常雅杰,趙 晨，段傳輝

0 引 言

隨著航天科技的迅猛發(fā)展，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的大型化和復(fù)雜化已經(jīng)是當(dāng)今這個(gè)航天任務(wù)多樣化的時(shí)代不可避免的發(fā)展趨勢(shì).為在延長衛(wèi)星在軌壽命的同時(shí)高效完成任務(wù)需求，各類功能附件的安裝十分必要.衛(wèi)星在軌運(yùn)行時(shí)，附件結(jié)構(gòu)受環(huán)境干擾產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)以及撓性附件與衛(wèi)星本體之間的動(dòng)力學(xué)強(qiáng)耦合效應(yīng)一直以來都是撓性衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制中亟待解決的問題.

近年來，在撓性衛(wèi)星的姿態(tài)控制方面，現(xiàn)代控制理論研究成果受到了越來越多的關(guān)注，魯棒控制[1-2]、自抗擾控制[3]、預(yù)測(cè)控制[4-5]、最優(yōu)控制[6-7]等控制方法得到了廣泛的應(yīng)用，例如文獻(xiàn)[8]針對(duì)CNES微小撓性衛(wèi)星TARANIS具有的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、固有頻率及阻尼存在不確定性的情況，基于LMI方法使用S函數(shù)設(shè)計(jì)了增益可調(diào)的魯棒自適應(yīng)控制器；WU等[9]針對(duì)安裝有大型撓性附件和有效載荷的航天器高精度姿態(tài)控制問題，首先建立了拉格朗日形式的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，然后針對(duì)在軌航天器受到的干擾設(shè)計(jì)了基于LMI的H∞輸出反饋控制器，并采用凸優(yōu)化算法處理模型的不確定性；文獻(xiàn)[10]將撓性航天器受到的外干擾和執(zhí)行機(jī)構(gòu)約束考慮在內(nèi)，基于Sontag型公式和Lyapunov方法設(shè)計(jì)了一種新型魯棒逆最優(yōu)控制策略實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的機(jī)動(dòng)控制; 文獻(xiàn)[11]針對(duì)無角速度敏感器的撓性衛(wèi)星提出了一種將ADRC和輸入成型技術(shù)相融合的新型控制方案，采用機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃與輸入成型相結(jié)合的過渡過程削弱振動(dòng)響應(yīng)，設(shè)計(jì)ESO估計(jì)干擾和姿態(tài)角速度信息，并引入了非線性反饋控制律實(shí)現(xiàn)期望姿態(tài)跟蹤和實(shí)時(shí)干擾補(bǔ)償.如上所述，有大量的控制方法可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)的收斂，然而對(duì)于控制系統(tǒng)而言，有限時(shí)間收斂與現(xiàn)有控制方法的漸近收斂特性相比，往往意味著更好的控制性能和魯棒性，而采用連續(xù)狀態(tài)反饋的終端滑模方法就是一種性能優(yōu)良的有限時(shí)間控制方法[12-13].但其中很大一部分文獻(xiàn)忽略或簡(jiǎn)化了衛(wèi)星的剛?cè)狁詈闲?yīng)，并簡(jiǎn)單的將外干擾力矩設(shè)為零或常值，而忽視了衛(wèi)星在軌運(yùn)行的真實(shí)特性.

因此，致力于實(shí)現(xiàn)撓性衛(wèi)星的有限時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制，并充分考慮衛(wèi)星在軌運(yùn)行時(shí)的真實(shí)特性，本文提出了一種基于雙冪次趨近律的終端滑?？刂破鳎⑼ㄟ^兩種不同類型的觀測(cè)器將外干擾力矩和剛?cè)狁詈闲?yīng)考慮在內(nèi).論文結(jié)構(gòu)如下所述：第1節(jié)建立了撓性衛(wèi)星的數(shù)學(xué)模型；第2節(jié)構(gòu)造了非線性干擾觀測(cè)器、超螺旋觀測(cè)器和終端滑模控制器，并采用Lyapunov理論證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；最后，在第3節(jié)通過仿真驗(yàn)證了所提控制算法的有效性.

