陳曉平12

(1.華南師范大學(xué) 公共管理學(xué)院,廣東 廣州 510006;2.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 智能社會(huì)與人的發(fā)展研究中心，廣東 廣州 510320)

張華夏教授指出：“黑格爾矛盾辯證法有兩個(gè)論題：(1)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)就是矛盾，‘某物之所以運(yùn)動(dòng)是因?yàn)樗谕粋€(gè)‘此刻’在這里，又不在這里。’(2)存在的本質(zhì)就是‘某物’與‘他物’的對(duì)立統(tǒng)一?！@兩個(gè)論題是黑格爾的致命傷。”[1]1對(duì)此，筆者持不同觀點(diǎn)。本文僅就第一個(gè)辯證論題與張華夏教授進(jìn)行商榷，并以此為契機(jī)，對(duì)辯證法及其有關(guān)的數(shù)學(xué)概念和準(zhǔn)則給以較為深入的探討。

一、辯證法的運(yùn)動(dòng)論題及張華夏的批評(píng)

黑格爾斷言“矛盾是一切運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)”。黑格爾在其《邏輯學(xué)》中談道：“外在的感性運(yùn)動(dòng)本身是矛盾的直接實(shí)有。某物之所以運(yùn)動(dòng)，不是因?yàn)樗谶@個(gè)‘此刻’在這里，在那個(gè)‘此刻’在那里，而是因?yàn)樗谕粋€(gè)‘此刻’在這里，又不在這里；因?yàn)樵谕粋€(gè)‘這里’，它在并且不在那同一時(shí)刻。”[注]黑格爾：《邏輯學(xué)》(下卷)，楊一之譯，商務(wù)印書館，2013年版，第66-67頁。參閱英文版，G.W.F.Hegel, The Science of Logic.Cambridge University Press.P382。張華夏正確地指出，楊一之把“某物之所以運(yùn)動(dòng)，不是因?yàn)樗卞e(cuò)譯為“某物之所以運(yùn)動(dòng)，不僅是因?yàn)樗?。這里采納了張華夏教授的翻譯。

對(duì)黑格爾這段論述，恩格斯在《反杜林論》中給以進(jìn)一步闡述。他說：“當(dāng)我們把事物看作是靜止而沒有生命的、各自獨(dú)立、相互并列或先后相繼的時(shí)候，我們?cè)谑挛镏写_實(shí)碰不到任何矛盾?！绻抻谶@樣的考察范圍，我們用通常的形而上學(xué)的思維方式也就行了。但是一當(dāng)我們從事物的運(yùn)動(dòng)、變化、生命和相互作用方面去考察事物時(shí)，情形就完全不同了。在這里我們立刻陷入了矛盾。運(yùn)動(dòng)本身就是矛盾；甚至簡(jiǎn)單的位移之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，也只是因?yàn)槲矬w在同一瞬間既在一個(gè)地方又在另一個(gè)地方，既在同一個(gè)地方又不在同一個(gè)地方，這種矛盾的連續(xù)產(chǎn)生和同時(shí)解決正好就是運(yùn)動(dòng)?！盵2]160

對(duì)于黑格爾和恩格斯關(guān)于運(yùn)動(dòng)的辯證觀點(diǎn)，張華夏教授在其文章中提出質(zhì)問：“同一瞬間既在一個(gè)地方(S1)又在另一個(gè)地方(S2)，這意味著什么？意味著運(yùn)動(dòng)是不需要時(shí)間的”，緊接著，他用如下公式來說明“不需要時(shí)間的”運(yùn)動(dòng)速度：

張華夏教授評(píng)論說：“這公式表明，運(yùn)動(dòng)的速度有多大？無限大？這無論在數(shù)學(xué)上還是力學(xué)上都是無意義的和不可能的?？上Ш诟駹柕恼軐W(xué)繼承者們并不了解數(shù)學(xué)哲學(xué)的點(diǎn)的抽象(歐幾里得提出，公元前300年)、極限論(如柯西1821年出版的《分析教程》中論證的)與實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)(德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，于1860創(chuàng)立的理論)是什么意思，與這個(gè)問題有什么關(guān)系，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是怎樣獲得解決？而認(rèn)為可以用矛盾論來解決。”[1]2

張華夏教授在引用黑格爾那段話之后強(qiáng)調(diào)：“這里我們特別要注意，黑格爾談的‘此刻’用的是英文的‘now’或‘instant’，是沒有片刻的‘時(shí)點(diǎn)’；而here，there，是歐幾里得幾何學(xué)中只有位置沒有長(zhǎng)寬高的‘地點(diǎn)’或位置?！盵1]1

總之，張華夏教授試圖借助于現(xiàn)代數(shù)學(xué)把黑格爾和恩格斯關(guān)于運(yùn)動(dòng)的辯證法論題徹底否定。然而，在筆者看來，張華夏教授的論證是缺乏說服力的；恰恰相反，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度看，辯證法的運(yùn)動(dòng)論題在實(shí)質(zhì)上是可以成立的，盡管在表述上可以改進(jìn)。

二、對(duì)辯證法的運(yùn)動(dòng)論題給以初步辯護(hù)

張華夏教授對(duì)辯證法運(yùn)動(dòng)論題的批評(píng)雖然富有啟發(fā)性，但卻難以令人信服。首先，黑格爾和恩格斯所說的“此刻”和“這里”肯定不是歐幾里得所謂“沒有長(zhǎng)寬高的點(diǎn)”，不是因?yàn)樗麄儾欢?，而是因?yàn)樗麄児室獠挥?。在他們的辯證法學(xué)說中，歐幾里得幾何這類初等數(shù)學(xué)如同形式邏輯屬于形而上學(xué)的思維方式，常常成為他們批評(píng)的對(duì)象；他們所推崇的是微積分這類高等數(shù)學(xué)，只有此類高等數(shù)學(xué)才能體現(xiàn)辯證法的思維方式。盡管筆者不同意黑格爾和恩格斯對(duì)形式邏輯的過分貶低，但對(duì)他們揭示高等數(shù)學(xué)的辯證法特征表示贊同。恩格斯談道：

“因?yàn)檗q證法突破了形式邏輯的狹隘界限，所以它包含著更廣的世界觀萌芽。在數(shù)學(xué)中也存在著同樣的關(guān)系。初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)數(shù)學(xué)，是在形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的，至少總的說來是這樣；而變數(shù)的數(shù)學(xué)——其中最重要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用。[2]132

在恩格斯看來，把“此刻”“這里”看作沒有長(zhǎng)度或體積的點(diǎn)，相當(dāng)于用常數(shù)0來刻畫它們，那是抽象的存在，屬于形而上學(xué)。與之不同，辯證法則是把時(shí)間和空間上的點(diǎn)當(dāng)作具體的存在，它們不是常數(shù)0，而是作為變數(shù)的無窮小。無窮小是微積分的關(guān)鍵概念，“本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”?？梢姡瑥埲A夏把黑格爾和恩格斯所說的“時(shí)刻”和“地點(diǎn)”看作沒有長(zhǎng)度或體積的歐幾里得點(diǎn)，肯定是一種錯(cuò)位或誤解。

其次，既然黑格爾特別是恩格斯是從微積分的角度考慮運(yùn)動(dòng)之本質(zhì)的，那么對(duì)他們的批評(píng)也應(yīng)當(dāng)立足于微積分。然而，從微積分得不出“運(yùn)動(dòng)不需要時(shí)間”的結(jié)論，即張華夏所質(zhì)疑的那個(gè)分母為0的公式不是微積分所能推導(dǎo)出來的。這意味著，張華夏教授對(duì)辯證法運(yùn)動(dòng)論題的批評(píng)缺乏根據(jù)，甚至有強(qiáng)加之嫌。

我們知道，微積分所說的瞬時(shí)速度是距離(位移)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)dy/dx，其分母和分子都是無窮小而不是0。具體地說，分母dx代表瞬時(shí)(時(shí)間的微分)，它是大于0的無窮?。环肿觗y(或df(x))即位移的微分，代表瞬時(shí)所走過的距離，也是大于0的無窮小。在微積分的語境中，“同一時(shí)刻”就是同一無窮小的時(shí)間間隔，“同一地點(diǎn)”就是同一無窮小的空間間隔，并且無窮小不是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)以0為極限的變數(shù)。這樣，辯證法關(guān)于運(yùn)動(dòng)的論題——“運(yùn)動(dòng)是在同一瞬間既在一個(gè)地點(diǎn)又不在一個(gè)地點(diǎn)”——便不是不可理解的，既然這里的“瞬間”和“地點(diǎn)”都不是常數(shù)而是變數(shù)。

