周小燕

[摘 要]正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。理解數(shù)學(xué)概念有助于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，提高運(yùn)算能力和解題能力，學(xué)生理解和掌握概念的過程實(shí)際上是抽象、概括出同類事物的共同點(diǎn)和關(guān)鍵屬性的過程。

[關(guān)鍵詞]概念;意義;教學(xué);辨析;應(yīng)用

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0076-02

在參與《中山市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要義》的編寫、修訂過程中，我對小學(xué)概念教學(xué)有了較深刻的理解：同一概念在不同年段的教學(xué)要求是不同的。下面我以三年級“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”和五年級“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”為例，與大家交流如何把握好概念教學(xué)的尺度。

一、明確概念，心中有數(shù)

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。數(shù)學(xué)概念為思維形式的判斷與推理構(gòu)成奠定基礎(chǔ)，其表現(xiàn)形式為定理、法則、公式，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，更是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。對學(xué)生而言，掌握基礎(chǔ)知識、提高運(yùn)算能力和解題能力，與充分認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)概念密不可分。

由此可見，概念教學(xué)是任何數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)都離不開的。那么，對于小學(xué)數(shù)學(xué)涉及的概念有哪些，教師必須心中有數(shù)。如：數(shù)、運(yùn)算、量與計量、方程等數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的概念;三角形、圓等圖形與幾何領(lǐng)域中的概念;平均數(shù)等統(tǒng)計與概率領(lǐng)域中的概念。

二、運(yùn)用概念，手中有法

在明確概念的重要意義之后，教師運(yùn)用概念就能做到“手中有法”。

（一）同一概念，不同要求

不同的教學(xué)階段對同一概念有著不同的要求。例如，對分?jǐn)?shù)意義的理解，我們可以分為三個階段。第一階段是在學(xué)習(xí)小數(shù)之前，教師結(jié)合教材中大量的直觀感性認(rèn)識，通過描述具體事物，讓學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，理解誰是誰的幾分之幾，即平均分。第二階段是由具體到抽象，如教學(xué)把單位“1”平均分成若干份時，教師先從具體事物出發(fā)，讓學(xué)生思考用分?jǐn)?shù)表示其中的一份或幾份，該怎么表示？然后描述性地給出分?jǐn)?shù)的概念，概括出分?jǐn)?shù)的定義。第三階段是對單位“1”的理解與擴(kuò)展。明確區(qū)分單位“1”與自然數(shù)“1”很有必要，一個物體、一個圖形、一個計量單位、一個群體，都可以用單位“1”表示，由此抽象出“分誰，誰就是單位‘1”。教學(xué)過程中，教師不能一股腦地把這三個層次籠統(tǒng)拋出，而應(yīng)充分展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，注意引導(dǎo)學(xué)生從中理解分?jǐn)?shù)。

在教學(xué)同屬數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”和“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”時，前者是三年級上冊的第8單元，內(nèi)容包括名稱、例子和對本質(zhì)特征及屬性的感性認(rèn)識，這就是分?jǐn)?shù)概念的初步認(rèn)識。學(xué)生通過直觀操作，初步理解分?jǐn)?shù)的意義，知道分?jǐn)?shù)的各部分名稱，會讀、寫簡單的分?jǐn)?shù)，深刻體會學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的必要性。后者是五年級下冊的第4單元，內(nèi)容包括定義、例子和對屬性的理性認(rèn)識，這是分?jǐn)?shù)概念的再認(rèn)識，讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)是怎樣產(chǎn)生的，由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，抽象概括出分?jǐn)?shù)的意義。此外，通過知識再現(xiàn)的形式，喚起學(xué)生三年級所認(rèn)知的分?jǐn)?shù)知識，再通過目標(biāo)的對比，明確五年級再學(xué)分?jǐn)?shù)與三年級有何不同，概念有何區(qū)別與聯(lián)系。

（二）了解屬性，辨析概念

掌握同類事物的共同及關(guān)鍵屬性的過程，實(shí)際上就是掌握概念的過程。概念的形成和概念的同化是這個過程的兩種表現(xiàn)形式。

1.概念的形成。由學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，采用概念形成的學(xué)習(xí)方式是學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的關(guān)鍵。

