朱振南，蔣國(guó)盛，田紅，吳文兵,2，梁榮柱,2，竇斌

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，湖北 武漢，430074；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州，310058)

隨著高放核廢料地下深埋處置、干熱巖地?zé)豳Y源開(kāi)發(fā)和礦產(chǎn)資源深部開(kāi)采等高溫巖體工程的進(jìn)一步發(fā)展，人們對(duì)高溫作用下或高溫作用后巖石物理力學(xué)特征的相關(guān)研究越來(lái)越多。與常溫狀態(tài)下相比，高溫下或高溫后巖石的力學(xué)性質(zhì)通常會(huì)發(fā)生劣化，進(jìn)而影響地下高溫巖體工程的穩(wěn)定與安全。研究者從不同角度和層次，通過(guò)宏觀及微觀試驗(yàn)研究了溫度對(duì)巖石物理力學(xué)性質(zhì)的影響。通過(guò)宏觀力學(xué)試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)花崗 巖[1-3]、大理巖[4-6]、砂巖[7-9]、黏土巖[10]等的力學(xué)性能如彈性模量、抗壓強(qiáng)度隨溫度升高而呈現(xiàn)出弱化的趨勢(shì)。PENG等[11-13]利用掃描電子顯微鏡(SEM)觀測(cè)得出，不同巖石內(nèi)部的微裂紋會(huì)隨溫度的升高而不斷生成、擴(kuò)展、增多，并且微裂紋類型由晶間裂紋逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇┚Я鸭y。這些試驗(yàn)研究揭示了溫度對(duì)巖石具有熱損傷作用，因此，在高溫巖體工程設(shè)計(jì)與計(jì)算中，為了更精確地描述巖石的力學(xué)行為，采用考慮溫度效應(yīng)的巖石本構(gòu)模型十分必要。目前，考慮溫度作用的本構(gòu)模型主要分3 大類：1)基于損傷理論和熱彈性理論建立的熱彈塑性損傷模型[14-16]；2)基于蠕變?cè)囼?yàn)和熱黏塑性理論建立的流變模型[17-18]；3)基于統(tǒng)計(jì)分布建立的巖石熱損傷本構(gòu)模型[19-20]。統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型可以直接而又準(zhǔn)確地描述巖石損傷演化過(guò)程的缺陷，從而更好地刻畫巖石損傷的力學(xué)機(jī)制，因而該類模型較前2 類模型具有明顯的優(yōu)勢(shì)。在巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型[21-26]的基礎(chǔ)上，徐銀花等[19]通過(guò)考慮溫度對(duì)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的影響建立了高溫下巖石損傷本構(gòu)模型，但僅考慮了單向壓力，對(duì)三向應(yīng)力狀態(tài)的適用性沒(méi)有進(jìn)一步驗(yàn)證；李天斌等[20]通過(guò)考慮溫度對(duì)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的影響建立了考慮溫度啟裂應(yīng)力的熱-力-損傷本構(gòu)模型，但未驗(yàn)證其高溫的適用性。為此，本文作者在傳統(tǒng)巖石統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型基礎(chǔ)上，假設(shè)受熱損傷的巖石微元強(qiáng)度服從Normal分布，引入熱損傷變量，建立滿足Mohr- Coulomb 準(zhǔn)則的巖石統(tǒng)計(jì)熱損傷本構(gòu)模型。通過(guò)與高溫作用后花崗巖單軸和三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所提模型的合理性和適用性。

1 模型建立

1.1 本構(gòu)關(guān)系和損傷變量

巖石內(nèi)部含有微裂隙和孔洞等天然缺陷，高溫作用后會(huì)引起這些缺陷不斷破壞、連接和貫通。依據(jù)損傷理論，高溫對(duì)巖石的損傷為統(tǒng)計(jì)損傷，受熱損傷的巖石微元體強(qiáng)度服從統(tǒng)計(jì)分布。本文在常溫?fù)p傷變量D定義[22]的基礎(chǔ)上，提出熱損傷變量DT，為巖石經(jīng)歷高溫作用后在某一應(yīng)力狀態(tài)下已破壞微元體數(shù)目NTf與總微元體數(shù)目NT的比值，即

假設(shè)經(jīng)高溫作用后微元體強(qiáng)度概率密度函數(shù)為P(FT)，當(dāng)應(yīng)力水平FT超過(guò)一定強(qiáng)度時(shí)，單元相繼破裂。在區(qū)間[FT，F(xiàn)T+dFT]內(nèi)，若新破壞的微元體數(shù)目為N(FT)dFT，則DT為