為什么說無窮小是一個(gè)變數(shù)而不是常數(shù)？我們知道，常數(shù)不外乎兩類即0和非0，而無窮小不屬于其中任何一類。無窮小不等于0，否則無窮小不能作除數(shù)，而在微積分的運(yùn)算中無窮小dx是可以作除數(shù)的。無窮小不是非0的任何一個(gè)常數(shù)，因?yàn)橹灰o出任何一個(gè)非0的常數(shù)，無窮小都比它的絕對(duì)值要小，這正是無窮小的定義。這意味著，如果把無窮小作為一個(gè)常數(shù)，那么它是違反形式邏輯的排中律的，即它既不是0也不是非0；相應(yīng)地，它也是違反矛盾律的，即無窮小既是0又是非0。為了不違反形式邏輯，無窮小只能是一個(gè)變數(shù)，這個(gè)變數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)間距為無窮小的變化區(qū)間。

19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(A.Cauchy,1789-1857)給出“無窮小”的比較精確的定義，其定義的本質(zhì)就是把無窮小量表述為一個(gè)變量x而不是常數(shù)，其變化區(qū)間是：0<│x│<δ，δ是一個(gè)任意小的正數(shù)?？挛髟谄洹斗治鼋坛獭分兄赋觯骸爱?dāng)同一變量逐次所取的絕對(duì)值無限減小，以致比任何給定的數(shù)還要小，這個(gè)變量就是所謂的無限小或無限小量，這樣的變量將以0為極限。”[3]195柯西明確地把無窮小看作一個(gè)變量，0是無窮小的極限而不是無窮小本身。

關(guān)于極限，柯西給出這樣的定義：“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個(gè)固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個(gè)值就稱為所有其他值的極限?！盵3]195在這里，“它的值與該定值的差要多小就多小”是指無窮小，無窮小是一個(gè)變數(shù)；那個(gè)被趨近的“定值”就是極限，極限是一個(gè)常數(shù)?？挛鞯臉O限概念奠定了微積分的理論基礎(chǔ)，一直沿用至今。本文將表明，把極限僅僅局限于常數(shù)，是導(dǎo)致多種數(shù)學(xué)困境的根源，也是使“柯西極限存在準(zhǔn)則”不被作為公理而需進(jìn)一步“證明”的原因。

關(guān)于運(yùn)動(dòng)問題，如果把任意小區(qū)間0<│x│<δ中的x作為瞬時(shí)，那么相應(yīng)的位移函數(shù)f(x)就處于一個(gè)無窮小的空間，即0<│f(x)│<ε，ε也是一個(gè)任意小的正數(shù)。據(jù)此，我們可以說，位移運(yùn)動(dòng)的物體在同一時(shí)刻既在一點(diǎn)又不在一點(diǎn)，因?yàn)檫@里的“時(shí)刻”和“地點(diǎn)”都是無窮小的變量，而不是常量。進(jìn)而言之，微積分中表示“瞬時(shí)速度”的導(dǎo)數(shù)dy/dx(即df(x)/dx)，一般是一個(gè)不為0的數(shù)，這意味著運(yùn)動(dòng)是在瞬時(shí)走過一段不為0的距離；在此意義上可以說，其起點(diǎn)和終點(diǎn)不在同一個(gè)地方。這便初步支持了辯證法的運(yùn)動(dòng)論題，即：運(yùn)動(dòng)在同一時(shí)刻既在一個(gè)地點(diǎn)又不在一個(gè)地點(diǎn)。

為什么把以上論證說成是“初步”的辯護(hù)呢？因?yàn)樗鶠橹q護(hù)的運(yùn)動(dòng)論題在表述上還比較粗糙，甚至看上去是違反形式邏輯的。本文將試圖改進(jìn)辯證法的運(yùn)動(dòng)論題，消除其違反形式邏輯的表達(dá)方式。

正如高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的關(guān)系，辯證法不是對(duì)形式邏輯的否定，而是對(duì)形式邏輯的超越；辯證法絕不違反形式邏輯，但它不限于形式邏輯。然而，黑格爾甚至恩格斯常常把形式邏輯看作辯證法的對(duì)立面而加以批評(píng)，這是嚴(yán)重失當(dāng)?shù)摹Ｕ驗(yàn)榇?，他們關(guān)于辯證法的論述存在不少牽強(qiáng)附會(huì)的地方。張華夏教授對(duì)他們的辯證法論題的批評(píng)并非完全沒有道理，但是走過頭了，走到用形式邏輯來否定辯證法的另一個(gè)極端。筆者則試圖行走一條“中庸之道”，保留辯證法論題的精神實(shí)質(zhì)，但改變其違反形式邏輯的表述方式。

三、關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的哲學(xué)問題：實(shí)無限與潛無限

其實(shí)，關(guān)于運(yùn)動(dòng)的哲學(xué)問題早在古希臘就以“芝諾佯謬”的方式被提出。雖然借助于辯證法的運(yùn)動(dòng)論題可以在一定程度解決“芝諾佯謬”，但是，以違反形式邏輯的方式來解決“芝諾佯謬”是難以令人滿意的。筆者認(rèn)為，“芝諾佯謬”的癥結(jié)在于對(duì)空間和時(shí)間“無限可分”和連續(xù)性的錯(cuò)誤理解，而這種錯(cuò)誤理解在數(shù)學(xué)中也是根深蒂固的，體現(xiàn)在對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的闡述上，其中涉及有理數(shù)和無理數(shù)、實(shí)無限和潛無限等重要概念。因此，澄清這些概念對(duì)于芝諾佯謬的恰當(dāng)解決以及對(duì)辯證法運(yùn)動(dòng)論題的深入理解，都是至關(guān)重要的。

無理數(shù)是相對(duì)于有理數(shù)而言的。有理數(shù)被定義為一個(gè)整數(shù)a和一個(gè)正整數(shù)b的比，即a/b。之所以要求分母b是正整數(shù)，是要以b為比較的標(biāo)準(zhǔn)，即衡量單位的集合；要求分子a為整數(shù)，是要它可與b中的a個(gè)單位相重合，從而成為可度量的。可見，有理數(shù)的根本特征就是可度量性；可度量性反映在數(shù)軸上就是：每一個(gè)有理數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的點(diǎn)。

與之不同，無理數(shù)不能表達(dá)為整數(shù)比a/b，因而不具有可度量性。其不確定性的另一種表現(xiàn)是：若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無限多個(gè)，并且是不循環(huán)的，即無限不循環(huán)小數(shù)。顯然，無限不循環(huán)小數(shù)在數(shù)軸上沒有一個(gè)確定的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，只有一個(gè)無窮小的區(qū)間與之對(duì)應(yīng)。這是無理數(shù)在數(shù)軸上不同于有理數(shù)的地方。

在教科書中，有理數(shù)又可分為有限數(shù)(整數(shù)和有限小數(shù))和無限循環(huán)小數(shù)。每一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)對(duì)應(yīng)于一個(gè)常數(shù)(整數(shù)比)，如0.3333……對(duì)應(yīng)于1/3；每一個(gè)有限數(shù)(0除外)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以9為循環(huán)節(jié)的無限循環(huán)小數(shù)，如2.5對(duì)應(yīng)于2.4999……，1對(duì)應(yīng)于0.9999……；加之規(guī)定0表示為0.000……，這樣，作為整數(shù)比的有理數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。再把作為無限不循環(huán)小數(shù)的無理數(shù)考慮在內(nèi)，便可說：“任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示?！盵4]1不過，在筆者看來，這個(gè)說法是有問題的，現(xiàn)分析如下。

無限循環(huán)小數(shù)是趨近于某個(gè)整數(shù)比(整數(shù)是分母為1的整數(shù)比)的無窮過程，那個(gè)整數(shù)比是該無窮循環(huán)小數(shù)的極限；或者說，每一個(gè)整數(shù)比都是一個(gè)極限，它被一個(gè)無窮循環(huán)小數(shù)所趨近。需強(qiáng)調(diào)，無限趨近的過程是無休止的，而極限則是一個(gè)確定的常數(shù)即整數(shù)比，因此二者之間并不相等，只是具有某種對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