1 撓性衛(wèi)星的數(shù)學(xué)模型

1.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

基于四元數(shù)描述的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下[14]：

1.2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

考慮在姿態(tài)控制過程中，帆板相對(duì)于衛(wèi)星主體無轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，采用混合坐標(biāo)建立撓性衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型[14]：

根據(jù)衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)方程可以很明顯的看出，衛(wèi)星本體的角速度影響帆板附件的撓性模態(tài)，相應(yīng)的，帆板模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)也對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)產(chǎn)生影響.

2 撓性衛(wèi)星有限時(shí)間姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

將衛(wèi)星運(yùn)行過程中受到的外干擾力矩和剛?cè)狁詈闲?yīng)考慮在內(nèi)，本文結(jié)合兩種不同的觀測(cè)器設(shè)計(jì)了終端滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)撓性衛(wèi)星的有限時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定控制.

2.1 非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

在衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型(2)中存在未知的外界干擾Td,為了提高撓性衛(wèi)星控制系統(tǒng)的控制精度，基于物理意義明確、工程實(shí)現(xiàn)便捷的考慮，本文設(shè)計(jì)了非線性干擾觀測(cè)器來逼近不確定系統(tǒng)(2)中的未知干擾，從而補(bǔ)償干擾給系統(tǒng)帶來的影響，提高系統(tǒng)的控制性能.

J-1Tc+J-1Td(3)

可以得到狀態(tài)空間方程如下：

針對(duì)系統(tǒng)(4)可以設(shè)計(jì)如下形式的NDO：

根據(jù)式(5)及衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程(2)可以得到如下表達(dá)式

為證明干擾估計(jì)的有效性，定義Lyapunov函數(shù)

對(duì)式(7)求導(dǎo)得

2.2 超螺旋觀測(cè)器設(shè)計(jì)

引理1[16].考慮系統(tǒng)

設(shè)計(jì)超螺旋觀測(cè)器形式如下：

2.3 終端滑模控制器設(shè)計(jì)

首先假設(shè)期望的姿態(tài)四元數(shù)為qd,則姿態(tài)的誤差四元數(shù)可以定義為

其次，假設(shè)期望的姿態(tài)角速度為ωd,則姿態(tài)的誤差角速度可以定義為

ωe=ωs-ωr(13)

根據(jù)式(11)～式(14)，可以由運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程(1)、(2)獲得撓性衛(wèi)星的姿態(tài)誤差方程如下：

s=x2+α0sigχ0(x1)(16)

其中：α0>0，χ0∈(0,1)，sigχ0(x)=|x|χ0sgn(x). 由于“抖振”現(xiàn)象是傳統(tǒng)滑模控制中的一個(gè)顯著缺點(diǎn)，容易對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生威脅，因此，為同時(shí)實(shí)現(xiàn)削弱系統(tǒng)抖振和提高狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度，采用如下形式的雙冪次趨近律：

其中：α>1,0<β<1,k1>0,k2>0.

采用上述趨近律時(shí)，在滑模面附近，k1sigα(s)項(xiàng)可以忽略，則由0<β<1可知，趨近滑動(dòng)模態(tài)的速度逐漸減小，抖振現(xiàn)象有所削減；在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，k2sigβ(s)項(xiàng)可以忽略，則由α>1可知，趨近滑動(dòng)模態(tài)的速度顯著加快，減小了運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面和在滑模面上趨近零平衡點(diǎn)的有限時(shí)間特性，本文選取如下形式的控制律：

Tc=ueq+ureach(18)

其中，ueq為等效控制律.

