楊曉輝，付珍峰，周斯易

(1.南昌大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌 330031；2.國網(wǎng)江西省電力有限公司湖口縣供電分公司，江西 九江 332500)

0 引言

感應(yīng)電機(jī)是一個多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，當(dāng)調(diào)速系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)變化、負(fù)載擾動等不確定因素的影響時，傳統(tǒng)的PI控制器難以滿足實(shí)際的控制需求[1]。近年來，隨著現(xiàn)代控制技術(shù)的發(fā)展，一些先進(jìn)的控制策略逐步被應(yīng)用到感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，提升了系統(tǒng)的魯棒性和動態(tài)性能[2-6]。

其中，滑模變結(jié)構(gòu)控制因其對模型精度要求低、計算量少、對系統(tǒng)參數(shù)和外部擾動具有強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。在滑?？刂浦校Ｃ娴倪x取至關(guān)重要，目前滑?？刂撇捎玫幕Ｃ嬷饕校壕€性滑模、積分滑模、分?jǐn)?shù)階滑模、終端滑模(termina sliding mode，TSM)、非奇異終端滑模(nonsingular terminal sliding mode，NTSM)等[7-11]。其中Zak提出的終端滑模控制在滑模超平面的設(shè)計中引入非線性函數(shù)，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂到零，突破了普通滑?？刂圃谙到y(tǒng)到達(dá)滑動模態(tài)后只能漸進(jìn)收斂的問題,具有動態(tài)響應(yīng)快、穩(wěn)態(tài)精度高等優(yōu)點(diǎn)[12]。但是普通終端滑?？刂频氖諗克俣葏s并不是最優(yōu)的。為了進(jìn)一步提高感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的控制性能本文從提高收斂速度和抑制抖振兩個方面綜合考慮，設(shè)計了一種二階快速終端滑?？刂破?FTSM)。仿真結(jié)果通過和PI控制器和普通TSM控制器的對比，證明了該速度控制器的有效性和優(yōu)越性。

1 感應(yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)感應(yīng)電機(jī)三相定、轉(zhuǎn)子繞組分布均勻?qū)ΨQ，忽略磁路不飽和、鐵芯損耗以及溫度和頻率對轉(zhuǎn)子電阻產(chǎn)生的影響。在按轉(zhuǎn)子磁鏈定向的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(m-t坐標(biāo)系)中，以ω-is-φr為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程可表示為：

(1)

2 二階快速終端滑模控制器設(shè)計

e=ω*-ω

(2)

2.1 快速終端滑模面

(1)傳統(tǒng)終端滑模面

傳統(tǒng)的終端滑?？捎扇缦乱浑A動態(tài)方程描述：

(3)

其中,x∈R為狀態(tài)變量，λ>0，α，β(β>α)為正奇數(shù)。方程(2)在平衡點(diǎn)x=0附近的Jacobian行列式為：

(4)

把J看做一階近似矩陣的特征值，則有：x→0+，J→-∞。即在平衡點(diǎn)附近系統(tǒng)軌跡的收斂速度為無窮大，從而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)從任意初始狀態(tài)x(0)≠0到達(dá)平衡點(diǎn)x=0的時間為tr，則由方程(3)可以求得：

(5)

(2)快速終端滑模面

終端滑?？刂瓶墒瓜到y(tǒng)跟蹤誤差在有限時間收斂到零，系統(tǒng)動態(tài)性能優(yōu)于普通的滑模控制，但是普通終端滑模控制的收斂速度卻并不是最優(yōu)的。由式(4)可知，當(dāng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時行列式的的絕對值很小，也就是說系統(tǒng)狀態(tài)離平衡點(diǎn)越遠(yuǎn)，其收斂速度越慢。文獻(xiàn)[13]在終端滑模的基礎(chǔ)上提出了一種新的快速終端滑?？刂?，其滑模面可由如下方程來描述：

(6)

其中,x∈R為狀態(tài)變量，λ1>0，λ2>0，α，β(β>α)為正奇數(shù)。方程在平衡點(diǎn)x=0附近的Jacobian行列式為：

(7)

同樣，有x→0+，J→-∞，系統(tǒng)可以在有限時間tf內(nèi)到達(dá)平衡狀態(tài)。可解得從任意初始狀態(tài)x(0)≠0到達(dá)平衡狀態(tài)x=0的時間可以表達(dá)為：

(8)

