摘? 要：“序”是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)在的規(guī)定性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要斟“知”酌“序”、緣“心”求“序”、投“石”問(wèn)“序”，讓數(shù)學(xué)教學(xué)“扶放有方”“開(kāi)合有致”“張弛有度”。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，說(shuō)到底就是“無(wú)序”與“有序”的相互博弈、不斷統(tǒng)一的矛盾運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

關(guān)鍵詞：無(wú)序教學(xué);有序教學(xué);實(shí)踐路徑

數(shù)學(xué)教學(xué)有著獨(dú)特的組織、結(jié)構(gòu)特征，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)之“序”。一般而言，數(shù)學(xué)教學(xué)之“序”是建立在數(shù)學(xué)知識(shí)之“序”和學(xué)生認(rèn)知之“序”基礎(chǔ)之上的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的教學(xué)使命歸根結(jié)底有兩個(gè)：一是把握數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯之序，二是把握學(xué)生學(xué)習(xí)心理的發(fā)展之序?！靶颉笔菙?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)在的規(guī)定性。對(duì)于“序”的審視和反思，有助于歸正數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、斟“知”酌“序”，讓數(shù)學(xué)教學(xué)“扶放有方”

數(shù)學(xué)教學(xué)之“序”是建立在知識(shí)之“序”的基礎(chǔ)之上的。數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)的結(jié)構(gòu)體，是相互關(guān)聯(lián)的，知識(shí)點(diǎn)的生成、生長(zhǎng)、生發(fā)都遵循著一定的邏輯順序。破解數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)密碼，是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)在要求。

1. 破解嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的“密碼”

數(shù)學(xué)知識(shí)之序首先表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、公式、定理等的嚴(yán)謹(jǐn)性表達(dá)之上的。許多數(shù)學(xué)概念，我們?cè)绞羌?xì)細(xì)斟酌、品味、咀嚼，就越能發(fā)現(xiàn)其所蘊(yùn)含的內(nèi)在深意、邏輯、韻致。比如“倒數(shù)”，其定義是“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”。教學(xué)中，筆者讓學(xué)生找出這個(gè)定義中的關(guān)鍵詞，有學(xué)生認(rèn)為，“乘積”是關(guān)鍵詞，這個(gè)關(guān)鍵詞揭示了倒數(shù)的本質(zhì);有學(xué)生認(rèn)為，“1”是關(guān)鍵詞，通過(guò)這個(gè)關(guān)鍵詞，我們可以求出任意一個(gè)數(shù)的倒數(shù);有學(xué)生認(rèn)為“兩個(gè)數(shù)”是關(guān)鍵詞，說(shuō)明倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系;有學(xué)生認(rèn)為“互為”是關(guān)鍵詞，這個(gè)關(guān)鍵詞說(shuō)明倒數(shù)是相互依存，不能單獨(dú)存在。

2. 捕捉知識(shí)發(fā)展的“軌跡”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于捕捉數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展“軌跡”，把握數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的來(lái)龍去脈 [1]。對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，我們要明晰“從哪兒來(lái)”“到哪里去”的問(wèn)題，也就是要把握數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的源流。比如，單獨(dú)一個(gè)素?cái)?shù)，其意義就不能彰顯。但是當(dāng)我們?cè)诜纸赓|(zhì)因數(shù)、判斷兩個(gè)數(shù)是否互質(zhì)（有沒(méi)有公有質(zhì)因數(shù)）以及用短除法（找尋公有質(zhì)因數(shù)）求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)乃至于通分和約分的時(shí)候，素?cái)?shù)就能發(fā)揮其重要作用。

3. 把握整體知識(shí)的“結(jié)構(gòu)”

數(shù)學(xué)知識(shí)之“序”不僅體現(xiàn)在表達(dá)之序、發(fā)展之序上，而且體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)之序上。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展總是從低級(jí)走向高級(jí)、從簡(jiǎn)單走向復(fù)雜、從零散走向概括的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行融通。比如學(xué)生學(xué)完了“長(zhǎng)方體和正方體的體積”“圓柱的體積”后，教師要進(jìn)行歸納、提煉、概括，形成直柱體的體積公式V=Sh。在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，形成高于原有認(rèn)知的上位規(guī)則。不僅如此，學(xué)生還畫(huà)出了以三角形、梯形為底面的直柱體。在進(jìn)一步交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要是直直的形體，它們的體積都可以用底面積乘高，哪怕底面是一個(gè)不規(guī)則圖形。