高溫作用后，巖石在荷載作用下，應(yīng)變等效性假設(shè)示意圖如圖1所示(其中，A為巖石初始橫截面總面積，A*為巖石受損后的有效承載面積，A-A*為在加載過(guò)程中出現(xiàn)損傷后的截面面積)。由式(1)可得

圖1 應(yīng)變等效性假設(shè)示意圖Fig.1 Illustration of strain equivalence hypothesis

根據(jù)Lemaitre 應(yīng)變等價(jià)理論和有效應(yīng)力的概 念[27]，此假說(shuō)認(rèn)為名義應(yīng)力下含損傷巖石產(chǎn)生的應(yīng)變等價(jià)于有效應(yīng)力下含損傷巖石產(chǎn)生的有效應(yīng)變(其中名義應(yīng)力即為試驗(yàn)測(cè)的應(yīng)力)，則考慮溫度作用后含損傷的名義應(yīng)力iσ(i=1，2和3)和有效應(yīng)力和3)的關(guān)系為

經(jīng)歷高溫作用后巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線依然存在明顯的彈性階段[10]，且力學(xué)參數(shù)(彈性模量E、泊松比v)受溫度影響[1-10]。設(shè)依賴于損傷溫度的彈性模量和泊松比分別為ET和vT，并假定高溫作用后未受損傷的巖石部分處于完全彈性狀態(tài)，則根據(jù)廣義胡克定律可知

式中：(i，j，k)為(1，2，3)，(2，3，1)或(3，1，2)；和分別為不同溫度作用后巖石有效彈性模量和有效泊松比；為與有效應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的有效應(yīng)變。

由式(4)和(5)可得

根據(jù)Lemaitre 應(yīng)變等價(jià)理論可得

其中：εi為與有效應(yīng)力σi所對(duì)應(yīng)的名義應(yīng)變。巖石彈性模量定義為巖石處在彈性階段軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變之比，因此，可認(rèn)為

將式(4)，(7)～(9)代入式(6)可得出

對(duì)式(10)進(jìn)行簡(jiǎn)化可得到巖石材料經(jīng)歷熱損傷作用的各向同性彈性損傷本構(gòu)方程：

式中：(i，j，k)為(1，2，3)，(2，3，1)或(3，1，2)；ET和Tv分別為巖石經(jīng)歷不同溫度作用后的彈性模量和泊松比。對(duì)于含初始損傷的巖石，DT的取值范圍為0≤DT≤1，其中，DT=0 表示巖石材料未經(jīng)高溫作用處于初始無(wú)損狀態(tài)，DT=1 表示巖石材料經(jīng)高溫作用后處于完全損傷狀態(tài)。

應(yīng)用此熱損傷本構(gòu)方程時(shí)，需要著重考慮以下2個(gè)問(wèn)題：1)高溫作用后巖石微元體應(yīng)力水平FT的確定；2)高溫作用后微元強(qiáng)度概率密度函數(shù)P(FT)的選擇。

1.2 應(yīng)力水平

經(jīng)高溫作用后巖石微觀破壞準(zhǔn)則可用有效應(yīng)力和巖石材料參數(shù)表示：

式中：KT為與經(jīng)高溫作用后巖石材料參數(shù)有關(guān)的常數(shù)；*σ為巖石內(nèi)部微元體的有效應(yīng)力。當(dāng)時(shí)，巖石微元單元產(chǎn)生破壞，因此，可以作為微元體應(yīng)力，用來(lái)反映巖石微觀破壞程度，即

曹文貴等[22]提出基于巖石破壞準(zhǔn)則的新型巖石微元強(qiáng)度度量方法，該方法能直接反映應(yīng)力狀態(tài)對(duì)巖石微元強(qiáng)度的影響。試驗(yàn)結(jié)果表明，巖石的內(nèi)摩擦角隨溫度的升高而增大，黏聚力隨溫度的升高而降低[2]。Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則具有參數(shù)形式簡(jiǎn)單且適用于巖石介質(zhì)等特點(diǎn)，利用有效應(yīng)力和巖石力學(xué)參數(shù)表示的考慮溫度效應(yīng)的Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則[28]可表示為

式中：Tφ和cT分別為依賴溫度的巖石內(nèi)摩擦角和黏聚力；(i=1，2和3)為有效應(yīng)力下3 個(gè)主應(yīng)力分量。因此，經(jīng)高溫作用后巖石微元應(yīng)力水平FT可表示為