然而，通常教科書把無限循環(huán)小數(shù)和它所對(duì)應(yīng)的整數(shù)比看作相等的，[4]1-2如0.3333……=1/3。如果說這個(gè)等式的不恰當(dāng)性還比較隱蔽，那么，該等式兩邊同乘以3而得到0.9999……=1，則是明顯不妥的。正確的表達(dá)式應(yīng)是：0.9999……=1―δ(δ→0)。相應(yīng)地，前一等式應(yīng)該改為：0.3333……=1/3―δ(δ→0)。在這里，δ是一個(gè)變數(shù)即無窮小，無窮小以0為極限，但不等于0。相應(yīng)地，無限循環(huán)小數(shù)也是一個(gè)變數(shù)，如，0.9999……是以1為極限的變數(shù)而不等于1。同樣地，0.3333……是以1/3為極限的變數(shù)而不等于1/3。人們常常把二者混同起來，其原因可以歸結(jié)為對(duì)無窮小的特征——即趨于0而不等于0——認(rèn)識(shí)得還不夠充分，這里涉及潛無限和實(shí)無限的問題。

在哲學(xué)上，實(shí)無限和潛無限是有嚴(yán)格區(qū)分的。一般來說，實(shí)無限是完成了的無限，而潛無限是未完成的無限，即一個(gè)永無休止的無限過程。如中國(guó)老話所說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”(《莊子·天下》)其中“日取其半，萬世不竭”就是一種潛無限，而這一潛無限的分割過程卻是在“一尺之棰”中進(jìn)行的，這一尺之棰就是實(shí)無限。需強(qiáng)調(diào)，實(shí)無限是相對(duì)于潛無限而言的，離開潛無限，實(shí)無限也就不存在了，只不過是單純的有限而已。如，如果離開“日取其半，萬世不竭”的潛無限，一尺之棰只有一段有限的長(zhǎng)度，而不是實(shí)無限。

類似地，無限趨于某一極限的過程如0.9999……是潛無限，而它所趨近的那個(gè)極限1是實(shí)無限。如果離開0.9999……的潛無限，1僅僅是一個(gè)確定的有限數(shù)而不是實(shí)無限。一般地說，一個(gè)整數(shù)比在數(shù)軸上是一個(gè)確定的點(diǎn)，因而是有限；但當(dāng)它作為某一無限趨近(潛無限)的極限的時(shí)候，它則成為一個(gè)實(shí)無限。實(shí)無限是潛無限和有限的對(duì)立統(tǒng)一。

實(shí)無限是一個(gè)辯證法的概念。一方面，實(shí)無限不能離開潛無限而孤立地存在，一旦孤立地存在便蛻化為單純的有限。另一方面，實(shí)無限不等于潛無限，因?yàn)閷?shí)無限具有有限性和確定性，而潛無限只是單純的無限過程，不具有有限性和確定性。需要指出，由于數(shù)學(xué)家們對(duì)于辯證法概念掌握得不太好，這使他們把作為潛無限的0.9999……和0.3333……分別等同于它們各自的極限1和1/3，而把中間的差值即無窮小作為0而忽略掉了。為了更明顯地揭示這一錯(cuò)誤，我們對(duì)一個(gè)“證明”——證明無限循環(huán)小數(shù)等于一個(gè)整數(shù)比——進(jìn)行分析。

求證：0.323232……(即以32為循環(huán)節(jié)的無限循環(huán)小數(shù))為一整數(shù)比。

證明：

設(shè)：x=0.323232……=0.32+0.0032+0.000032+……

①

兩邊都乘以100得

100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……

②

②―①得

100x―x=32，故99x=32，x=32/99

所以，0.323232……=32/99。證畢。

此證明的錯(cuò)誤在于，由②―①得出100x―x=32。而正確的結(jié)果應(yīng)是：

100x―x=32―δ (δ→0)

③

這是因?yàn)棰诤廷俚挠疫叾际菬o限的相加過程，這使②―①所得的右邊是一個(gè)無限的相減過程。在有限的情況下，由②―①得出：

100x―x=32―0.00……0032

其中0.00……0032是①右邊的最后一個(gè)加項(xiàng)，為一有限數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后的0為有限個(gè))。在無限循環(huán)的情況下(即小數(shù)點(diǎn)后邊的0趨于無限多個(gè))，此加項(xiàng)趨于無窮小，故而得出③。不難看出，以上“證明”之所以由②―①得出100x―x=32，就在于把③中等號(hào)右邊“32―δ(δ→0)”中的無窮小δ作為0而忽略掉了；這相當(dāng)于把潛無限等同于實(shí)無限，這是一種概念上的混淆。

為了加以比較，我們不妨以正確的方式證明：0.9999……=1―δ(δ→0)。

設(shè)：x=0.999=0.9+0.09+0.009

①

兩邊都乘以10得

10x=9+0.9+0.09

②

②―①得

10x―x=9―0.009，故9x=9―0.009

所以，x=1―0.009/9

③

現(xiàn)把假設(shè)由x=0.999改為：x=0.999……，即把有限小數(shù)改為無限循環(huán)小數(shù)，相應(yīng)地，③右邊的0.009/9變?yōu)?.0…09/9(分子的小數(shù)點(diǎn)后的0有無限多個(gè))，從而③變?yōu)椋?/p>

x=1―0.0…09/9=1―δ (δ→0)

所以，0.999……=1―δ (δ→0)。證畢。

如果說0.323232……=32/99或0.333……=1/3的錯(cuò)誤還不太明顯，那么，0.999……=1的錯(cuò)誤便昭然若揭了。為什么會(huì)有這樣的差別？那是因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)比如1/3具有雙重性，它既是數(shù)軸上一個(gè)確定的點(diǎn)，又是一個(gè)無窮的計(jì)算過程即1÷3；這個(gè)無窮計(jì)算過程的結(jié)果就是無限循環(huán)小數(shù)0.333……，因而用等號(hào)將二者連接起來有一定的合理性，但卻忽略了1/3的確定性和有限性與0.333……的不確定性和無限性之間的差異。1/3作為數(shù)軸上的一個(gè)確定點(diǎn)只是0.333……無窮過程的極限，而不是0.333……本身。與之對(duì)照，由于1只是一個(gè)有限數(shù)而不是一個(gè)無窮的計(jì)算過程，因而只具有有限性這一方面，而沒有潛無限之另一方面，這便使0.999……=1的不妥之處暴露出來?？傊瑥睦碚撋现v，0.333……=1/3正如0.999……=1都是不妥的，其錯(cuò)誤的根源就是把一個(gè)無限趨近的過程等同于其極限，把潛無限等同于實(shí)無限。

既然無限循環(huán)小數(shù)不等于任何整數(shù)比a/b，而只是以某個(gè)整數(shù)比為其極限，那么整數(shù)比也就不能作為有理數(shù)的定義，而只是有理數(shù)的一部分，另一部分是無限循環(huán)小數(shù)。如果我們還要把有理數(shù)作為有限數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的并集，那么有限數(shù)的定義需要作相應(yīng)的改變，即把有限數(shù)定義為整數(shù)比a/b，而整數(shù)和有限小數(shù)(即原來的有限數(shù))只是它的子集。在此意義下，有限數(shù)的含義是它可精確地對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，而不是以數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)為其極限。相應(yīng)地，有理數(shù)的含義是：它可精確地對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，或者以數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)為其極限。顯然，無限不循環(huán)小數(shù)不滿足這個(gè)定義。這樣，雖然“有理數(shù)”和“無理數(shù)”在外延上與教科書仍然保持一致，但其內(nèi)涵已經(jīng)發(fā)生一定的變化。

也許有人會(huì)對(duì)此結(jié)論提出質(zhì)疑：數(shù)學(xué)是以精確性而著稱的，如果教科書和數(shù)學(xué)家們混淆了潛無限和實(shí)無限，為什么在人們的實(shí)踐活動(dòng)中沒有導(dǎo)致明顯的不良后果？對(duì)此，筆者的回答是：這涉及理論和實(shí)踐的關(guān)系問題；正如數(shù)學(xué)史上關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三次危機(jī)并未明顯地影響應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，貝克萊悖論導(dǎo)致第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，羅素悖論導(dǎo)致第三次數(shù)學(xué)危機(jī)；其實(shí)這三次數(shù)學(xué)危機(jī)都涉及同一個(gè)哲學(xué)問題，那就是潛無限和實(shí)無限的關(guān)系問題。接下來，我們從理論和實(shí)踐的關(guān)系上對(duì)此問題做進(jìn)一步討論。