從學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程來(lái)看，只有當(dāng)學(xué)生能夠遵循數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的邏輯順序來(lái)學(xué)習(xí)，才能形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也才能逐步得以建構(gòu)與完善 [2]。因此，作為教師要為學(xué)生的有序?qū)W習(xí)創(chuàng)建條件，以便培育學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、比較、映照的思維品質(zhì)。

二、緣“心”求“序”，讓數(shù)學(xué)教學(xué)“開(kāi)合有致”

華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所鐘啟泉教授認(rèn)為，結(jié)構(gòu)化知識(shí)必須考慮到知識(shí)尋求者的發(fā)展階段與狀態(tài)。也就是說(shuō)，把握數(shù)學(xué)“教的規(guī)定性”必須向“學(xué)的規(guī)定性”進(jìn)行轉(zhuǎn)變。只有洞察了學(xué)生的心理，數(shù)學(xué)教學(xué)才能“開(kāi)合有致”。某種意義上，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理之“序”比知識(shí)之“序”更重要。

1. 年齡特征，學(xué)生學(xué)習(xí)次序的“主干模型”

學(xué)生的年齡特征是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“主干模型”。通常情況下，正如瑞士心理學(xué)家皮亞杰的研究所表明的，低年級(jí)學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是直觀動(dòng)作思維，中年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維是具體形象思維，高年級(jí)學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維是抽象邏輯思維。把握了學(xué)生認(rèn)知心理特征，數(shù)學(xué)教學(xué)就能富有針對(duì)性、實(shí)效性。這樣，在低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就必須多組織學(xué)生進(jìn)行有序的操作;在中年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生畫(huà)圖;在高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生有序地列舉、思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、嚴(yán)密性。

2. 認(rèn)知特質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)次序的“形神合一”

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的群體之“序”，還要把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)體之“序”。個(gè)體之“序”體現(xiàn)在哪里？就體現(xiàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的風(fēng)格、特質(zhì)上。教師要把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，引領(lǐng)學(xué)生由“現(xiàn)實(shí)發(fā)展區(qū)”向“可能發(fā)展區(qū)”邁進(jìn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由表及里、由淺入深 [3]。比如學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一，教師要洞察學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遠(yuǎn)點(diǎn)——“平均分”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的近點(diǎn)——“一個(gè)物體的幾分之幾”。這里，值得教師關(guān)注的是：哪些學(xué)生還沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遠(yuǎn)點(diǎn)，哪些學(xué)生還沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的近點(diǎn)。只有這樣，才能體現(xiàn)形神兼?zhèn)?、形神合一的“序”?/p>

3. 情意特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)次序的“隨性而為”

有序的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須以情意的喚醒作為前提，只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正投入了自己的情意，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能進(jìn)入良性循環(huán)，學(xué)生的認(rèn)知、情意素養(yǎng)才能得到良好的發(fā)展。當(dāng)學(xué)生的情意處于壓抑、焦慮、消極狀態(tài)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就將陷入“混亂”。而當(dāng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)處于積極情意狀態(tài)時(shí)，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅有序，而且能夠充滿創(chuàng)造性。比如，在探究《三角形三邊關(guān)系》中，學(xué)生的積極性很高。當(dāng)學(xué)生得出“三角形的任意兩條邊之和必須大于第三條邊”后，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以將這個(gè)判定規(guī)則簡(jiǎn)化成“只要三角形中較短的兩條邊之和大于最長(zhǎng)邊”就行了。正是由于情意促發(fā)，生成了學(xué)生精彩發(fā)現(xiàn)。

三、投“石”問(wèn)“序”，讓數(shù)學(xué)教學(xué)“張弛有度”

如何把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體學(xué)情，如何掌控?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的課堂動(dòng)態(tài)，那就是教師在教學(xué)中實(shí)施合理的教學(xué)策略，優(yōu)化教學(xué)之“序”。要根據(jù)學(xué)生學(xué)情，統(tǒng)籌謀劃，哪個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)在前，哪個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)在后。通過(guò)教師的投“石”問(wèn)“序”，把握數(shù)學(xué)教學(xué)的主與次、先與后、來(lái)與去，讓教學(xué)顯得“張弛有度”。

1. 循序，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“蹣跚學(xué)步”

