全彤 浙江農(nóng)林大學(xué)暨陽(yáng)學(xué)院商學(xué)院 帥昌浩 浙江農(nóng)林大學(xué)暨陽(yáng)學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院

一、預(yù)備知識(shí)

1.行列式相關(guān)定義：

(1）上三角（形）行列式與下三角（形）行列式

上三角（形）行列式：形如的行列式。

(2）對(duì)角行列式與副對(duì)角行列式

(3）余子式與代數(shù)余子式

2.行列式的特點(diǎn)與性質(zhì)：

(1）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等.

(2）互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).

(3）若行列式有兩行（列）相同，則行列式為0.

(4）行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面.

(5）若行列式的某一行（列）是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個(gè)行列式的和.這兩個(gè)行列式的這一行（列）的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之一，其余各行（列）元素與原行列式相同。

二、行列式計(jì)算主要方法

1：利用基本公式計(jì)算

(1）范德蒙德行列式求解

解題思路：這是一個(gè)范德蒙德行列式，本題可直接套用范德蒙德行列式公式求解，即

(2）特殊行列式的計(jì)算：

解題思路：這是一個(gè)下三角行列式，可直接利用三角形行列式的計(jì)算公式得到結(jié)果，其值等于主對(duì)角線上各個(gè)元素的乘積。從而

2：利用分塊矩陣來(lái)計(jì)算行列式

解題思路：解法1：看到這道題，我的第一想法是把四階行列式化為四個(gè)分塊矩陣的形式，不妨令,則原四階行列式可表示為，此時(shí)行列式看起來(lái)就更顯簡(jiǎn)潔明了了。

這種解法雖然最終答案與標(biāo)準(zhǔn)答案相符，但是由于定理要求A是可逆的，即要求A 的行列式不等于0，而題目中，題中未說(shuō)明a 具體的值，即a 是否等于0 未知，所以此解法仍有失嚴(yán)謹(jǐn)，需要分類討論來(lái)計(jì)算。

為使解題過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)，不妨可以采用行列式展開(kāi)定理求此題。由行列式的展開(kāi)定理得到：

行列式展開(kāi)定理省去了對(duì)a 的值的討論，顯得比較方便。

3：降階法

解題思路：對(duì)于低階行列式（三、四階）直接用降解法是來(lái)求行列式是比較方便的。由于此三階行列式第二行含有三個(gè)相同的數(shù)1，則可先通過(guò)列初等變換將第二行的兩個(gè)元素化為0，即C2－C1，C3－C1，得到由此可根據(jù)行列式展開(kāi)

解題思路：由于此四階行列式每一行所有元素相加之和相同，所以考慮將2,3,4 列元素加到第1 列，由此第一列所有元素等于，于是可以提取公因式 ，第一列所有元素均變?yōu)?，然后就可以根據(jù)行初等變換將第一列中的三個(gè)元素變?yōu)?，這時(shí)通過(guò)行列式的展開(kāi)定理就可以更方便地計(jì)算行列式的值了，本例中將第一列展開(kāi)，此時(shí)的行列式降階為三階行列式，這時(shí)的三階行列式就更容易求了，可以繼續(xù)降階為二階行列式，即易得答案。

4：升階法/加邊法

解題思路：觀察此行列式可得出在計(jì)算前在行列式上加上恰當(dāng)?shù)囊恍谢蛞涣锌杀３中辛惺降闹挡蛔?，而且可以使?jì)算簡(jiǎn)化。

5：利用行列式性質(zhì)（通常較廣泛地應(yīng)用于抽象行列式）

解題思路：

第一步：根據(jù)行列式的基本性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。可由

第二步：根據(jù)行列式的基本性質(zhì)5：若行列式的某一行（列）是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個(gè)行列式的和。故，

解題思路：B 中第一列元素都表示為兩個(gè)數(shù)的和，根據(jù)性質(zhì)可將B 拆分成兩個(gè)行列式來(lái)求，其中一個(gè)行列式兩列相同行列式為零，簡(jiǎn)化了計(jì)算。

本題也可以用分解的方法來(lái)解，將矩陣分解成兩個(gè)矩陣的乘積。

6：數(shù)學(xué)歸納法求n 階行列式

解題思路：觀察可以得到本題中四個(gè)行列式有一個(gè)共同的特征，即主對(duì)角線上的元素和除主對(duì)角線外的所有元素分別都相同，即主對(duì)角線元素都為1，除主對(duì)角線外的元素都為2。由此可思考這四個(gè)題目之間的聯(lián)系，試用數(shù)學(xué)歸納法出發(fā)對(duì)本題進(jìn)行分析：

用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明

由假設(shè)得：

由此就可得到諸如此類的行列式的n 階行列式的計(jì)算公式。在例9 中，相當(dāng)于取，可得：

7：利用因式定理法

解題思路：先把第2 列到第n 列元素都加到第1 列上去，第1 列元素都相同

利用因式定理法的行列式的特征：這類行列式一般是含有文字變量的行列式，當(dāng)某個(gè)變量取某個(gè)特定值時(shí)行列式的值為0，則該行列式必定含有某個(gè)特定因子。

因式定理法的解題步驟：利用行列式的性質(zhì)找出行列式的所有因式，因此得到行列式的值，利用行列式的定義的展開(kāi)式觀察行列式展開(kāi)式（多項(xiàng)式）的特征，如果次數(shù)與找到的所有因式的乘積的次數(shù)相同，就利用展開(kāi)式的首項(xiàng)系數(shù)對(duì)因式乘積的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，就可以得到行列式的值了。

三、總結(jié)

行列式是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，行列式的計(jì)算是行列式這一章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，由于行列式類型的多樣性，不同類型的行列式其計(jì)算方法也不盡相同，同時(shí)有些題目可以有不同的計(jì)算方法。本人作為學(xué)生，認(rèn)識(shí)和理解水平有限，本文只是針對(duì)最常見(jiàn)的特殊行列式的計(jì)算方法展開(kāi)討論，歸納總結(jié)了七種方法，希望這些計(jì)算方法對(duì)學(xué)習(xí)行列式的學(xué)生有所幫助。