①概念的引入——借助具體事例引入概念，體會因需求產(chǎn)生概念。數(shù)學(xué)源于生活，讓學(xué)生感受到這一點(diǎn)很有必要。教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時，有的學(xué)生采用整除平均分的方式分物品，有的學(xué)生則發(fā)現(xiàn)有些物品平均分結(jié)果不能用整數(shù)表示，要用一種新的數(shù)來表示分的部分與整體之間的關(guān)系。學(xué)生由此體會到，分?jǐn)?shù)是因?yàn)槲覀円硎酒骄值慕Y(jié)果而產(chǎn)生的。

②概念屬性的概括——分析典型豐富的具體例證，體會不同例證的共同特征。對于在如何表示“半塊”的過程中引出分?jǐn)?shù)，要借助學(xué)生已掌握的生活經(jīng)驗(yàn)——每人得到半塊月餅來幫助學(xué)生理解“半塊”就是這塊月餅的[12]。隨后，通過想一想、說一說、折一折，讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵屬性—— [12]不僅可以表示半塊月餅，還可以表示很多物體的一半。學(xué)生在體會中逐漸概括出“一半”的共同屬性，抽象出“[12]”這個數(shù)字符號，感受數(shù)學(xué)模型的作用。接著，借用學(xué)習(xí)[12]的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)教材提供的直觀圖“把一個月餅平均分成4份”“把一個圓平均分成3份”“把一個長方形平均分成5份”等，引導(dǎo)學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示，并通過類比推理、面積模型認(rèn)識[14]、[13]和[15]。這樣，用圖形表征分?jǐn)?shù)，使學(xué)生形成正確的分?jǐn)?shù)表象，體會分?jǐn)?shù)的具體含義，初步感知[12]、[13]、[14]、[15]都是表示一份物品或一個圖形平均分成幾份中的一份。同時弄清平均分成幾份，分母就是幾，表示這樣的一份，分子就是1。

③概念的明確與表示——寫法、讀法。通過一系列活動，學(xué)生對分?jǐn)?shù)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，接下來以[13]為例介紹分?jǐn)?shù)各部分的名稱，再次明確分?jǐn)?shù)各部分名稱所對應(yīng)的意義，同時指導(dǎo)學(xué)生如何正確地讀、寫分?jǐn)?shù)。

④概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義。提供其他素材，讓學(xué)生創(chuàng)作出其他的分?jǐn)?shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方式建立“圖”與“數(shù)”的一一對應(yīng)關(guān)系。通過學(xué)生的動手操作，用正方形紙折出[14]，在展示中讓學(xué)生明確折法不同但所表示的分?jǐn)?shù)一樣。如，教材第91頁“做一做”的第2題，呈現(xiàn)了兩個大小相同的圓和兩條長度相等的線段，把它們平均分成不同的若干份，要求學(xué)生寫出各圖表示的分?jǐn)?shù)并比較大小。通過這樣的題目，加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，增強(qiáng)辨析分?jǐn)?shù)的能力。

⑤概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例。通過判斷題和看圖寫分?jǐn)?shù)等練習(xí)，鞏固學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，幫助學(xué)生在直觀模型支撐下完成對分?jǐn)?shù)的內(nèi)化和應(yīng)用。學(xué)生從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的認(rèn)知過程是數(shù)概念的一次擴(kuò)充，是對數(shù)的認(rèn)識的一次質(zhì)的飛躍。無論在意義還是讀寫方法上，分?jǐn)?shù)和整數(shù)都存在很大區(qū)別，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的知識有一定難度。因此，教學(xué)五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”時，就要使學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，概括出分?jǐn)?shù)的意義，并在表達(dá)“部分—整體”的意義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從測量、商等角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)的含義。