數(shù)學(xué)教學(xué)的組織之“序”，要以學(xué)生為中心，以學(xué)習(xí)共同體為中心，充分體現(xiàn)因?qū)W施教、以學(xué)定教、學(xué)教結(jié)合的思想。在學(xué)生自主學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分發(fā)揮教師的導(dǎo)學(xué)、助學(xué)、引學(xué)、診學(xué)的作用，順學(xué)而導(dǎo)、循序漸進(jìn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在組織之“序”中蹣跚學(xué)步。教師可以采用問(wèn)題導(dǎo)學(xué)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式，助推學(xué)生有序的自主學(xué)習(xí)。比如教學(xué)《倍數(shù)和因數(shù)》，筆者讓學(xué)生做一個(gè)拼圖游戲，設(shè)置問(wèn)題串導(dǎo)引學(xué)生探究：任務(wù)一，用24個(gè)小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形;任務(wù)二，用乘法算式表示擺法，探究乘法算式中每個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，能夠讓學(xué)生理解“誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)”，循序漸進(jìn)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)蹣跚起步。

2. 遵序，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“視通萬(wàn)里”

《史記·太史公自序》：“維昔黃帝，法天則地。四圣遵序，各成法度?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，遵序就是依循著數(shù)學(xué)的知識(shí)之序，學(xué)生的思維之序和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)之序。遵序能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“思接千載，視通萬(wàn)里”。在教學(xué)中，教師要錨點(diǎn)知識(shí)教學(xué)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的走勢(shì)趨向，編織學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) [4]。比如小學(xué)階段，通常先學(xué)習(xí)小數(shù)目的數(shù)，再學(xué)大數(shù)目的數(shù);先學(xué)加減，再學(xué)乘除;先學(xué)分?jǐn)?shù)，再學(xué)小數(shù);先學(xué)算術(shù)，再學(xué)方程;先學(xué)平面圖形的周長(zhǎng)、面積，再學(xué)習(xí)立體圖形的表面積和體積，等等。只有遵循學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在之序，才能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“視通萬(wàn)里”。

3. 生序，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“神思馳騁”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)循著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)以及學(xué)生的年齡和心理特征展開(kāi)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思考、探究能力，讓學(xué)生創(chuàng)造“序”。通過(guò)“序”的創(chuàng)造，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“神思馳騁”。比如教學(xué)“和的奇偶性”時(shí)，筆者首先出示了一個(gè)表格，學(xué)生從雜亂無(wú)序的算式中，將算式分成了三類(lèi)：一類(lèi)是加數(shù)全都是奇數(shù)，一類(lèi)是加數(shù)全都是偶數(shù)，還有一類(lèi)是既有奇數(shù)又有偶數(shù)。接著，學(xué)生通過(guò)舉例、用字母推理、畫(huà)圖等方法探究出：加數(shù)全都是偶數(shù)的和是偶數(shù);加數(shù)全都是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)。通過(guò)這種有序的探索，學(xué)生對(duì)加數(shù)既有奇數(shù)又有偶數(shù)也就能類(lèi)似推出結(jié)論，即只需要算其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)。最后，形成了本質(zhì)性的認(rèn)知，即“奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)”的數(shù)學(xué)結(jié)論。

數(shù)學(xué)教學(xué)中的“序”并不是一成不變的，而是開(kāi)放靈動(dòng)的。數(shù)學(xué)教學(xué)就是“無(wú)序”與“有序”的博弈、統(tǒng)一。這種博弈、統(tǒng)一的過(guò)程就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)之中，教師要遵循知識(shí)的結(jié)構(gòu)之序、學(xué)生的心理發(fā)展之序和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究之序，努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)“無(wú)序”與“有序”的矛盾運(yùn)動(dòng)、和諧統(tǒng)一。這就是數(shù)學(xué)教學(xué)“序”的內(nèi)在意義和價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 荀步章. 立序——數(shù)學(xué)素材呈現(xiàn)的必由之路[J]. 教學(xué)與管理，2016（26）﹒

[2]? 李步良. “序”的視角：重構(gòu)教學(xué)的規(guī)定性[J]. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，2018（1）﹒

[3]? 曹志國(guó). 循“規(guī)”守“則”：多重視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)“規(guī)則教學(xué)”[J]. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，2018（4）﹒

[4]? 俞正強(qiáng). 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵：“立序”與“選材”[J]. 人民教育，2009（z1）﹒

作者簡(jiǎn)介：周莉（1991-），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級(jí)教師，主要從事小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)工作，曾獲蘇州市素養(yǎng)大賽二等獎(jiǎng)、區(qū)教壇新秀等榮譽(yù)。