余勝斌

(陽(yáng)光學(xué)院基礎(chǔ)教研部，福建福州 350015)

0 引言

對(duì)定義在［0，+∞)上的任一有界函數(shù){f(t)}，本研究恒設(shè):

主要討論如下非自治連續(xù)型競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為:

其中:x1，x2分別表示兩競(jìng)爭(zhēng)種群在t時(shí)刻的種群密度;ri(i=1，2)表示兩種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率;ai(i=1，2)為種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù);bi(i=1，2)為種間競(jìng)爭(zhēng)系數(shù);ci(i=1，2)為擾動(dòng)系數(shù).

文獻(xiàn)［1］中首次提出系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)，文獻(xiàn)［2］在文獻(xiàn)［1］所提的系統(tǒng)里加入了時(shí)滯項(xiàng).文獻(xiàn)［3］進(jìn)一步分析得到了系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的差分競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的持久性、正周期解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件.文獻(xiàn)［4－5］則探討了系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的差分系統(tǒng)在時(shí)滯和反饋控制影響下的持久性、正概周期解的存在性和全局吸引性.眾所周知，連續(xù)型模型能很好地描述生命長(zhǎng)，世代重疊且數(shù)量較大的種群的發(fā)展，但是已有的關(guān)于系統(tǒng)(1)及其相應(yīng)系統(tǒng)的研究結(jié)果較少涉及到非自治連續(xù)型情形，因此非常有必要對(duì)系統(tǒng)(1)加以研究.本研究旨在得到保證系統(tǒng)(1)永久持續(xù)生存、全局吸引和存在唯一概周期正解的充分性判據(jù)，類似的工作參見(jiàn)文獻(xiàn)［6－11］.

基于生物學(xué)角度考慮，本研究恒設(shè)系統(tǒng)(1)的各系數(shù)ri，ai，bi，ci(i=1，2)均為［0，+∞)上的有正上下界的連續(xù)函數(shù)，且系統(tǒng)(1)滿足初始條件:x1(0)＞0，x2(0)＞0.從而易知對(duì)于任意的t≥0都有x1(t) ＞ 0，x2(t) ＞ 0.

1 一般非自治系統(tǒng)

本節(jié)將研究系統(tǒng)(1)的有界性，永久持續(xù)生存性和全局吸引性.為此，先給出一個(gè)引理:

引理1［12］設(shè)a＞0，b＞0，當(dāng)t≥0且x(0)＞0時(shí)，若有則設(shè)時(shí)，若有則

定理1假設(shè)

成立，系統(tǒng)(1)是永久持續(xù)生存的即存在正常數(shù)mi和Mi(i=1，2)，使得對(duì)系統(tǒng)(1)的任一正解(x1(t)，x2(t))T均有

證明 由條件(H1)，存在足夠小的ε＞0，使得

由系統(tǒng)(1)可得

由引理1可知，

從而對(duì)上述ε，存在T1＞0使得對(duì)任意t＞T1有

由式(4)及系統(tǒng)(1)可知，當(dāng)t＞T1時(shí)，有

由式(2)、(5)及引理1得

上式中取ε→0得

由式(3)和(6)可知，系統(tǒng)(1)是永久持續(xù)生存的.證畢.

定理2假設(shè)(H1)成立，進(jìn)一步假設(shè)-αi＞0使得

成立，這里Mi(i=1，2)如定理1所定義，則系統(tǒng)(1)是全局吸引的.

證明 設(shè)(x1(t)，x2(t))T和(y1(t)，y2(t))T為系統(tǒng)(1)的任意兩個(gè)正解.由定理1和條件(H2)可知，對(duì)任意ε＞0，存在T＞0使得對(duì)任意t＞T，有

定義Lyapunov函數(shù)

計(jì)算V(t)沿著系統(tǒng)(1)的正解的右上導(dǎo)數(shù)得

從而由式子(7)可知，當(dāng)t＞T時(shí)，有

這里α=min{α1，α2}.對(duì)上式從T到t積分得:

因此，

從而有

此外，x1(t)，y1(t)，x2(t)和y2(t)的最終有界性隱含了當(dāng)t≥T時(shí)，x1(t)，y1(t)，x2(t)和y2(t)具有有界的導(dǎo)數(shù)(由其所滿足的方程可知).這表明上一致連續(xù).從而由 Barbǎlat引理［13］得

即系統(tǒng)(1)是全局吸引的.證畢.

2 概周期系統(tǒng)

由于概周期現(xiàn)象在生態(tài)學(xué)中更具有現(xiàn)實(shí)意義，因此本節(jié)中在恒設(shè)系統(tǒng)(1)的各系數(shù)ri，ai，bi，ci(i=1，2)均為［0，+∞)上的有正上下界的概周期函數(shù)的前提下，來(lái)進(jìn)一步研究系統(tǒng)(1)的概周期解的存在唯一性.

考慮如下概周期系統(tǒng):

及其伴隨系統(tǒng):

引理2［14］設(shè)D是的一個(gè)開(kāi)集，函數(shù)V(t，x，y)定義在上，滿足:其中a(r)和b(r)為連續(xù)、遞增的正定函數(shù).是一常數(shù).這里λ為一正常數(shù).

此外，設(shè)式(9)對(duì)t≥t0≥0有解位于緊集K中，KD，則式(9)在D中有唯一一致漸近穩(wěn)定的概周期解.

定理3若有(H1)和(H2)成立，則系統(tǒng)(1)存在唯一全局吸引的概周期正解.

證明 由定理1可知系統(tǒng)(1)是永久持續(xù)生存的，且集合

就是持續(xù)生存域，顯然K是緊集.考慮系統(tǒng)(1)的伴隨系統(tǒng):

則由微分中值定理可得

從而引理2的條件(ii)成立.并對(duì)式(8)取ε→0得

從而(iii)也成立.

由引理2可知，系統(tǒng)(1)在K中有唯一一致漸近穩(wěn)定的概周期解.再由定理2得，該唯一的概周期解是全局吸引的.證畢.

3 應(yīng)用舉例

例1考慮如下系統(tǒng):

對(duì)系統(tǒng)(12)來(lái)說(shuō)，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得 M1=M2=0.5.取 α1=0.8，α2=1，則有

從而條件(H1)和(H2)成立，則由定理3可知系統(tǒng)(12)存在唯一全局吸引的概周期正解，數(shù)值模擬(圖1)也支持本研究的結(jié)果.

圖 1 具初始條件(0.1，0.3)T，(0.2，0.4)T，(0.5，0.2)T 和(0.3，0.3)T 的系統(tǒng)(12)的數(shù)值模擬Fig.1 Dynamics of system(12)with different initial values(0.1，0.3)T，(0.2，0.4)T，(0.5，0.2)T，(0.3，0.3)T