林建森

[摘? ?要]函數(shù)問題向來是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點，需要使用科學(xué)的教學(xué)方案優(yōu)化教學(xué).設(shè)計“問題串”是優(yōu)化教學(xué)的途徑之一.

[關(guān)鍵詞]問題串;高中函數(shù);教學(xué)策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-00021-02

函數(shù)問題向來是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點，通過設(shè)計“問題串”能優(yōu)化函數(shù)教學(xué)，提高函數(shù)教學(xué)效率.

一、“問題串”教學(xué)模式概述

“問題串”是基于核心教學(xué)內(nèi)容，使用具有邏輯結(jié)構(gòu)的一連串問題（3至5個問題）進(jìn)行分析，讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過程中由淺入深地了解核心知識，以便更好地應(yīng)用.該方法能有效整合學(xué)生的認(rèn)知，促使學(xué)生在問題解決過程中及時與教師進(jìn)行反饋，進(jìn)而解決不同的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.另外，該教學(xué)方式能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升.

二、函數(shù)教學(xué)策略

（一）函數(shù)單調(diào)性教學(xué)

函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容通常會涉及遞增或遞減，僅通過理論對函數(shù)問題進(jìn)行理解，不能將單調(diào)性問題進(jìn)行全面講述.因此，教師在二次函數(shù)的單調(diào)性的拓展中，可以引入“問題串”，以便于學(xué)生理解，促使學(xué)生充分理解函數(shù)圖像與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

例如，在《函數(shù)的模型及其應(yīng)用》的教學(xué)中，教師可以引出“問題串”.

問題1：假設(shè)有函數(shù)[y1=x2]和[y2=x]，觀察[y1=x2]和[y2=x]兩個函數(shù)，有哪一部分滿足[y1y2]，分析這兩個函數(shù)的增長趨勢.

分析：通過這兩個函數(shù)的圖像可以看出，兩函數(shù)均與原點存在交點.當(dāng)[x<0]時，存在[y1>y2];當(dāng)[x=0]時，存在[y1=y2];當(dāng)[x>0]時，存在[y1

問題2：若存在兩個具體自變量的值[a]、[b]，且[a

分析：題設(shè)中沒有規(guī)定[a]、[b]的取值范圍，也沒有規(guī)定[a]、[b]是否均為正數(shù)或負(fù)數(shù).因此不能判斷函數(shù)是遞增的.如：函數(shù)[y=5x2-3x]中存在[a]、[b]，其中[a=-2]，[b=3]，由此看出[a

問題3：假設(shè)[x∈a，b]，且[x]存在無數(shù)個值，即[x1

分析：該問題是問題2的引申，其核心是對于抽象問題的特殊化處理.其證明方法同問題2，都是通過列舉反例的方法，列舉出“特殊化”的實際問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)，需要根據(jù)函數(shù)[f（x）]的定義域?qū)蓴?shù)進(jìn)行取值，并結(jié)合實際函數(shù)圖像進(jìn)行分析，最終引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的中“任意”兩字有全面了解.

通過以上問題的提出，促使學(xué)生在函數(shù)的圖像中作出“任意”兩點，并分析這兩點之間[y]值的大小，促使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)函數(shù)模型的過程中對增函數(shù)的定義和減函數(shù)的定義進(jìn)行比較.即若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像是上升趨勢，可以得到函數(shù)中x的取值隨著圖像增長而增長，此時便可以得出若[x1

問題4：假設(shè)[x1=1，x2=2]為函數(shù)[f（x）=x5-253x3+20x+1]的兩個極值點，求[f（x）]的單調(diào)區(qū)間.

分析：高階函數(shù)需要使用導(dǎo)數(shù)的方法求解其單調(diào)區(qū)間，主要思路是將高階函數(shù)轉(zhuǎn)化為低階函數(shù)，并結(jié)合圖像進(jìn)行觀察.

[f（x）=x5-253x3+20x+1]的導(dǎo)數(shù)為[f（x）=5x4-25x2+20=5（x2-1）（x2-4）=5（x+2）（x+1）（x-1）][（x-2） ].

結(jié)合函數(shù)圖像可以分析出：

[x∈（-∞，-2）?（-1，1）?（2，+∞）]，[f（x）>0];

[x∈（-2，-1）?（1，2）]， [f][（x）<0].

那么可以依據(jù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容判斷出：函數(shù)在[（-∞，-2）] [? （-1，1）?（2，+∞）]三個區(qū)間單調(diào)遞增;在[（-2，-1）] [? （1，2）]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

（二）三角函數(shù)的教學(xué)

在《函數(shù)[y=Asin（ωx+?）]的圖像變換》的教學(xué)中，教師可以對三角函數(shù)的定義進(jìn)行講述，并講述振幅[A]、[T=2πω和 f=1T]的內(nèi)涵，然后通過構(gòu)建三角函數(shù)的教學(xué)情境，利用教學(xué)軟件的表現(xiàn)方法進(jìn)行展示.