2.概念的同化。采用概念同化的學(xué)習(xí)方式——用定義的方式直接揭示，學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識來理解新概念。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”是“1個物體”平均分成若干份，而“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”則是“一個整體”平均分成若干份?！胺?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”究竟應(yīng)該認(rèn)識什么呢？三年級要“知其然”，知道用分?jǐn)?shù)表示需要“平均分”，強(qiáng)調(diào)“誰的幾分之一”;五年級要“知其所以然”，進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位，感受分?jǐn)?shù)單位的價值，理解分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生明白“不同的需要產(chǎn)生不同的分?jǐn)?shù)單位，可以根據(jù)需要創(chuàng)造分?jǐn)?shù)單位;同一個整體，平均分的份數(shù)不同，分?jǐn)?shù)單位就不同”。

①概念的引入——借助具體實(shí)例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念。教學(xué)時，教師可以通過教材提供的測量和分物實(shí)例引入分?jǐn)?shù)，指出分?jǐn)?shù)是人為了適應(yīng)客觀實(shí)際需要而產(chǎn)生的。

②概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征。在三年級的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，教師直接讓學(xué)生舉例說明[14]的含義：可能是一個物體的[14]，也可能是一些物體的[14]。引導(dǎo)學(xué)生觀察時，要以典型豐富的實(shí)例為載體，分析課本提供的和自己所舉的例子，抽象概括出共同本質(zhì)屬性。

③概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述。揭示分?jǐn)?shù)的共同屬性，對“[14]可以是一個物體四等份中的一份，也可以是一個整體四等份中的一份”加以概括，比較認(rèn)清聯(lián)系與區(qū)別，由具體到抽象、由個別到一般，引出分?jǐn)?shù)概念的描述，歸納出分?jǐn)?shù)的概念，使新概念得到初步同化，強(qiáng)調(diào)單位“1”的含義。在此基礎(chǔ)上，再給出分?jǐn)?shù)單位的概念，幫助學(xué)生自主獲得感悟，構(gòu)建概念的意義。

④概念的辨析——以實(shí)例為載體，分析關(guān)鍵詞的含義。引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例來說明分?jǐn)?shù)的意義：把一個小組（12人）看成一個整體，把它平均分成12份，每份是這個小組人數(shù)的[112]，5份是這個小組人數(shù)的[512]。結(jié)合生活中的實(shí)例說明分?jǐn)?shù)是什么，加深學(xué)生對分率、整體的認(rèn)識與理解。

⑤概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷，形成具體步驟。要讓學(xué)生在練習(xí)中逐步加深對分?jǐn)?shù)意義的理解，這需要教師精心設(shè)計各類不同層次、不同形式的練習(xí)，做到熟能生巧。

三、延伸概念，腦中有序

在概念這個龐大的系統(tǒng)里，許多概念在內(nèi)涵和外延上是相互關(guān)聯(lián)的。

例如分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系這三個層次的內(nèi)容，要幫助學(xué)生比較完整地建立起概念上的聯(lián)系，并由此概念向彼概念延伸。又如，自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的引入體現(xiàn)了數(shù)的發(fā)展，不同的階段要對學(xué)生提出不同的要求。一年級開始只是認(rèn)識1、2、3……接著認(rèn)識了0，三年級初步認(rèn)識幾分之一的分?jǐn)?shù)，然后引出了分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)就是小數(shù)，以后又逐漸引進(jìn)正、負(fù)數(shù)等，把數(shù)的范圍一步步擴(kuò)大。

在教學(xué)過程中，教師要“腦中有序”，善于從相關(guān)概念中敏銳地找出它們的內(nèi)在聯(lián)系，厘清思緒，并引導(dǎo)學(xué)生找出各種概念間的聯(lián)系，多對同一類型的概念進(jìn)行系統(tǒng)上的延伸，達(dá)到上關(guān)下聯(lián)、舉一反三的效果。

總之，在概念教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，結(jié)合概念的本質(zhì)屬性，使用靈活的教學(xué)方法，為學(xué)生提供從事學(xué)習(xí)活動的時間和空間，這對讓他們在自主探索過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)概念、明確概念之間的關(guān)系、形成系統(tǒng)有著至關(guān)重要的作用，更為學(xué)生的終身發(fā)展奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 李琪琦）