四、理論的不確定性和現(xiàn)實(shí)的確定性之對(duì)立統(tǒng)一

從理論上講，任何現(xiàn)實(shí)的測(cè)度都只是近似地準(zhǔn)確，因而具有一定的不確定性。不過，當(dāng)現(xiàn)實(shí)測(cè)度的近似性程度達(dá)到很高的時(shí)候，便在現(xiàn)實(shí)中把它看作精確的和確定的。這就是理論的不確定性和現(xiàn)實(shí)的確定性之對(duì)立統(tǒng)一。這種對(duì)立統(tǒng)一的重要性在于：現(xiàn)實(shí)通過對(duì)理論的變通而具有可行性，理論給現(xiàn)實(shí)以指導(dǎo)，使其精確性不斷提高。理論的不確定性和現(xiàn)實(shí)的確定性之對(duì)立統(tǒng)一，屬于辯證法的范疇，它是理論與實(shí)際相互促進(jìn)和相互結(jié)合的哲學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)于解決“數(shù)學(xué)危機(jī)”問題是至關(guān)重要的。三次數(shù)學(xué)危機(jī)涉及無理數(shù)、微積分和無窮集合等概念，下面我們著重討論前兩者。

設(shè)y=x2,其導(dǎo)數(shù)為dy/dx，即dx2/dx，它表示當(dāng)x增量Δx趨于0時(shí)增量比Δy/Δx的極限。函數(shù)的增量Δy=(x+Δx)2-x2=2xΔx+(Δx)2,兩邊同除以Δx便是所要的增量比即：Δy/Δx=2x+Δx。導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)增量比當(dāng)Δx趨于0時(shí)的極限，記為：

請(qǐng)注意，導(dǎo)數(shù)dy/dx中的dx是一無窮小而不是0，否則不能作除數(shù)。dx也就是當(dāng)Δx→0時(shí)的Δx，因而此公式中的Δx也是一個(gè)無窮小而不是0。然而，此公式得出dy/dx=2x，顯然是把公式中最后一個(gè)Δx作為0來對(duì)待的。這便使求導(dǎo)過程出現(xiàn)邏輯矛盾，即當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx既是0又不是0；更一般地說，無窮小既是0又不是0。

這個(gè)矛盾也被稱為“貝克萊悖論”，因?yàn)樗怯?8世紀(jì)英國(guó)哲學(xué)家貝克萊(George Berkeley，1685-1753)首先提出的。當(dāng)時(shí)微積分剛被牛頓提出不久，其論證不太嚴(yán)密，這使貝克萊十分不滿。貝克萊指責(zé)牛頓說：“我所非議的不是您的結(jié)論，而是您的邏輯和方法……這些消失的量是什么呢？它們既不是有限，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄Я康墓砘陠幔俊盵3]189-190

應(yīng)該說，貝克萊對(duì)牛頓微積分理論的批評(píng)是中肯的。一方面，貝克萊指出其中的矛盾之處；另一方面，他沒有否定該理論在實(shí)際應(yīng)用上的正確性。如何在保留微積分的同時(shí)而消除“貝克萊悖論”呢？現(xiàn)在一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過近兩百年的努力，“直到19世紀(jì)柯西才真正用極限的概念把它基本說清楚，而魏爾斯特拉斯最終用ε-δ的語言，徹底解決了這個(gè)困難，從而推動(dòng)了近代分析的蓬勃發(fā)展。”[5]30然而，在筆者看來，用ε-δ語言表達(dá)的極限概念雖然對(duì)“貝克萊悖論”的解決有所促進(jìn)，但說“徹底解決”有些言過其實(shí)。為說明這一點(diǎn)，我們把教科書中關(guān)于函數(shù)極限的ε-δ定義抄錄如下：[注]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室：《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)(第四版)，高等教育出版社1996年版，第44頁。鄧東皋，尹小玲：《數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程》第52頁的表述是一樣的，只是把“去心鄰域”表示為“除x0點(diǎn)外”。華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)(第三版)第44頁的表述也是相同的，只是把“去心鄰域”表示為“空心鄰域”。

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ，使得對(duì)于適合不等式0<│x―x0│<δ的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式│f(x)―A│<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作

limx→x0f(x)=A 或 f(x)→A(當(dāng)x→x0)

在以上定義中，有三點(diǎn)需要特別注意。其一，函數(shù)的極限是常數(shù)而不是變數(shù)。其二，對(duì)于“去心鄰域”這個(gè)概念，該教材加以解釋：“定義中0<│x―x0│表示x≠x0，所以x→x0時(shí)f(x)有沒有極限，與f(x)在x0是否有定義并無關(guān)系?！盵6]44例如，對(duì)于f(x)=1/x這一函數(shù)，盡管在x=0處沒有定義，但并不妨礙我們求得f(x)在0點(diǎn)的極限，即：

其三，該極限定義給出兩種極限表達(dá)式，用“或”表示對(duì)二者可以自由選用，意味著二者是完全等價(jià)的。然而，需要指出，這是對(duì)實(shí)無限和潛無限的混淆。“或”的左邊是關(guān)于實(shí)無限的，把極限等同于一個(gè)常數(shù)A；“或”的右邊是關(guān)于潛無限的，它表示極限A所對(duì)應(yīng)的無限趨近的過程，而不表示A本身。

正如我們?cè)谇斑呏赋龅?，潛無限和實(shí)無限是不相等的。這種混淆的不良后果在函數(shù)f(x)=1/x上充分顯示出來，即當(dāng)x→0時(shí)，∞作為一個(gè)常數(shù)出現(xiàn)在等號(hào)的右邊。然而，“無窮大(∞)不是數(shù)?！盵6]53因此，“當(dāng)x→0(x→∞)時(shí)為無窮大的函數(shù)f(x)，按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的。但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，我們也說‘函數(shù)的極限是無窮大’?！盵6]53這樣一來，“貝克萊悖論”便以另一種形式出現(xiàn)了，即“無窮大既是數(shù)又不是數(shù)”，它不過是“無窮小既是0又不是0”的變形?？梢姡瑯O限的ε-δ定義并沒有把貝克萊悖論“徹底解決”。

請(qǐng)注意以上引文中的這句話：“按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的?！边@意味著，嚴(yán)格地說，存在無極限的收斂，盡管無收斂的極限是不存在的；換言之，收斂和極限是不對(duì)稱的。對(duì)于函數(shù)f(x)=1/x來說，當(dāng)x→0時(shí)就是無極限的收斂；在幾何圖形表現(xiàn)為這樣的曲線，它與數(shù)軸的y軸和x軸形成漸近線，無限地延伸下去但永不相交。如果說有極限的收斂是可望而不可及的，那么無極限的收斂就是不可望而不可及的。

進(jìn)而言之，如果說，函數(shù)f(x)=1/x當(dāng)x→0時(shí)的極限只是一種特例，那么，在極限的ε-δ定義中引入“去心鄰域”卻是普遍地不恰當(dāng)?shù)模瑹o論x→x0時(shí)的x0是什么。因?yàn)閤無限趨近x0即x→x0是潛無限，而作為其目標(biāo)中心的極限x0是實(shí)無限，二者本來就是不相等的，即使不“去心”也是達(dá)不到的；因此“去心鄰域”的引入不僅是“畫蛇添足”，而且引起歧義。

具體地說，該定義引入“去心鄰域”，言外之意，如果不把鄰域的中心去掉，無限趨近的過程是可以達(dá)到其極限的。顯然，這是對(duì)潛無限和實(shí)無限的混淆。其結(jié)果是：既然定義中只對(duì)自變量x向x0的趨近規(guī)定了“去心鄰域”，而沒有對(duì)函數(shù)f(x)向其極限A的趨近規(guī)定“去心鄰域”，因此f(x)與A可以用“=”聯(lián)結(jié)起來，即limx→x0f(x)=A。這里存在邏輯矛盾，即無限趨近的過程既可達(dá)到其極限而又不可達(dá)到其極限，這便為“貝克萊悖論”埋下伏筆。

貝克萊對(duì)牛頓的微積分理論提出批評(píng)，并非針對(duì)其結(jié)論而是針對(duì)其邏輯性的；同樣地，我們以上對(duì)ε-δ極限定義的批評(píng)并非要否定limx→x0f(x)=A這個(gè)公式，而是要指出其表述上的邏輯不協(xié)調(diào)性。為了從根本上消除“貝克萊悖論”，我們需要借助辯證法的原理，即理論的不確定性和現(xiàn)實(shí)的確定性之對(duì)立統(tǒng)一?，F(xiàn)在我們首先消除貝克萊指出的求導(dǎo)過程中的邏輯矛盾，然后對(duì)ε-δ極限定義加以改進(jìn)。

還以前邊曾討論過的函數(shù)f(x)=x2的求導(dǎo)過程為例。推導(dǎo)過程的最后一步是

從理論上講，當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx始終不是0，直到上面最后一步中Δx的最后一次出現(xiàn)；只是出于現(xiàn)實(shí)可測(cè)度性和確定性的考慮，我們把這最后一步中的無窮小Δx忽略掉了盡管它不是0。這里沒有“無窮小既是0又不是0”的邏輯矛盾，只有把無窮小忽略不計(jì)的現(xiàn)實(shí)策略；這樣，“貝克萊悖論”便不復(fù)存在了。