由式(7)可知當(dāng)狀態(tài)x遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時行列式J的絕對值將恒大于λ1，因此線性滑?？刂频囊朐诒Ａ袅私K端滑模有限時間收斂的特性的同時，又增加了線性滑?？刂圃谶h(yuǎn)離平衡點(diǎn)時的快速性，使得系統(tǒng)快速、精確地收斂到平衡點(diǎn)。

2.2 二階快速終端滑模速度控制

將式(2)帶入式(1)可得轉(zhuǎn)速誤差系統(tǒng)：

(9)

設(shè)計快速終端滑模面為：

(10)

其中,a1>0，a2>0，α，β(β>α)為正奇數(shù)。

根據(jù)函數(shù)切換控制法可設(shè)計快速終端滑?？刂破鳛槿缦滦问剑?/p>

(11)

其中,ieq為等效控制量，in為切換控制量。等效控制量是控制系統(tǒng)在切換平面做滑動模態(tài)運(yùn)動時的控制量，切換控制量是為了確保系統(tǒng)在遇到干擾的情況下，仍然能趨近于滑模面且沿著滑模面運(yùn)動，由式(9)和式(10)得：

(12)

切換控制項(xiàng)通常設(shè)計為：in=η0sgn(s)的形式，為保證系統(tǒng)魯棒收斂需要選擇大的非線性增益η0，但這會造成較大的抖振，甚至激發(fā)未建模動態(tài)，使系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了解決這個問題，本文對切換項(xiàng)采用二階滑模控制，控制律設(shè)計如下：

(13)

2.3 穩(wěn)定性分析

為證明系統(tǒng)式(10)在控制器式(12)、式(13)作用下的穩(wěn)定性，定義李雅普諾夫函數(shù)：

(14)

對上式求導(dǎo)可得：

3 仿真及結(jié)果分析

為驗(yàn)證所設(shè)計二階快速終端滑模速度控制器的有效性，使用MATLAB/Simulink搭建如圖1所示的按轉(zhuǎn)子磁鏈定向的感應(yīng)電機(jī)矢量控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)中感應(yīng)電機(jī)參數(shù)如下：

a1=40，a2=50，c=10，η=5000。

電機(jī)空載啟動，初始給定轉(zhuǎn)速為500r/min,0.5s時給定轉(zhuǎn)速增加到1000r/min，1s時突加10N·m的負(fù)載，仿真時間為1.5s。圖2分別為PI、TSM、FTSM控制的轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖。

對轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖進(jìn)行局部放大可知電機(jī)轉(zhuǎn)速從0r/min調(diào)節(jié)到500r/min，PI、TSM、FTSM的時間分別為0.14s、0.08s、0.08s；從500r/min調(diào)整到1000r/min的時間分別為0.61s、0.58s、0.57s。可見，F(xiàn)TSM控制的性能明顯優(yōu)于PI和TSM控制。

圖1 感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)框圖

(a) PI

(b) TSM

(c) FTSM 圖2 轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖

1S突加負(fù)載后感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)如圖3所示。

(a) PI

(b) TSM

(c) FTSM 圖3 突加負(fù)載轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖

可以看出PI控制下調(diào)速系統(tǒng)有明顯的轉(zhuǎn)速降落，TSM控制轉(zhuǎn)速降落較小，而FTSM控制依然基本無誤差，可見FTSM在電機(jī)突加負(fù)載時具有明顯的優(yōu)越性。

為驗(yàn)證所設(shè)計二階控制對抖振的抑制作用，分別在有二階控制和無二階控制下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 有二階控制和無二階控制下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖

由式(13)可知，本文對切換控制項(xiàng)設(shè)計的二階控制律等效于將切換控制量通過一個低通濾波器，由圖4可以看出在經(jīng)過低通濾波器之后穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速的波動幅度從0.1r/min降低到了不足0.02r/min，可見二階控制的有效性。

4 結(jié)論

為了提高感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)性能，本文提出了一種二階快速終端滑模轉(zhuǎn)速控制算法。建立了感應(yīng)電機(jī)在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，分析并設(shè)計了快速終端滑?？刂坡?。同時，為了削弱抖振，設(shè)計了作用于切換函數(shù)導(dǎo)數(shù)上的二階控制律。通過與傳統(tǒng)PI控制和普通TSM控制相比較，驗(yàn)證了控制算法的優(yōu)越性。通過與無二階控制的快速終端滑?？刂葡啾容^，驗(yàn)證了二階控制削弱抖振的有效性。