畢 偉

(延安大學學術(shù)期刊中心，陜西延安716000)

近些年，算子半群的理論研究與應(yīng)用得到迅速發(fā)展。文獻[1-4]給出了雙參數(shù)C0-半群與雙參數(shù)C-半群的定義，并對它們的全微分、偏微分、穩(wěn)定性等進行了研究。文獻[5-7]給出了幾類雙參數(shù)半群拓撲的定義，并研究了它們的基本性質(zhì)。然而，與雙參數(shù)半群的理論相比較，多參數(shù)半群的理論研究不多，有許多問題有待研究。本文根據(jù)多參數(shù)C0-半群和連續(xù)線性泛函的概念，給出了多參數(shù)C0-半群拓撲與弱多參數(shù)C0-半群拓撲的定義，并得到了它們的一些性質(zhì)，從而推廣了多參數(shù)C0-半群的理論。

1 預備知識

設(shè)(X,‖·‖)為Banach空間，(X,‖·‖)′為X的共軛空間，B(X)表示X上的有界線性算子全體。

定義1[8]設(shè)I∈B(X)為恒等算子，若(X,‖·‖)上的多參數(shù)算子族{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0?

B(X)滿足：

(1)T(0,…，0)=I；

(2)T(t1,t2,…,tn)T(s1,s2,…,sn)=

T[(t1,t2,…,tn)+(s1,s2,…,sn)]，

t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0；

引理1[9]設(shè)E是線性空間，A，B是E上的兩族擬范數(shù)，則由A確定的拓撲弱于由B確定的拓撲的充要條件是：對于每個q∈A，必存在p1,p2,…,pm∈B以及正數(shù)c1,c2,…,cm，使得對一切x∈E下式成立：

q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。

2 多參數(shù)C0-半群拓撲

對?t1,t2,…,tn≥0，令Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖,x∈X，則利用多參數(shù)C0-半群的定義，對?x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有

(1)Pt(x)≥0；

(2)Pt(x+y)≤Pt(x)+Pt(y)；

(3)Pt(αx)=αPt(x),α≥0。

事實上，Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≥0；

Pt(x+y)=‖T(t1,t2,…,tn)(x+y)‖=

‖T(t1,t2,…,tn)x+T(t1,t2,…,tn)y‖≤

‖T(t1,t2,…,tn)x‖+‖T(t1,t2,…,tn)y‖=

Pt(x)+Pt(y)；

Pt(αx)=‖T(t1,t2,…,tn)(αx)‖=

‖αT(t1,t2,…,tn)x‖=

α‖T(t1,t2,…,tn)x‖=

αPt(x)。

即Pt(x)是X上的一個擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S={Pt:t1,t2,…,tn≥0}可以誘導出一個局部凸向量拓撲，記為τ。

定義2 由上述擬范數(shù)族S={Pt:t1,t2,…,tn}誘導的X上的局部凸向量拓撲，稱為多參數(shù)C0-半群拓撲，相應(yīng)的局部凸線性拓撲空間記為(X,τ)。

定理1X上的多參數(shù)C0-半群拓撲弱于由范數(shù)所誘導的局部凸向量拓撲。

證明因為對?t1,t2,…,tn≥0及x∈X，有：

Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤

‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，

由上式并且根據(jù)引理1，得證。

定理2 設(shè){T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的多參數(shù)C0-半群，則{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0誘導的多參數(shù)C0-半群拓撲τ是分離的。

證明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若對?t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以對?x≠0有：

從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps(x-y)=3d>0，令V={x:Ps(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即多參數(shù)C0-半群拓撲τ是分離的。

定理3 設(shè)t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0且t1≥s1,t2≥s2,…,tn≥sn，則由擬范數(shù)Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖誘導的局部凸向量拓撲弱于由擬范數(shù)Ps(x)=‖T(s1,s2,…,sn)x‖誘導的局部凸向量拓撲。

證明因為對?x∈X有：

Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖=

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)+

(s1,s2,…,sn)]x‖=

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]T(s1,s2,…,sn)x‖≤

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·

‖T(s1,s2,…,sn)x‖=

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·Ps(x)。

再根據(jù)引理1，定理得證。

3 弱多參數(shù)C0-半群拓撲

對?t1,t2,…,tn≥0及x′∈(X，‖·‖)′，令Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x],x∈X，則利用多參數(shù)C0-半群的定義，對?x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有

(1)Pt,x′(x)≥0；

(2)Pt,x′(x+y)≤Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；

(3)Pt,x′(αx)=αPt,x′(x),α≥0。

事實上，Pt,x′(x)=|x′[T(t1,t2,…,tn)x]≥0；

Pt,x′(x+y)=x′[T(t1,t2,…,tn)(x+y)]=

x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]≤

x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]=

Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；

Pt,x′(αx)=x′[T(t1,t2,…,tn)(αx)]=

αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=

αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=

αPt,x′(x)。

即Pt,x′(x)是X上的一個擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}可以誘導出一個局部凸向量拓撲，記為τ*。

定義3 由上述擬范數(shù)族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}誘導的X上的局部凸向量拓撲，稱為弱多參數(shù)C0-半群拓撲，相應(yīng)的局部凸線性拓撲空間記為(X,τ*)。

定理4X上的弱多參數(shù)C0-半群拓撲弱于多參數(shù)C0-半群拓撲，也弱于由范數(shù)所誘導的局部凸向量拓撲。

證明因為對?t1,t2,…,tn≥0，x′∈X′及x∈X，有：

Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x]≤

‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤

‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，

根據(jù)多參數(shù)C0-半群拓撲的定義以及引理1，得證。

定理5 設(shè){T(t1,t2,…,tn)}t1,t2…,tn≥0是非退化的多參數(shù)C0-半群且x′≠0，則{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0誘導的弱多參數(shù)C0-半群拓撲τ*是分離的。

證明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若對?t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以對?x≠0有：

從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps,x′(x-y)=3d>0，令V={x:Ps,x′(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，得證。

定理6 設(shè)t1,t2,…,tn≥0，x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β為任意常數(shù)，則由擬范數(shù)族{Pt,x′(x):t1,t2,…,tn≥0}誘導的局部凸向量拓撲弱于由擬范數(shù)族{Pt,x1′(x),Pt,x2′(x):t1,t2,…,tn≥0}誘導的局部凸向量拓撲。

證明因為對?x∈X有：

Pt,x′(x)=

(αx1′+βx2′)[T(t1,t2,…,tn)x]=

αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+

βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]≤

αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+

βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]=

α·x1′[T(t1,t2,…,tn)x]+

β·x2′[T(t1,t2,…,tn)x]=

αPt,x1′(x)+β|Pt,x2′(x)。

再根據(jù)引理1，定理得證。