推而廣之，ε-δ定義給出極限的兩種不同表達(dá)，其中“f(x)→A(當(dāng)x→x0)”表示極限的潛無限方面，“l(fā)imx→x0f(x)=A”表示極限的實(shí)無限方面。換言之，前者表示趨向極限的無休止的過程，具有理論的不確定性；后者表示此過程所對(duì)應(yīng)的確定目標(biāo)即極限，具有現(xiàn)實(shí)的確定性。這兩種表達(dá)式并不相等，但卻是互補(bǔ)的；因此，這里沒有把潛無限等同于實(shí)無限的邏輯矛盾。具體地說，在計(jì)算過程中，只取極限的潛無限方面，即“f(x)→A(當(dāng)x→x0)”，這使無窮小可以做除數(shù)，以滿足數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)格要求；一旦無窮小不再出現(xiàn)在除數(shù)中，便取極限的實(shí)無限方面，即“l(fā)imx→x0f(x)=A”，以滿足現(xiàn)實(shí)的確定性要求。這是理論的不確定性和現(xiàn)實(shí)的確定性之對(duì)立統(tǒng)一，而不是邏輯矛盾。

然而，這兩種表達(dá)式在極限的ε-δ定義都出現(xiàn)，用“或”字表示可以自由選用，二者是完全等價(jià)的，這便蘊(yùn)涵邏輯矛盾。與之不同，在上面的闡釋中，這兩種表達(dá)之間的關(guān)系不是形式邏輯的簡(jiǎn)單同一性，而是辯證法的對(duì)立統(tǒng)一性，即理論的不確定性和現(xiàn)實(shí)確定性的對(duì)立統(tǒng)一。這樣，“貝克萊悖論”及其各種變形便得以消除。

此外還需強(qiáng)調(diào)，在我們的表述中，x→x0只表示x趨近于x0而永遠(yuǎn)不等于x0，它和x0之間是潛無限和實(shí)無限的關(guān)系，因此無需引入“去心鄰域”這一概念。相應(yīng)地，函數(shù)f(x)=1/x當(dāng)x→x0時(shí)只是趨近于∞而永遠(yuǎn)不等于∞。這是理論的不確定性，但是，出于現(xiàn)實(shí)確定性的考慮，我們可以把“無限收斂”也看作一種特殊的極限。對(duì)于f(x)=1/x來說，其幾何意義是指曲線與數(shù)軸無限靠近，當(dāng)其靠近的差距小到現(xiàn)實(shí)中可以忽略的地步，我們便可認(rèn)為二者是重合的。一般而言，函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)收斂到無窮小的區(qū)域，從現(xiàn)實(shí)確定性的角度，可以把這無窮小區(qū)域看作此函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限。

這意味著，從現(xiàn)實(shí)的確定性和可行性的角度出發(fā)，函數(shù)的極限不局限于常數(shù)，也可以是無窮小或無窮大這樣的變數(shù)。這樣處理有兩個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)：其一是，∞一旦出現(xiàn)在極限等式的右邊也可順理成章地看作一個(gè)數(shù)；另一是，無理數(shù)作為收斂于無窮小區(qū)間的變數(shù)也可以作為極限。這后一點(diǎn)對(duì)于下一節(jié)關(guān)于“極限存在準(zhǔn)則”的討論尤為重要。

綜上所述，微積分比起初等數(shù)學(xué)的高明之處就在于超越單純形式邏輯的思考，而進(jìn)入理論嚴(yán)格性與現(xiàn)實(shí)可行性之間的變通，從而把潛無限和實(shí)無限統(tǒng)一起來而不是等同起來。在此意義上，正如恩格斯所說，微積分的確含有辯證法的因素，“本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”。辯證法不是對(duì)形式邏輯的否定，而是對(duì)形式邏輯的超越。正因?yàn)榇?，在微積分理論中并不包含也不允許出現(xiàn)邏輯矛盾。

五、關(guān)于柯西定義和戴德金分劃

前述表明，極限的ε-δ定義引入“去心鄰域”，從理論嚴(yán)格性上講是多余的。不過，從現(xiàn)實(shí)可行性上講，這一概念倒是給人一種啟示，即一個(gè)變量無限趨近的目標(biāo)之性質(zhì)并非單一的，可以是實(shí)的，也可以是空的。但是，事實(shí)上現(xiàn)行教科書卻把無限趨近的極限只看作實(shí)的，即看作一個(gè)點(diǎn)即常數(shù)，因?yàn)槿魏螛O限值都在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，“任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn)；反之，數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一地代表一個(gè)實(shí)數(shù)。于是，實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。”[4]3現(xiàn)在看來，這種說法有先入為主的成分。既然極限可以是“空的”，為什么這“空隙”一定是點(diǎn)而不是無窮小的區(qū)間，一定是常數(shù)而不是變數(shù)？

從上面的分析中我們看到，無理數(shù)的特征就是不可測(cè)度，它在數(shù)軸上不是一個(gè)確定的點(diǎn)，而是一個(gè)無窮小的區(qū)間?？紤]到無理數(shù)也可作為極限，我們有必要把極限的范圍從點(diǎn)擴(kuò)展到無窮小區(qū)間，從常數(shù)擴(kuò)展到變數(shù)。相反，把極限的范圍局限于點(diǎn)或常數(shù)，把實(shí)數(shù)和數(shù)軸之間的關(guān)系看作數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，這實(shí)際上是用有理數(shù)的觀念來看待無理數(shù)。其結(jié)果是使貝克萊悖論不可能被“徹底解決”，并使微積分理論至今仍然存在一些含混不清甚至自相矛盾的說法，包括著名的“柯西極限存在準(zhǔn)則”和“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”。

柯西曾把無理數(shù)定義為：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。這個(gè)說法雖然極富啟發(fā)性，但在他的理論中是難以自圓其說的；因?yàn)闊o理數(shù)作為無限不循環(huán)小數(shù)是不可度量的，并不對(duì)應(yīng)某個(gè)確定的點(diǎn)或常數(shù)，而柯西所說的“極限”卻只限于點(diǎn)或常數(shù)?？挛麝P(guān)于無理數(shù)的這一定義蘊(yùn)涵于“柯西極限存在準(zhǔn)則”(也叫做“柯西收斂準(zhǔn)則”)之中，此準(zhǔn)則表述如下：[4]38

數(shù)列{an}收斂的充要條件是：對(duì)任給的ε>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m>N時(shí)有：│an―am│<ε。

柯西極限存在準(zhǔn)則的條件稱為“柯西條件”，其直觀意義是：收斂數(shù)列{an}各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分靠后的任何兩項(xiàng)an和am之差的絕對(duì)值小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)ε；其在數(shù)軸上的表現(xiàn)是，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是擁擠在一起。

顯然，無理數(shù)作為有理數(shù)的無窮序列是滿足柯西條件的，因?yàn)殡S著小數(shù)位數(shù)的增加，越往后兩個(gè)數(shù)之間的差距就越小。根據(jù)此準(zhǔn)則，一個(gè)無理數(shù)所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)序列是收斂的，收斂意味著有極限，那個(gè)極限就是該無理數(shù)。在此意義上，我們可以把無理數(shù)定義為“有理數(shù)序列的極限”。但是，柯西卻額外地增加了一層意思，那就是：序列(或函數(shù))有極限則意味著收斂于某一常數(shù)或數(shù)軸上的某一點(diǎn)，相應(yīng)地，無理數(shù)是一常數(shù)并對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)確定的點(diǎn)。

請(qǐng)注意，與通常的ε―N數(shù)列極限定義相比，[注]數(shù)列的ε―N極限定義是：若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有│an―a│<ε,則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限。(參閱華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，第23頁)柯西極限存在準(zhǔn)則有著實(shí)質(zhì)性的區(qū)別，即把關(guān)于an與a充分靠近的關(guān)系換成了an與am充分靠近的關(guān)系。這就是說，前者借助于數(shù)列以外的數(shù)a即那個(gè)極限，而后者只需根據(jù)數(shù)列本身的特征，即充分靠后的任何兩項(xiàng)an和am之間的差距；前者是用數(shù)列“有極限”來定義數(shù)列“收斂”，而后者是用數(shù)列“收斂”來定義數(shù)列“有極限”。