式(18)中的第二項(xiàng)主要在到達(dá)階段發(fā)生作用，用于確保系統(tǒng)狀態(tài)在到達(dá)階段的有限時(shí)間特性.控制律的形式如下：

ureach=-J[k1sigα(s)+k2sigβ(s)](21)

因此，本文設(shè)計(jì)的撓性衛(wèi)星終端滑?？刂坡尚问饺缦拢?/p>

引理2[17].考慮系統(tǒng)

(1)V是正定函數(shù)

(2) 存在k1>0,00且為常值時(shí)，如果V滿足下列任一微分不等式

則系統(tǒng)(23)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

定理1.對(duì)系統(tǒng)(15)采用控制律(22)可使得衛(wèi)星姿態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)趨于平衡點(diǎn).

(1) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)(x1,x2)位于A區(qū)域時(shí)，式(22)中的飽和函數(shù)取為

因此可將控制律改寫為

定義Lyapunov函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)得

根據(jù)引理2可知，系統(tǒng)(15)將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面(16).

圖1 狀態(tài)空間的區(qū)域劃分示意圖Fig.1 Regional division of state space

(2) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)(x1,x2)位于B區(qū)域時(shí)，式(22)中的飽和函數(shù)取為

sat(uf,us)=us(30)

則可以將控制律(22)改寫為

J[k1sigα(s)+k2sigβ(s)](31)

則有

因此在區(qū)域B上總有以下情況成立：

根據(jù)式(15)可知，狀態(tài)x1(t)的解可以表示為

則根據(jù)圖1可知，在區(qū)域B內(nèi)，當(dāng)x2(t)>0時(shí)，x1(t)單調(diào)遞增直到穿越區(qū)域B和區(qū)域A的邊界；當(dāng)x2(t)<0時(shí)，x1(t)單調(diào)遞減直到穿越區(qū)域B和區(qū)域A的邊界.因此可知，狀態(tài)(x1,x2)不會(huì)始終保持在區(qū)域B內(nèi)，而是會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)從區(qū)域B穿越到區(qū)域A.一旦狀態(tài)(x1,x2)到達(dá)區(qū)域A,系統(tǒng)將滿足s有限時(shí)間穩(wěn)定條件.

最后，當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面s=0以后，定義Lyapunov函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)得

根據(jù)引理2可知，系統(tǒng)(15)的狀態(tài)將在有限時(shí)間收斂到(0,0).

證明完畢.

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文提出的控制器的控制效果，本節(jié)對(duì)帶有兩副太陽帆板的撓性衛(wèi)星進(jìn)行仿真分析，并與采用一般滑?？刂品椒ǖ姆抡娼Y(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

用于對(duì)比的滑?？刂坡扇缦拢?/p>

u=-K1s-D1F(s)+ueq(38)

式中K1=diag{ki}，D1=diag{di}，ki>0，di>0，i=1,2,3,F(s)={sgn(s1),sgn(s2),sgn(s3)}T.

滑?？刂破鞑捎玫那袚Q函數(shù)為

s=ωe+kqve(39)

(1) 衛(wèi)星本體相關(guān)參數(shù)的取值如表1所示.

(2) 定義Ci=2εΩ，Ki=Ω2(i=1,2),相關(guān)參數(shù)取值如表2所示.

(3) 仿真過程中選取控制參數(shù)如表3所示.

表1 衛(wèi)星本體相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of the satellite body

表2 太陽帆板前六階振型頻率與阻尼比Tab.2 Parameters of solar panel

表3 仿真過程控制參數(shù)Tab.3 Parameters of observer and controller

首先，為了驗(yàn)證本文提出的非線性干擾觀測(cè)器(5)對(duì)環(huán)境干擾力矩的估計(jì)效果，給出環(huán)境干擾力矩觀測(cè)誤差曲線如下圖2所示.