問題1：已知函數(shù)[y=sinx]，若將函數(shù)向右平移[π6]個單位，那么該函數(shù)的解析式是什么？

分析：該問題基于對三角函數(shù)圖像的了解，引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)圖像平移的性質(zhì)，即[y=sinx]的圖像向左平移φ個單位或向右平移φ個單位（[φ<0]），得到[y=sin（x+φ）]圖像.那么，上述函數(shù)的解析式為[y=sinx-π6 ].

問題2：已知函數(shù)[y=sinx]，怎樣變換可以得到函數(shù)[y=sin2x-π6]？

分析：該問題需要分為兩步.第一步，將函數(shù)[y=sinx]變換為[y=sin2x]，變換方法為將函數(shù)[y=sinx]橫坐標(biāo)參數(shù)縮減[1ω]，即可得到[y=sinωx]圖像.在該題中，需要將[y=sinx]變?yōu)閇y=sin2x].故函數(shù)的橫坐標(biāo)縮減了[12 ].第二步，將[y=sin2x]變?yōu)閇y=sin2x-π6]，即向右平移[φω=π62=π12]個單位，最終得到問題的答案.

問題3：已知函數(shù)[y=sin2x-π3]，如何通過平移變換得到[y=sin2x-π4]？

分析：三角函數(shù)平移的核心是將[y=sinx]的原始函數(shù)作為中介參數(shù)，并進(jìn)行系統(tǒng)的平移變換.[y=sin2x-π3=sin2x-π6→y=sin2x-π4=sin2x-π8]向右移動[π6-π8=π24]單位而得到.

通過以上問題，促使學(xué)生能夠在軟件操作中了解[A]、ω、φ參數(shù)與平移的關(guān)系（[A]的變化即原函數(shù)的縱坐標(biāo)變?yōu)閇A]倍），并結(jié)合繪圖軟件與理論的整合操作，促使學(xué)生能夠很快地掌握三角函數(shù)的變化規(guī)律.最后，教師需要對三角函數(shù)的圖像性質(zhì)進(jìn)行講述，引導(dǎo)學(xué)生在不同問題的分析過程中得到基本結(jié)論，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

（三）函數(shù)“系數(shù)”的教學(xué)

在復(fù)習(xí)有關(guān)用待定系數(shù)求解函數(shù)解析式的內(nèi)容中，教師需要系統(tǒng)地講述一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的相關(guān)知識，可通過“問題串”進(jìn)行展示.

問題1：函數(shù)[y=kx（k≠0）]過點[A]（1，4），則該函數(shù)的解析式為 .

分析：引導(dǎo)學(xué)生回顧有關(guān)正比例函數(shù)的知識，通過將A點代入正比例函數(shù)，求出[k]值，即[4=k×1]，所以[k]=4，那么該函數(shù)解析式為[f（x）=4x].

問題2：函數(shù)[y=kx（k≠0）]過點[A]（1，4），則該函數(shù)的解析式為 .

分析：主要引導(dǎo)學(xué)生對反比例函數(shù)的基本形式[y=kx（k≠0）]和[k=xy（k≠0）]進(jìn)行了解，并將點[A]代入，求出[k]值，即[k=1×4=4]，該函數(shù)解析式[y=4x].

問題3：函數(shù)[y=kx+b（k≠0）]過點[A]（1，4），則該函數(shù)的解析式為 .

問題4：函數(shù)[y=ax2+bx+c]過點[A]（1，4），則該函數(shù)的解析式為 .

分析：在對問題3、問題4的問題探索中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)僅將點A代入函數(shù)解析式，不能直接求解未知參數(shù)的值.此時需要提出“待定系數(shù)”.如，在問題3中加入條件：函數(shù)也經(jīng)過點B（2，3）.那么可以轉(zhuǎn)化為[k+b=42k+b=3]的方程組，解得k=-1，b=5.故問題3的函數(shù)解析式為[y=-x+5].對于問題4的函數(shù)解析式求解，學(xué)生發(fā)現(xiàn)僅添加一個條件不能解決解決三元一次方程組，因此還需要添加一個條件，如條件“[c=0]”.那么可以將其轉(zhuǎn)化為[c=0，a+b+c=4，4a+2b+c=3，]解得[a=-52]，[b=32] .那么問題4的函數(shù)解析式為[y=-52x2+32x].

“問題串”教學(xué)的有效拓展能夠促使學(xué)生將未知知識與已知知識進(jìn)行整合，促使學(xué)生從不同的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的理解，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)分析與運用能力得到有效提升.同時，該方法能夠體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，彰顯自主探索為中心的價值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 孫靜.高中數(shù)學(xué)“問題串”教學(xué)的實踐研究[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2016.

[2]? 晏華東.數(shù)學(xué)課堂“問題串”教學(xué)模式的研究[J].新課程（中學(xué)），2016（3）：368-369.

（責(zé)任編輯? ?黃桂堅）