式(15)包含有效應(yīng)力，因此，需要得到用名義應(yīng)力表示的應(yīng)力。根據(jù)式(4)可得：

由式(11)可得

將式(18)分別代入式(16)和式(17)可得：

將式(19)和式(20)代入式(15)則可得到基于Mohr- Coulomb 準(zhǔn)則的高溫作用后微元體應(yīng)力：

1.3 統(tǒng)計(jì)熱損傷本構(gòu)模型

巖石內(nèi)包含的裂隙和許多其他缺陷分布方向是隨機(jī)的，因此，可以在計(jì)算方程中引入反映強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)的函數(shù)[29]。KRAJCINOVIC等[30]將連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，提出1 個(gè)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。唐春安[21]提出常溫狀態(tài)下巖石微元體強(qiáng)度符合Normal分布，本文假設(shè)高溫作用后巖石微元體強(qiáng)度服從Normal分布，類比常溫狀態(tài)下概率密度函數(shù)[24]，在高溫下，概率密度函數(shù)表示為

式中：FT為微元強(qiáng)度隨機(jī)分布的應(yīng)力；S0及Fn0為不同溫度作用后Normal分布函數(shù)參數(shù)，它們反映巖石材料經(jīng)歷不同溫度作用后的力學(xué)性質(zhì)。

將式(22)代入式(2)可得

將式(23)代入式(11)，根據(jù)廣義胡克定律，基于Normal分布下高溫作用后巖石統(tǒng)計(jì)熱損傷的本構(gòu)方程則可表示為

2 參數(shù)確定

本文所提出的巖石統(tǒng)計(jì)熱損傷模型涉及到的力學(xué)參數(shù)包括ET，vT，cT和Tφ，均可通過(guò)高溫作用后巖石常規(guī)三軸試驗(yàn)測(cè)得。在不同溫度下，Normal分布參數(shù)S0和Fn0可以依據(jù)LI等[25]提出的極值法確定，具體求解過(guò)程如下。

巖石于低圍壓條件下表現(xiàn)出屈服特征，應(yīng)力達(dá)到峰值后隨應(yīng)變的增加而降低。因此，對(duì)應(yīng)峰值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，即

式中：scσ和scε分別表示峰值應(yīng)力及相對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變。將峰值點(diǎn)坐標(biāo)(scσ，scε)代入式(21)和式(24)，可得

式中：Fsc為且時(shí)的巖石微元體強(qiáng)度。由式(19)，(20)和(24)可得出

結(jié)合式(23)和(26)，DT可以表示為

式中：Dsc為且時(shí)的熱損傷變量；Fsc如式(26)所示。

結(jié)合式(26)，(27)和(30)，式(25)可以表示成

假設(shè)式(30)中Z=(Fsc-Fn0)/S0，Z可查看標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表獲得，因此，結(jié)合式(30)和式(31)，不同高溫作用后S0可表示為

同時(shí)，不同溫度作用后Fn0可表示為

3 模型驗(yàn)證與討論

本文引用秦嚴(yán)[31]通過(guò)高溫后花崗巖單軸和三軸壓縮試驗(yàn)的相關(guān)研究成果，以驗(yàn)證本文所提出的巖石統(tǒng)計(jì)熱損傷本構(gòu)模型的合理性及適用性。

在此項(xiàng)研究中，巖樣常溫下縱波波速為4 800 m/s，完整性和均勻性較好，平均密度為2.72 g/cm3，平均單軸抗壓強(qiáng)度為83.33 MPa，泊松比為0.141，內(nèi)摩擦角為48.38°，黏聚力為19.81 MPa。X 線衍射分析其礦物成分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為：石英42%，斜長(zhǎng)石39%，微斜長(zhǎng)石14%，云母5%。在試驗(yàn)過(guò)程中，高溫處置的升溫速率為3℃/min，目標(biāo)溫度為100，200，300，400和500℃，巖樣溫度達(dá)到目標(biāo)溫度后恒溫2 h，再在高溫爐內(nèi)自然冷卻，三軸試驗(yàn)的圍壓為5，15和25 MPa。各個(gè)溫度和圍壓作用下試驗(yàn)樣本數(shù)均為3 個(gè)。