從數(shù)軸上看，前者是從a的鄰域向其中心點(diǎn)即極限a的靠攏來定義數(shù)列的收斂，后者是從數(shù)列各項(xiàng)的靠攏來定義數(shù)列收斂并有極限。顯然，后者比前者斷定的東西要少而前者斷定的東西較多，其差別在于是否把收斂的極限定義為某個(gè)常數(shù)?？挛髟噲D從后者直達(dá)前者，即從滿足柯西條件的序列收斂于某一極限的斷言直達(dá)關(guān)于此極限是一常數(shù)的斷言，這便需要給以證明。對(duì)此，柯西本人并未給出令人信服的論證，于是，對(duì)“柯西極限存在準(zhǔn)則”的證明成為其他數(shù)學(xué)家的艱巨任務(wù)。

然而，在筆者看來，數(shù)學(xué)家們對(duì)柯西極限存在準(zhǔn)則的證明是誤入歧途的。如果把數(shù)列收斂的極限不限于常數(shù)或數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，也可以是一變數(shù)，其變域是數(shù)軸上的一個(gè)無窮小區(qū)間，那么柯西極限存在準(zhǔn)則是非常直觀的，不需要加以進(jìn)一步的證明，而且ε―N數(shù)列極限定義可以作為特例從柯西極限存在準(zhǔn)則推導(dǎo)出來。令人遺憾的是，由于數(shù)學(xué)家們?cè)谶@個(gè)問題上鉆了牛角尖，認(rèn)定極限只能是常數(shù)或數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，那就不得不勉為其難，承擔(dān)起證明柯西極限存在準(zhǔn)則的重任。

這個(gè)任務(wù)的難點(diǎn)在于證明可以作為極限的無理數(shù)也是一個(gè)常數(shù)。應(yīng)該說，這個(gè)任務(wù)是不可能完成的，因?yàn)闊o理數(shù)在其本質(zhì)上就不是一個(gè)常數(shù)或數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)。這便使得數(shù)學(xué)家們?yōu)榇怂龅摹白C明”不僅迂回繁瑣，而且難免出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤。對(duì)于柯西極限存在準(zhǔn)則，數(shù)學(xué)家們給出多種“等價(jià)”的證明，其中比較“直觀”的一種是借助于“戴德金分劃”。

戴德金(J.Dedekind，1831—1916)尤其關(guān)心實(shí)數(shù)的連續(xù)性，這便涉及無理數(shù)的定義問題。其實(shí)，戴德金是以直線的連續(xù)性作為實(shí)數(shù)連續(xù)性的模型，如果實(shí)數(shù)與直線完全重合，那便表明實(shí)數(shù)是連續(xù)的。戴德金在其力作《連續(xù)性與無理數(shù)》中寫道：關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)性，“經(jīng)過長(zhǎng)期徒勞的思考，我終于發(fā)現(xiàn)它的實(shí)質(zhì)是很平凡的。直線上的一點(diǎn)，把直線分成左右兩部分。連續(xù)性的本質(zhì)就在于返回去：把直線分割成左右兩部分，必有唯一的分點(diǎn)?！盵5]9

這就是說，把直線分割成兩部分的那個(gè)分點(diǎn)存在于實(shí)數(shù)中，并且是“唯一的”。這樣，實(shí)數(shù)與直線上的分點(diǎn)便是一一對(duì)應(yīng)的，因此，實(shí)數(shù)便具有了直線的連續(xù)性。顯然，在戴德金的心目中，包含于實(shí)數(shù)中的無理數(shù)也具有唯一性，對(duì)應(yīng)于直線上的一個(gè)確定的點(diǎn)。可以說，除了把無理數(shù)看作直線上的一點(diǎn)不夠直觀，把實(shí)數(shù)的連續(xù)性掛靠在直線的連續(xù)性上，這是很自然也很直觀的；正如戴德金自己所說，這一思想是“很平凡的”。

以上便給出實(shí)數(shù)連續(xù)性的實(shí)質(zhì)，其道理不僅是“平凡的”，而且是直觀的，甚至是不證自明的。然而，數(shù)學(xué)家們卻有一個(gè)心結(jié)，總覺得讓無理數(shù)對(duì)應(yīng)于有理數(shù)之間的“空隙”不太實(shí)在，還想讓無理數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上一個(gè)確定的點(diǎn)，這樣便有必要直接地用有理數(shù)來定義無理數(shù)，而不能只用有理數(shù)的反面即“空隙”來定義無理數(shù)。“用有理數(shù)構(gòu)造新數(shù)的方法很多,如戴德金的分劃說,康托爾的基本列說,區(qū)間套說等等。”[4]290數(shù)學(xué)家們的艱苦努力就在于“用有理數(shù)構(gòu)造新數(shù)”，所謂“新數(shù)”就是無理數(shù)。

對(duì)于“戴德金分劃”，現(xiàn)行教科書還作出這樣的解釋：“數(shù)集無空隙，或更通俗地說：如果將實(shí)數(shù)集看作一條直線，并用一把沒有厚度的理想的刀來砍它，那么不論砍在哪里，總要碰著直線上的一點(diǎn)?！盵4]294請(qǐng)注意，戴德金分劃的那個(gè)分點(diǎn)是“沒有厚度的”，因而是一個(gè)歐幾里得幾何學(xué)的點(diǎn)，而不是微積分中的無窮小，是一個(gè)常數(shù)而不是一個(gè)變數(shù)。用這樣的點(diǎn)構(gòu)造的實(shí)數(shù)使得“數(shù)集無空隙”，從而成為連續(xù)的。

不難看出，這種思維潛伏著一個(gè)矛盾，那就是讓微積分理論的核心概念“無窮小”，退回到初等數(shù)學(xué)的沒有長(zhǎng)、寬、高的歐幾里得點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們用有理數(shù)的“點(diǎn)”來定義無理數(shù)，這一企圖就預(yù)示著這種倒退，無異于緣木求魚、南轅北轍，在大方向上是誤入歧途的。關(guān)于“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”，筆者不打算亦步亦趨地分析那些“證明”的各個(gè)步驟，而是盡可能直截了當(dāng)?shù)刂赋銎渲械年P(guān)鍵性錯(cuò)誤。

“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”可以這樣來表述：如果一個(gè)有大小順序的稠密的數(shù)系S，對(duì)它的任何一個(gè)分劃，都有S中唯一的數(shù)存在，它不小于下類中的每個(gè)數(shù)，也不大于上類中的每一個(gè)數(shù)，那么稱S系是連續(xù)的。[5]9

需加說明，一個(gè)戴德金分劃把數(shù)系S分為兩個(gè)部分即下類和上類，下類中的每一個(gè)數(shù)都小于上類中的每一個(gè)數(shù)，并且這兩個(gè)類的并集等于S，這就是所謂“不空、不漏、不亂”的戴德金分劃的三個(gè)性質(zhì)。戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則給出的前提條件是“對(duì)S的任何一個(gè)分劃，都有S中唯一的數(shù)存在”，由于下類和上類合起來是“不漏”的，因此，這個(gè)作為分點(diǎn)并且存在于S中的數(shù)要么是下類的上端，要么是上類的下端，而不會(huì)漏在下類和上類之間的空隙之中。這也就是說，對(duì)S的任何分劃的分點(diǎn)都不會(huì)落在S的外邊，所以，S是沒有空隙的，因而是連續(xù)的。

這里的問題是：對(duì)S的任何分點(diǎn)都不會(huì)落在S的外邊就一定表明S是連續(xù)的嗎？為了給出肯定的回答，必須假定S的所有分點(diǎn)的集合是連續(xù)的。那么，問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋喝绾伪砻鳌癝的所有分點(diǎn)的集合是連續(xù)的”？回答只能是：數(shù)軸上的每一點(diǎn)都可成為S的分點(diǎn)，數(shù)軸是連續(xù)的，所以S的所有分點(diǎn)的集合是連續(xù)的。由此可見，戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則是以直線的連續(xù)性為模型的，如果離開這一點(diǎn)，該準(zhǔn)則便成為無源之水、無本之木。

為了使這一結(jié)論更加明晰，我們不妨讓分劃的分點(diǎn)只包括有理數(shù)(有理數(shù)滿足數(shù)系S的稠密性要求)，而不包括無理數(shù)；毫無疑問，全部分點(diǎn)都將落入有理數(shù)的范圍。根據(jù)戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則，那將得出結(jié)論，有理數(shù)是連續(xù)的。然而，有理數(shù)不連續(xù)，這說明戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則的表述是不完備的。

