陳志勇 張婷婷

福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，福州，350116

0 引言

空間機械臂適于執(zhí)行空間平臺搭建、捕獲大型目標(biāo)物體等任務(wù)，其研究一直是人們關(guān)注的焦點[1-4]。因制造、技術(shù)等客觀原因，現(xiàn)實中的空間機械臂各主要部件均具有一定的柔性，這些柔性不可避免地對系統(tǒng)的操作運動產(chǎn)生負面影響，如降低系統(tǒng)控制精度，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。近年來，為提高空間機械臂的實時操控精度，人們除對空間機械臂的臂桿柔性問題進行研究外[5-7]，還研究以往極易被忽視的關(guān)節(jié)柔性、基座柔性。如文獻[8]提出一種柔性關(guān)節(jié)空間機械臂末端跟蹤的反饋線性化控制策略；文獻[9]研究了本體無控參數(shù)確定柔性關(guān)節(jié)空間機械臂在關(guān)節(jié)及工作空間下的控制問題；文獻[10]討論了外部擾動及參數(shù)不確定影響下，柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的動力學(xué)建模與雙時間尺度魯棒控制問題；文獻[11]探討了一種自由漂浮柔性基機器人的零空間反應(yīng)控制問題；文獻[12]設(shè)計了一種柔性基空間機械臂自主目標(biāo)捕獲的速度分解控制算法。上述研究僅限于解決關(guān)節(jié)或基座主導(dǎo)柔性影響的空間機械臂主動控制問題。顯而易見，若同時考慮基座和關(guān)節(jié)的柔性，則空間機械臂的動力學(xué)模型將變得更為復(fù)雜，控制難度更大[13-14]。現(xiàn)有探討各類不確定性影響下柔性基、柔性關(guān)節(jié)空間機械臂末端運動控制問題的研究還尚不多見，且亟待更進一步地積累與完善。

本文旨在解決參數(shù)不確定、外部擾動并存的柔性基、柔性關(guān)節(jié)空間機械臂基座姿態(tài)與末端負載的軌跡追蹤控制、基座與關(guān)節(jié)柔性振動的主動抑制問題。首先，依據(jù)奇異攝動分解技術(shù)及系統(tǒng)運動學(xué)關(guān)系，將系統(tǒng)動力學(xué)模型降階為一個表征系統(tǒng)剛性運動的增廣慣性空間慢變子系統(tǒng)、一個表征系統(tǒng)雙柔性振動的快變子系統(tǒng)。其次，為消除系統(tǒng)不確定性的影響，針對增廣慣性空間慢變子系統(tǒng)，提出一種基座姿態(tài)與末端負載協(xié)調(diào)運動，且基于等效控制、魯棒控制、參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整算法的自適應(yīng)魯棒終端滑?？刂坡?。為抑制柔性基及柔性關(guān)節(jié)在運動過程中的柔性振動，針對快變子系統(tǒng)設(shè)計了一種基于自適應(yīng)觀測的最優(yōu)控制策略。仿真結(jié)果驗證了所提方案在消除系統(tǒng)不確定性影響，抑制基座與關(guān)節(jié)柔性振動，實現(xiàn)系統(tǒng)預(yù)期軌跡跟蹤控制上的有效性。

1 動力學(xué)模型的描述及分解

以圖1所示柔性基、柔性關(guān)節(jié)平面兩桿空間機械臂為例進行研究。據(jù)文獻[14]并綜合考慮系統(tǒng)存在外部擾動的情況，建立修正后的系統(tǒng)操作臂動力學(xué)子方程：

(1)

及相應(yīng)的驅(qū)動電機動力學(xué)子方程：

Jmθm+kmσ=τm

(2)

圖1 柔性基、柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的系統(tǒng)模型Fig.1 System model of flexible-base and flexible-joint space manipulator

(3)

利用式(3)并結(jié)合基于等效剛度及奇異攝動技術(shù)，設(shè)計得到關(guān)節(jié)電機控制律[14]：

(4)

對動力學(xué)模型(式(1)、式(2))進行雙時標(biāo)分解，可導(dǎo)出增廣慣性空間描述下的慢變子系統(tǒng)：

(5)

Im=diag(0，(kc+I2×2)-1Jm)

dXk/dtk=AkXk+Bkτk

(6)