根據(jù)秦嚴(yán)[31]的試驗(yàn)結(jié)果，本文所建模型參數(shù)取值如表1所示。表1 中，各溫度和圍壓作用下Normal分布參數(shù)S0和Fn0通過(guò)式(32)和式(33)得出。由式(24)可得不同溫度和不同圍壓作用下巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的理論曲線，見(jiàn)圖2。從圖2可以看出：在同一圍壓下，花崗巖抗壓強(qiáng)度和彈性模量隨溫度升高逐漸降低，說(shuō)明高溫作用后花崗巖力學(xué)性質(zhì)發(fā)生劣化，高溫對(duì)巖石具有損傷作用，巖石的峰值應(yīng)變隨溫度增大而增大；應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨溫度增大而向右移動(dòng)，表明隨溫度的增大巖石塑性變形增大；不同溫度作用后，花崗巖抗壓強(qiáng)度和彈性模量隨圍壓升高而增大，圍壓具有提高巖石強(qiáng)度的作用。通過(guò)對(duì)比試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論曲線可知：試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果擬合程度較好，理論結(jié)果可以反映花崗巖強(qiáng)度和變形隨溫度和圍壓變化的趨勢(shì)，表明本文提出的考慮溫度效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)熱損傷本構(gòu)模型能夠較充分地反映巖石峰后軟化特征和巖石強(qiáng)度依賴于溫壓狀態(tài)的特征，同時(shí)能更好地表征不同溫度和不同圍壓條件下巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線全過(guò)程，且圍壓越高，吻合程度越高。

在求解方法上，本文依據(jù)巖石屈服概念，利用極值法確定模型參數(shù)。此確定方法適用于不同溫度和圍壓作用下加載試驗(yàn)數(shù)據(jù)的求解，不包含非常規(guī)巖石力學(xué)參數(shù)，工程應(yīng)用更加方便。在巖石統(tǒng)計(jì)熱損傷模型建立過(guò)程中，模型所用力學(xué)參數(shù)和統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)與巖性無(wú)關(guān)，故本模型同樣適用于其他不同巖性的巖石。

表1 不同溫度下?lián)p傷巖石的模型計(jì)算參數(shù)Table 1 Model parameters of thermally treated rocks in different temperatures

值得注意的是：在進(jìn)行單軸試驗(yàn)時(shí)，巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線通常存在原生裂隙和孔隙的壓密階段，表現(xiàn) 出明顯的非線性特征；本文所提出的巖石統(tǒng)計(jì)熱損傷本構(gòu)模型是基于廣義胡克定律建立的，認(rèn)為巖石受壓后即進(jìn)入彈性階段，忽略了巖石原生裂隙、孔隙及受熱損傷所產(chǎn)生微裂隙閉合的影響，因此，在單軸壓縮條件下，理論曲線和試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間存在一定偏差，偏差在合理的范圍內(nèi)，這與徐銀花等[19]由所建立的單軸壓縮條下模型所得結(jié)果及試驗(yàn)結(jié)果一致。進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)時(shí)，在圍壓作用下，巖石中的微裂隙和孔隙發(fā)生閉合，應(yīng)力-應(yīng)變曲線壓密階段不明顯，且隨著圍壓升高，應(yīng)力-應(yīng)變曲線起始階段越呈現(xiàn)線性特征，所以，理論曲線與三軸壓縮試驗(yàn)曲線較吻合。

圖2 不同溫度下試驗(yàn)和理論曲線的對(duì)比Fig.2 Comparison between calculated and experimental curves after thermal treatment at different temperatures

4 結(jié)論

1)本文所建立的本構(gòu)模型能夠充分反映了巖石的峰后軟化和殘余強(qiáng)度特征，很好地描述了不同溫度和壓力下全應(yīng)力-應(yīng)變曲線，圍壓越高，吻合程度越高。

2)本文模型所需參數(shù)均可根據(jù)高溫巖石單軸和三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果確定，不包含非常規(guī)巖石力學(xué)參數(shù)，工程應(yīng)用方便，并且與巖性無(wú)關(guān)，具有適用性廣的特點(diǎn)。

3)模型忽略了巖石原生裂隙、孔隙及受熱損傷所產(chǎn)生微裂隙的影響。在單軸壓縮條件下，理論結(jié)果和單軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果存在一定偏差；在三軸壓縮條件 下，隨著圍壓升高，巖石原生裂隙和孔隙及熱損傷所產(chǎn)生的微裂隙逐漸被壓實(shí)，理論結(jié)果與常規(guī)試驗(yàn)結(jié)果較吻合。