對(duì)此，可能有人會(huì)反駁說，為什么可以把無理數(shù)從分劃的分點(diǎn)中排除呢？筆者將反問：為什么不可以呢？有理數(shù)系也具有稠密性，并且用任何有理數(shù)作為分點(diǎn)也可滿足關(guān)于有理數(shù)的“不空、不漏、不亂”的要求，除此之外，戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則對(duì)“分劃”并未做其他限定。況且從直觀上講，有理數(shù)的稠密性意味著，在任何兩個(gè)不同的有理數(shù)之間都有無窮多的有理數(shù)存在，而無論這兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的距離多么小，難道這還不連續(xù)嗎？

可以看出，為要反駁以上關(guān)于有理數(shù)之連續(xù)性的“證明”，無法只憑戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則來進(jìn)行，必須在此準(zhǔn)則之外尋找根據(jù)，其根據(jù)歸根到底就是作為數(shù)軸的直線的連續(xù)性。這一“反駁”大致是這樣的：既然有理數(shù)沒能布滿直線，還留下許許多多的“空隙”，所以，有理數(shù)是不連續(xù)的；我們把這些“空隙”叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合起來便能布滿直線，所以實(shí)數(shù)是連續(xù)的。分劃直線的分點(diǎn)可以是直線上的任何一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然包括無理數(shù)。然而，以上關(guān)于有理數(shù)之連續(xù)性的“證明”則把無理數(shù)從分劃的分點(diǎn)中排除掉，因而是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

須指出，此“反駁”有一邏輯錯(cuò)誤即偷換概念：先把無理數(shù)作為直線上的有理數(shù)點(diǎn)之間的空隙，后把這些空隙作為直線上的點(diǎn)，即戴德金分劃的“分點(diǎn)”，從而證明無理數(shù)也是直線上的一個(gè)點(diǎn)，以此把實(shí)數(shù)與直線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來。這一邏輯錯(cuò)誤潛藏于“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”的證明過程中。

以上從總體上表明“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”的不恰當(dāng)性。接下來，我們將對(duì)此準(zhǔn)則的證明過程加以分析，指出其中的一些邏輯錯(cuò)誤，其關(guān)鍵之點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的誤用。下面，我們對(duì)一部有代表性的教材中的證明過程進(jìn)行分析。[注]參見鄧東皋、尹小玲：《數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程》上冊(cè)，第11-12頁。該書的一些錯(cuò)誤并非獨(dú)有，而是普遍存在于大部分教科書中。相對(duì)而言，該書闡述的較為清晰，故以該書的證明過程作為分析的對(duì)象。

證明：設(shè)A│B是實(shí)數(shù)系R的任何一個(gè)分劃。我們要證明存在唯一的實(shí)數(shù)r∈R，使得對(duì)任意a∈A有a≤r，對(duì)于任意b∈B有r≤b。

首先看全體整數(shù)，由A不空知有整數(shù)屬于A。若任意整數(shù)c0∈A，有c0+1∈A，則B是空集；既然分劃A│B規(guī)定B不是空集，那么存在整數(shù)c0，使得c0∈A，而c0+1∈B。其次考慮：

c0.0，c0.1，c0.2，…，c0.9

這時(shí)必存在c1是0，1，…，9中的某數(shù)，使得c0.c1∈A, c0.(c1+1)∈B,(若c1等于9，則c0.(c1+1)=(c0+1).0)。如此繼續(xù)下去，在確定了c0.c1…cn之后考慮

c0.c1…cn0，c0.c1…cn1，…，c0.c1…cn9

由此確定cn+1,使得c0.c1…cncn+1∈A，c0.c1…cn(cn+1+1)∈B，如此便得到實(shí)數(shù)

r=c0.c1c2…cn…

(對(duì)教科書的有關(guān)證明引用到此)這個(gè)r就是實(shí)數(shù)系R中的戴德金分劃A│B的分點(diǎn)，其小數(shù)位數(shù)n可以是無窮大，這便把無理數(shù)包含在內(nèi)。不過，無論n多么大，我們總可以把分劃A和B的那個(gè)數(shù)值cn確定下來，使得c0.c1…cn∈A，而c0.c1…(cn+1)∈B。

對(duì)于以上論證，我們可以看到，其中包含著對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的使用，歸納過程如下：首先，在整數(shù)上可以確定把實(shí)數(shù)集A和B分劃開來的數(shù)值c0。其次，如果在第n位小數(shù)可以確定把A和B分劃開來的數(shù)值，那么在第n+1位上也可以；否則通過十進(jìn)制進(jìn)位的遞歸，使得所有數(shù)都屬于A類而使B為空類，違反戴德金分劃關(guān)于“不空”的規(guī)定。這樣，由數(shù)學(xué)歸納法可得：在任何小數(shù)位數(shù)n上，都可以確定分劃A和B的分點(diǎn)，其分點(diǎn)包括小數(shù)位數(shù)n為無窮大的無理數(shù)。

通過這一數(shù)學(xué)歸納法的使用，把有理數(shù)的分點(diǎn)性質(zhì)推移到無理數(shù)上，這個(gè)性質(zhì)就是：一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是可用十進(jìn)制刻度來確定的，而無論刻度單位多么小，甚至是無窮小。這就是數(shù)學(xué)家們想要的結(jié)論，即實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，相應(yīng)地，它們的連續(xù)性是從點(diǎn)到點(diǎn)的連續(xù)性。這樣，無理數(shù)便用有理數(shù)構(gòu)造出來了。

然而，筆者要指出，以上對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的使用是不適當(dāng)?shù)模驗(yàn)樗`解了數(shù)學(xué)歸納法的功能。數(shù)學(xué)歸納法的功能是對(duì)同類對(duì)象的性質(zhì)作出概括，如：1+1是自然數(shù)，如果n+1是自然數(shù)，那么(n+1)+1也是自然數(shù)，所以，任何自然數(shù)加1之后仍為自然數(shù)。這是對(duì)同類對(duì)象即自然數(shù)的“加1”性質(zhì)作出概括，因而是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的正確使用。但是，由數(shù)學(xué)歸納法得不出無窮大∞加1之后是自然數(shù)，盡管n+1+1+……的極限是∞；這是因?yàn)椤夼c自然數(shù)不是同一類對(duì)象，自然數(shù)是常數(shù)而∞則是變數(shù)。類似地，通過以上數(shù)學(xué)歸納法只能得出“任何有理數(shù)分點(diǎn)對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制刻度上的某一點(diǎn)”，而不能把此結(jié)論推廣到無理數(shù)上，因?yàn)闊o理數(shù)與有理數(shù)不是同一類對(duì)象，其本質(zhì)區(qū)別就在于是否在數(shù)軸上可以度量。

至此，我們揭示了“柯西極限存在準(zhǔn)則”和“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”的含混和不當(dāng)之處，其癥結(jié)在于把無理數(shù)看作數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)而不是一個(gè)無窮小區(qū)間，進(jìn)而把無理數(shù)看作常數(shù)而不是變數(shù)。既然“戴德金分劃”并未成功地表明無理數(shù)是一常數(shù)或數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，那么我們不妨把數(shù)列或函數(shù)收斂的極限從常數(shù)或點(diǎn)擴(kuò)展到變數(shù)或無窮小區(qū)間。這樣做的顯著優(yōu)點(diǎn)是，“柯西極限存在準(zhǔn)則”成為公理而無需加以證明，相應(yīng)地，戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則及其各種等價(jià)“原理”成為多余的；[注]事實(shí)上，包括同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》在內(nèi)的許多教材把“戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則”及其等價(jià)“原理”的證明省略了，其多余性由此可見一斑。這不僅使微積分的理論基礎(chǔ)更加簡(jiǎn)潔明了，而且使“貝克萊悖論”得以徹底的清除。

六、“芝諾佯謬”與辯證法的運(yùn)動(dòng)論題

前面提到，辯證法的運(yùn)動(dòng)論題早在古希臘時(shí)期就以“芝諾佯謬”的形式被間接地提出。芝諾佯謬有多種表述，現(xiàn)只以“飛矢不動(dòng)”作為討論的案例?！帮w矢不動(dòng)”所呈現(xiàn)的疑難問題是：一支剛射出的箭在到達(dá)靶心之前必須經(jīng)過箭頭與靶心之間的中點(diǎn)；同理，必須經(jīng)過中點(diǎn)的中點(diǎn)，以此類推。所以，一支射出的箭在到達(dá)靶心之前需要經(jīng)過無數(shù)多個(gè)中點(diǎn)，以致那支箭無法到達(dá)任何一點(diǎn)，只能留在原地紋絲不動(dòng)。[注]亞里士多德在其《物理學(xué)》中較為詳細(xì)地介紹了四種形式的芝諾佯謬(見《物理學(xué)》，徐開來譯，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2003年，第180-181頁)。這里的表述是將其中第一個(gè)即“運(yùn)動(dòng)不存在”與第三個(gè)即“飛矢不動(dòng)”合并起來。