2 自適應(yīng)魯棒終端滑?；旌献赃m應(yīng)最優(yōu)控制

為實現(xiàn)柔性基、柔性關(guān)節(jié)空間機械臂基座姿態(tài)的調(diào)整及末端運動的精確協(xié)調(diào)運動控制目標(biāo)，基于奇異攝動模型(式(5)、式(6))設(shè)計得到的系統(tǒng)總控制器(慢變子控制器、快變子控制器組合而成)應(yīng)同時滿足如下要求：①慢變子控制器應(yīng)能克服系統(tǒng)不確定性的影響，使基座姿態(tài)及末端運動的實時跟蹤誤差有效、穩(wěn)定地收斂至0或一個接近于0的小鄰域之內(nèi)，以保證系統(tǒng)剛性運動具有預(yù)期的控制精度；②快變子控制器對基座、關(guān)節(jié)的振動具有良好的抑制作用。

(7)

式中，ρ(t)為新定義的系統(tǒng)廣義不確定性函數(shù)。

為便于控制器的分析、設(shè)計，現(xiàn)對上述系統(tǒng)作如下兩個假設(shè)[15]：

(8)

假設(shè)2不確定函數(shù)ρ(t)與系統(tǒng)的控制輸入相關(guān)，且ρ(t)的范數(shù)滿足

(9)

式中，bi為系統(tǒng)的不確定上界值，bi>0(i=0，1，2)。

e1=Y-Yd

(10)

(11)

將式(11)代入式(7)，得慢變子系統(tǒng)誤差方程：

(12)

定義終端滑模函數(shù)

(13)

C=diag(c1,c2,c3)

式中，c1、c2、c3為正常數(shù)；a、b均為正奇數(shù)，a

根據(jù)滑?？刂评碚?，為保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所提控制律需滿足滑模到達條件：

(14)

(15)

若將系統(tǒng)不確定性影響納入考慮范疇，則需在式(15)的基礎(chǔ)上附加設(shè)計離散魯棒控制律：

(16)

定理1 對于慢變子系統(tǒng)誤差方程(式(12))，由低頻等效控制律(式(15))、離散魯棒控制律(式(16))線性疊加得到的慢變控制律

(17)

可確保慢變子系統(tǒng)跟蹤誤差漸近穩(wěn)定地收斂至零。

證明：對李亞普諾夫函數(shù)

V1=STS/2

(18)

求導(dǎo)，并考慮式(12)、式(13)，有

(19)

將式(15)～式(17)代入式(19)，并結(jié)合式(9)，有

(20)

上述控制律雖能保證系統(tǒng)軌跡的漸近跟蹤，但仍存有改進之處：①式(16)給出的魯棒控制律在系統(tǒng)跟蹤誤差趨近零點時會出現(xiàn)離散、高頻的控制切換，此種不連續(xù)的控制極易激發(fā)系統(tǒng)基座、關(guān)節(jié)的柔性振動，反過來影響整個系統(tǒng)的剛性運動控制精度；②式(9)中的bi預(yù)估過小，慢變子系統(tǒng)的穩(wěn)定性難以保證；預(yù)估過大，系統(tǒng)控制偏于保守。

為此，下面擬結(jié)合邊界層法對離散魯棒控制律(式(16))做如下連續(xù)化處理：

(21)

式中，δ為小常數(shù)，δ>0。

(22)

(23)

(24)

式中，χi為自適應(yīng)調(diào)節(jié)系數(shù)，χi>0。

定理2針對慢變子系統(tǒng)誤差方程(式(12))，由等效控制律(式(15))、連續(xù)魯棒控制律(式(21))、自適應(yīng)調(diào)節(jié)律(式(22)～式(24))組成的慢變控制律(式(17))，可使慢變子系統(tǒng)跟蹤誤差收斂到零附近的小鄰域內(nèi)且最終一致有界。

證明：對李亞普諾夫函數(shù)

(25)

求導(dǎo)并結(jié)合式(19)，可得

(26)

(27)

結(jié)合式(22)～式(24)、式(9)，式(27)可進一步簡化為

(28)

為抑制系統(tǒng)基座、關(guān)節(jié)在運動過程中產(chǎn)生的柔性振動，采用基于系統(tǒng)能量性能指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)最優(yōu)控制器對快變子系統(tǒng)(式(6))進行主動控制。

(29)

(30)

若Z1可測，則可利用自適應(yīng)觀測算法：

(31)

(32)

對高階狀態(tài)Z2進行在線觀測[17]。

對式(31)求時間的一階導(dǎo)數(shù)，并利用式(32)，整理得

(33)

顯然，為使上述觀測系統(tǒng)保持穩(wěn)定，需合理選取Λ以確保式(33)具有負實部的特征值。

(34)