圖2 環(huán)境干擾力矩觀測(cè)誤差曲線Fig.2 Response of observing error of disturbance torque

根據(jù)圖2可知，仿真施加的環(huán)境干擾力矩與非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)的干擾力矩誤差收斂迅速，100 s內(nèi)誤差收斂到0附近，400 s后穩(wěn)態(tài)觀測(cè)誤差達(dá)到2.3×10-4N·m數(shù)量級(jí)，說明本文提出的非線性干擾觀測(cè)器對(duì)環(huán)境干擾力矩具有良好的觀測(cè)效果.

下面首先給出一般滑?？刂破?38)的仿真結(jié)果.圖3～圖6給出了采用一般滑?？刂破鲗?duì)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的仿真結(jié)果，根據(jù)圖3和圖4可知，衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)誤差及姿態(tài)角速度誤差曲線在50 s后收斂到5×10-3數(shù)量級(jí)，但“抖振”現(xiàn)象劇烈，衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的誤差在平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生了振蕩，衛(wèi)星姿態(tài)角速度誤差最大達(dá)到0.27(°)/s，且姿態(tài)角速度誤差在370s后才收斂到1×10-5數(shù)量級(jí).圖5和圖6給出了撓性帆板的6階模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)，可以看出在50 s后兩塊帆板的振動(dòng)幅值均收斂到1×10-4數(shù)量級(jí)，但是模態(tài)坐標(biāo)曲線波動(dòng)劇烈.圖7～圖10給出了本文所提終端滑模控制器對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的仿真結(jié)果，根據(jù)圖7和圖8可以看出，雖然仍舊存在“抖振”現(xiàn)象，但姿態(tài)角速度誤差最大值僅為-0.025(°)/s，且衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)誤差及姿態(tài)角速度誤差曲線在50 s后分別收斂到6.5×10-3和1×10-5數(shù)量級(jí)；圖9及圖10給出了衛(wèi)星+Y及-Y方向撓性太陽帆板的6階模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)，從圖中可以看出，模態(tài)坐標(biāo)收斂迅速，在50 s后兩塊帆板的振動(dòng)幅值均收斂到5×10-5數(shù)量級(jí).從上述變化曲線及數(shù)據(jù)分析可以看出，本文提出的終端滑?？刂破鬏^一般控制器而言具有良好的收斂速度、控制精度和穩(wěn)定度，在有效抑制撓性帆板結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星姿態(tài)的高精度高穩(wěn)定度控制.

圖3 姿態(tài)四元數(shù)誤差曲線Fig.3 Response of quaternion error

圖4 姿態(tài)角速度誤差曲線Fig.4 Response of attitude angular velocity error

圖5 +Y方向帆板模態(tài)坐標(biāo)曲線Fig.5 Response of vibration modes in +Y

圖6 -Y方向帆板模態(tài)坐標(biāo)曲線Fig.6 Response of vibration modes in -Y

圖7 姿態(tài)四元數(shù)誤差曲線Fig.7 Response of quaternion error

圖8 姿態(tài)角速度誤差曲線Fig.8 Response of attitude angular velocity error

圖9 +Y方向帆板模態(tài)坐標(biāo)曲線Fig.9 Response of vibration modes in +Y

圖10 -Y方向帆板模態(tài)坐標(biāo)曲線Fig.10 Response of vibration modes in -Y

4 結(jié) 論

本文針對(duì)存在外部干擾和剛?cè)狁詈闲?yīng)的撓性衛(wèi)星，采用觀測(cè)器估計(jì)未知信息，提出了一種終端滑模有限時(shí)間控制方法，該控制方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 通過非線性干擾觀測(cè)器和超螺旋觀測(cè)器估計(jì)了外部干擾力矩和衛(wèi)星角加速度信息；

(2) 采用雙冪次趨近律實(shí)現(xiàn)了在削弱系統(tǒng)抖振的同時(shí)提高狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度；

(3) 通過Lyapunov理論證明和數(shù)據(jù)仿真分析驗(yàn)證了該方法在有效抑制撓性振動(dòng)的同時(shí)可以快速、高效的實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間穩(wěn)定.