“飛矢不動(dòng)”是純理論分析的結(jié)果，它與事實(shí)上的“飛矢可動(dòng)”形成鮮明的反差。據(jù)說當(dāng)時(shí)一位古希臘的智者聽到芝諾佯謬之后，從他常坐于其中的木桶里跳了出來，在地上來回走動(dòng)，以此來反駁芝諾佯謬。其實(shí)這是答非所問，因?yàn)橹ブZ本人也不會(huì)否認(rèn)事實(shí)上的“飛矢可動(dòng)”。正因?yàn)榇?，他通過理論分析所得到的“飛矢不動(dòng)”才具有震撼力，逼迫理論家們不得不加以解決。面對(duì)“飛矢可動(dòng)”的鐵一般的事實(shí)，“飛矢不動(dòng)”的理論分析一定存在某種錯(cuò)誤。錯(cuò)誤在哪里，如何解決？這是擺在人們面前的問題。

通過前面對(duì)實(shí)數(shù)和直線的連續(xù)性的討論，我們已經(jīng)得出一個(gè)重要的結(jié)論即：實(shí)數(shù)的連續(xù)性是由有理數(shù)和無理數(shù)共同構(gòu)成的，反映在數(shù)軸上，有理數(shù)的點(diǎn)和無理數(shù)的無窮小區(qū)間即“空隙”共同構(gòu)成數(shù)軸的連續(xù)性。相應(yīng)地，一支箭從出發(fā)點(diǎn)到靶心的軌跡是一條連續(xù)的曲線，上面并非只有無數(shù)多個(gè)“中點(diǎn)”，而在諸多中點(diǎn)之間還有許多無窮小的區(qū)間。誠(chéng)然，無數(shù)多個(gè)沒有長(zhǎng)寬高的點(diǎn)加在一起還是一個(gè)沒有長(zhǎng)寬高的點(diǎn)，正如無數(shù)多個(gè)0相加等于0；但是，無數(shù)多個(gè)無窮小區(qū)間加在一起并不等于0，而可成為一段有確定長(zhǎng)度的線。這正是微積分的基本原理，即把一線段微分到無窮小，再把無數(shù)多個(gè)無窮小累積起來，就得到那條線段的精確長(zhǎng)度及其相應(yīng)的面積。

得出“飛矢不動(dòng)”的理論分析的錯(cuò)誤之處在于，把箭的運(yùn)動(dòng)軌跡僅僅看作無數(shù)多個(gè)“中點(diǎn)”的累積，而忽略了其中的無窮小區(qū)間；正如數(shù)學(xué)家們只看到數(shù)軸上稠密分布的無數(shù)個(gè)點(diǎn)，而沒有看到其中稠密分布的無窮小區(qū)間。正因?yàn)榇?，?shù)學(xué)家們對(duì)于芝諾佯謬顯得束手無策。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家們可以通過微積分計(jì)算來解釋芝諾佯謬，但那并不能從根本上解決問題。正如貝克萊所說，那只是微積分計(jì)算結(jié)果的實(shí)際正確性，其理論本身仍然潛伏著邏輯矛盾，并以“貝克萊悖論”的方式呈現(xiàn)出來。

對(duì)于芝諾佯謬的直截了當(dāng)?shù)慕鉀Q就是承認(rèn)數(shù)軸的連續(xù)性是由有理數(shù)的點(diǎn)和無理數(shù)的無窮小區(qū)間共同構(gòu)成的，不妨稱之為數(shù)軸或?qū)崝?shù)的“點(diǎn)域二象性”；這種點(diǎn)域二象性體現(xiàn)了潛無限和實(shí)無限的對(duì)立統(tǒng)一。具體地說，數(shù)軸上的每一個(gè)有理數(shù)點(diǎn)可以作為極限而對(duì)應(yīng)于向它無限趨近的潛無限過程，即無限循環(huán)小數(shù)；每一個(gè)無理數(shù)通過不斷展開的潛無限過程而對(duì)應(yīng)于一個(gè)作為極限的無窮小區(qū)間。數(shù)軸是一種幾何圖像，它的點(diǎn)域二象性直接反映了空間的基本性質(zhì)；數(shù)軸也可表示時(shí)間，其點(diǎn)域二象性也反映了時(shí)間的基本性質(zhì)。

在現(xiàn)代物理學(xué)中，時(shí)間和空間同為四維空間的要素，因此也可說，點(diǎn)域二象性是時(shí)空量子的屬性，對(duì)應(yīng)于物理量子的波粒二象性。物理量子是經(jīng)驗(yàn)對(duì)象，其波粒二象性需要通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證；與之不同，時(shí)空量子不是經(jīng)驗(yàn)對(duì)象，而是先驗(yàn)對(duì)象，正如時(shí)間和空間屬于先驗(yàn)范疇(這是康德哲學(xué)的基本原理之一，康德稱之為“先驗(yàn)直觀”)，對(duì)時(shí)空量子的點(diǎn)域二象性只需通過邏輯和數(shù)學(xué)的分析便可確認(rèn)。誠(chéng)然，邏輯、數(shù)學(xué)與物理學(xué)之間具有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，時(shí)空量子的點(diǎn)域二象性與物理量子的波粒二象性之間也具有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。在這個(gè)意義上，我們也可把物理量子的波粒二象性看作時(shí)空量子的點(diǎn)域二象性的經(jīng)驗(yàn)印證，二者都是間斷性和連續(xù)性的對(duì)立統(tǒng)一。

最后，我們?cè)倩氐睫q證法的運(yùn)動(dòng)論題——運(yùn)動(dòng)在同一時(shí)刻既在一個(gè)地點(diǎn)又不在一個(gè)地點(diǎn)——的正當(dāng)性上。我們?cè)谇懊娴诙?jié)根據(jù)微積分的導(dǎo)數(shù)概念即dy/dx得出結(jié)論：運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度不為0，意味著運(yùn)動(dòng)是同一瞬時(shí)在不同的空間點(diǎn)——瞬時(shí)速度的起點(diǎn)和終點(diǎn)——之間“跳躍”，這才使運(yùn)動(dòng)成為可能，從而克服“飛矢不動(dòng)”的芝諾佯謬。在這個(gè)意義上，辯證法的運(yùn)動(dòng)論題是成立的；事實(shí)上，黑格爾在很大程度上是為解決芝諾佯謬而提出這一論題的。然而，這種表述似乎違反形式邏輯，相當(dāng)于同時(shí)肯定A和非A。

筆者承認(rèn)，這種形式的辯證法論題是粗糙的，容易引起誤會(huì)，需要加以改進(jìn)。現(xiàn)在我們根據(jù)無理數(shù)的無窮小區(qū)間性質(zhì)，對(duì)辯證法論題的矛盾形式予以轉(zhuǎn)化，以無矛盾的形式表述為：運(yùn)動(dòng)是在同一瞬時(shí)經(jīng)過同一地點(diǎn)，瞬時(shí)和地點(diǎn)都是無窮小量而不是0。具體地說，原來的辯證法論題中所說的在同一瞬時(shí)被“跳躍”的那兩個(gè)空間點(diǎn)，其實(shí)是在同一個(gè)無窮小區(qū)間之內(nèi)的，因而是同一個(gè)地點(diǎn)而不是兩個(gè)不同的地點(diǎn)。由無窮小量的累積可以成為一個(gè)有限數(shù)，所以，作為無窮小區(qū)間的瞬時(shí)和地點(diǎn)累積起來便可形成運(yùn)動(dòng)。這正是微積分?jǐn)?shù)學(xué)的基本原理，也是芝諾佯謬得以解決的關(guān)鍵所在。

最后強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：其一，辯證法不是對(duì)形式邏輯的排斥，而是對(duì)形式邏輯的超越；相應(yīng)地，恰當(dāng)?shù)霓q證論題并不違反形式邏輯，而是在遵守形式邏輯的前提下蘊(yùn)涵著更為豐富的內(nèi)容。其二，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題往往涉及潛無限與實(shí)無限的關(guān)系問題，這與其說是數(shù)學(xué)問題，不如說是哲學(xué)問題。正因?yàn)榇?，?shù)學(xué)家們?cè)诖藛栴}上的錯(cuò)誤并不直接影響數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用上的正確性，但這并不表明其理論是完美無缺的。有趣的是，歷史上的“三次數(shù)學(xué)危機(jī)”都是由哲學(xué)家發(fā)起的；也許，解鈴還須系鈴人吧。