3 仿真結(jié)果

為證實上述理論分析、結(jié)果的可行性，擬對圖1所示柔性基、柔性關(guān)節(jié)空間機械臂進行系統(tǒng)仿真控制研究。假設(shè)mj、Jj(j=0，1，2，w)表示空間機械臂各分體(下標(biāo)0對應(yīng)載體基座，1對應(yīng)臂桿1，2對應(yīng)臂桿2，w對應(yīng)負載)的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量；l0表示x0軸上點px0與px1的距離(載體基座的寬度)，l1、l2分別為臂桿1和臂桿2的長度。系統(tǒng)真實參數(shù)如下：m0=60 kg，m1=m2=6 kg，mw=3 kg，J0=30 kg·m2，J1=J2=3 kg·m2，Jw=1.5 kg·m2，l0=l1=l2=2 m，J1m=J2m=0.09 kg·m2，k1m=k2m=50 N·m/rad，k0=500 N/m。系統(tǒng)的初始構(gòu)形為q(0)=[0.1 1.4 3.9]Trad，θm(0)=[1.4 3.9]Trad，x′(0)=0。系統(tǒng)的期望協(xié)調(diào)運動任務(wù)如下：

基座姿態(tài)軌跡

θ0d=0.3sin(πt/10) (rad)

負載圓周軌跡

將式(15)、式(21)～式(24)得到的慢變控制律式((17))與基于觀測器(式(31)、式(32))得到的快變控制律(式(34))進行線性疊加，可獲得系統(tǒng)的混合控制方案。

圖2 載體姿態(tài)的軌跡跟蹤Fig.2 Trajectory tracking ofbase attitude

圖3 負載的軌跡跟蹤Fig.3 Trajectory tracking of load

圖4 xw坐標(biāo)的軌跡跟蹤Fig.4 Trajectory tracking of coordinate xw

圖5 yw坐標(biāo)的軌跡跟蹤Fig.5 Trajectory tracking of coordinate yw

圖6 系統(tǒng)的柔性振動(所提控制方案)Fig.6 Flexible vibration of the system (the proposed control scheme)

為體現(xiàn)所提方案的控制優(yōu)勢，本文又給出了另外4種不同控制情形下的系統(tǒng)仿真控制結(jié)果。

(1)僅關(guān)閉方案中的快變最優(yōu)控制律τk。

圖7 參數(shù)的調(diào)整曲線(所提控制方案)Fig.7 Adjusting curves of parameter (the proposed control scheme)

圖8所示為仿真得到的系統(tǒng)基座及兩關(guān)節(jié)在前0.6 s內(nèi)的柔性振動曲線。顯然，若不使用快變控制律τk對系統(tǒng)進行振動的主動控制，基座及關(guān)節(jié)將在極短的時間內(nèi)產(chǎn)生大幅度的振動，進而導(dǎo)致系統(tǒng)無法在預(yù)期仿真時間內(nèi)保持穩(wěn)定并最終發(fā)散。

圖8 基座及兩關(guān)節(jié)的柔性振動(情形1)Fig.8 Flexible vibration of the base and two joints (case 1)

圖9 軌跡跟蹤誤差(情形2)Fig.9 Trajectory tracking errors (case 2)

圖10 系統(tǒng)的柔性振動(情形2)Fig.10 Flexible vibration of the system (case 2)

圖11 軌跡跟蹤誤差(情形3)Fig.11 Trajectory tracking errors (case 3)

圖12 不同擾動作用下的跟蹤誤差(關(guān)閉魯棒控制項Fig.12 Trajectory tracking errors from different disturbances (without the robust control item

圖13 軌跡跟蹤誤差(情形4)Fig.13 Trajectory tracking errors (case 4)

圖14 系統(tǒng)的柔性振動(情形4)Fig.14 Flexible vibration of the system (case 4)

4 結(jié)論

本文為解決具有不確定參數(shù)和外部擾動的柔性基、柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的控制問題，提出一種由自適應(yīng)魯棒終端滑模控制與自適應(yīng)最優(yōu)控制相結(jié)合的基座姿態(tài)、末端負載協(xié)調(diào)運動混合控制策略。自適應(yīng)魯棒終端滑模控制通過對系統(tǒng)不確定函數(shù)集中項上界值的自適應(yīng)估計及控制信號的連續(xù)化處理，消除了系統(tǒng)不確定性、控制信號離散對系統(tǒng)剛性運動帶來的負面影響，實現(xiàn)了系統(tǒng)期望軌跡的精確跟蹤。自適應(yīng)最優(yōu)反饋控制可避免對系統(tǒng)高階快變量進行實時測量，不但保證了快變子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且能有效抑制系統(tǒng)基座、關(guān)節(jié)的柔性振動。理論分析及仿真結(jié)果均證實了所提方案的有效性及魯棒性。