互制約的關(guān)系實際上是銳角三角形三個內(nèi)角正切值之間的聯(lián)系.用三角代換解答該問題，不落俗套，令人耳目一新.

在解法3中，根據(jù)試題特點，用到了斜三角形三個內(nèi)角的正切函數(shù)之間滿足的一個恒等式，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，這是蘇教版必修4P104例4的結(jié)論，實際上是在任意非直角三角形中和角正切公式的變形，由于含有三角形三個內(nèi)角的正切函數(shù)，且為了下面行文方便，不妨稱之為三角形的三正切公式，以這個三角恒等式為背景命制的試題活躍在近年各級考試當(dāng)中，尤其受到各級競賽命題者的青睞.

1 恒等式的證明

因為在斜三角形ABC中，tanA,tanB,tanC都有意義，

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，

移項整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

推論當(dāng)A+B+C=kπ(k∈Z)，且tanA，tanB，tanC有意義時，始終有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，

移項整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

2 直接考查三正切公式

例1(2017·全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河北)預(yù)賽·10)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，有等式lntanA+lntanC=2lntanB.

(1)求證tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

解：(1)證明過程略；

(2)由已知條件，tanA>0，tanB>0，且tanC>0，△ABC為銳角三角形.

評析本題第(1)問直接考查了三正切公式的證明，第(2)問根據(jù)已知條件，運用三正切公式結(jié)合三元均值不等式求出了角B，進而轉(zhuǎn)化成了一個三角形中的定角對定邊問題的變化試題.

3 直接應(yīng)用三正切公式

例2(2016·江蘇卷·14)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC.則tanAtanBtanC的最小值是________.

解：因為sinA=2sinBsinC，所以sin(B+C)=2sinBsinC，

展開得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

兩邊同除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，

(當(dāng)且僅當(dāng)tanA=2tanBtanC時，取“=”)，

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

例3(2018·江蘇宿遷市高三第一學(xué)期期中考試·14)在銳角△ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為________.

解：在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，兩邊同除以tanC得

9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

=25.

解：在△ABC中，由sin2A+sin2C=2 018sin2B得a2+c2=2 018b2，

4 構(gòu)造三正切公式

因為H是△ABC的垂心，所以a·b=a·c=b·c，

cos∠AHB=cos

也可根據(jù)三角形垂心的特點，構(gòu)造三正切公式，轉(zhuǎn)化為三角問題，如解法2所示.

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

評注解法2依據(jù)三角形的垂心滿足的特點，構(gòu)造出該題滿足三正切公式所需條件，把一個較為復(fù)雜的向量問題，轉(zhuǎn)化為三角問題，從而簡化了運算.

分析左邊是三個分式的和，右邊是與左邊相同的三個分式的積，符合三正切公式的特點，另外，三個分式都符合兩角差的正切公式，從而明確本題證明方向為三角代換.

證明：令a=tanA，b=tanB，c=tanC，

tan(C-A)，

且(A-B)+(B-C)+(C-A)=0·π，

所以根據(jù)推論得，tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)·tan(B-C)·tan(C-A)，

評注本題的證明依據(jù)推論，要驗證(A-B)+(B-C)+(C-A)=0·π.

5 其他應(yīng)用

根據(jù)正弦定理得sinAcosB=4sinBcosA，

即4tanB=tanA.

又tanC=-tan(A+B)

在斜三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

6 解題感悟

從解題的角度來看，將三角形式的題目轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，解答方法就豐富起來，而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，可以利用三正切公式，使解答變得方便快捷，三正切公式是把解三角形中的有關(guān)問題與代數(shù)問題聯(lián)系起來的紐帶之一.

從命題的角度來看，根據(jù)試題結(jié)構(gòu)特點，對于本文開頭題目可以改編成一個純粹的三角問題：在銳角三角形ABC中，若tanA+tanB=tanAtanB，求tanC的取值范圍.而對2016江蘇高考第14題這個三角試題，也可以改編為一個純粹的代數(shù)試題：設(shè)x>0，y>0，z>0，滿足x+y+z=xyz，x=2yz，則xyz的最小值為________.經(jīng)過改編，前者條件明確，具有了高考試題的特點，后者條件隱晦，具有了競賽試題的特點，這種改編，體現(xiàn)了高考試題和競賽試題之間的轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)不同章節(jié)之間的聯(lián)系，使得解答方法多樣化，揭示了試題隱含的背景，這也許是三正切公式在各級競賽中頻繁出現(xiàn)的一個原因.