魏麗梅

(山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 山東 日照 276826)

1 引言

Mathematica是一款以函數(shù)驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，具有數(shù)值處理、符號(hào)操作、圖形繪制、動(dòng)畫(huà)制作等多項(xiàng)功能，將其應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)中，可以用交互式的圖像、動(dòng)畫(huà)以及聲音對(duì)一些抽象的物理模型進(jìn)行直觀形象的模擬與展示，近些年來(lái)廣泛地應(yīng)用于從高中到研究生的教學(xué)或科研工作中[1～4]．

如何在課堂上生動(dòng)形象地向?qū)W生描述波的疊加與駐波的形成，是一個(gè)難題．本文利用Mathematica軟件的動(dòng)畫(huà)繪制功能，對(duì)簡(jiǎn)諧波的疊加與駐波的形成進(jìn)行了演示，繪制參數(shù)的可調(diào)節(jié)性使動(dòng)畫(huà)具備交互式的功能，該演示操作命令程序簡(jiǎn)單，形象直觀，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．

2 駐波的模擬演示

振動(dòng)方向在同一平面、相向傳播的兩列簡(jiǎn)諧波的數(shù)學(xué)描述形式如下

這里假設(shè)振動(dòng)u2的振幅為單位振幅1，坐標(biāo)原點(diǎn)處t=0時(shí)刻的初位相為零，振動(dòng)u1相對(duì)振動(dòng)u2的振幅比為A，坐標(biāo)原點(diǎn)處t=0時(shí)刻的初位相為δ．第一列簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播，第二列簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)方向傳播，兩列波的疊加振動(dòng)為

u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)=

我們先分析合振動(dòng)在某一時(shí)刻，如時(shí)間t=1時(shí)的振動(dòng)情況：

u(x,t=1)=

在Mathematica中可以利用Plot(繪圖)命令繪制函數(shù)的曲線，其命令編輯形式為：

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]

該命令繪制函數(shù)f1，f2，…在自變量x處于最小值xmin至最大值xmax區(qū)間的函數(shù)曲線．因?yàn)樵诓ǖ寞B加振動(dòng)函數(shù)中，除自變量x外，還有A，ω1，ω2，λ1，λ2，δ多個(gè)參量，參量數(shù)值的大小均需要可交互式的調(diào)節(jié)，我們采用Manipulate(參數(shù)操縱)命令實(shí)現(xiàn)函數(shù)中參量數(shù)值大小的交互式調(diào)節(jié)操作．此處需要用到的Manipulate命令，編輯形式為：

Manipulate[expr,{v,vmin,vmax}]

該命令給出帶有參量v大小控制條的expr(描述內(nèi)容)所描述的內(nèi)容，參量v的可調(diào)節(jié)區(qū)間為最小值vmin至最大值vmax．將繪圖命令Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]作為expr所描述的內(nèi)容，則可以形成帶參量v大小控制條的函數(shù)f1，f2，…曲線繪制命令．將A，ω1，ω2，λ1，λ2，δ作為可調(diào)參量，繪制參量可調(diào)的兩簡(jiǎn)諧波分振動(dòng)與合振動(dòng)曲線，命令編輯如下：

Manipulate[

{A,1,2},{ω1,1,10},{ω2,1,10},{λ1,1,16},{λ2,1,16},{δ,0,2π}]

其中x坐標(biāo)軸上設(shè)置區(qū)間為0～8，可操作參量的設(shè)定為：振幅比A設(shè)置為1～2之間可調(diào)，圓頻率ω均設(shè)置為1～10之間可調(diào)，波長(zhǎng)λ均設(shè)置為1～16之間可調(diào)，初位相差δ設(shè)置為0～2π之間可調(diào)．在該命令中，可調(diào)參量數(shù)目、數(shù)值范圍均可按照自己的實(shí)際需要設(shè)置．運(yùn)行該命令，得到圖1所示3條振動(dòng)曲線，分別為兩分振動(dòng)與合振動(dòng)在t=1時(shí)刻的振動(dòng)曲線．

圖1 兩簡(jiǎn)諧分振動(dòng)及其合振動(dòng)的靜態(tài)曲線

通過(guò)圖中的可調(diào)參量控制條中的加減號(hào)，可以調(diào)節(jié)對(duì)應(yīng)參量數(shù)值的大小，也可以直接在參量當(dāng)前數(shù)值顯示區(qū)域直接輸入數(shù)值．點(diǎn)擊三角形的播放按鈕，可以使參量數(shù)值自動(dòng)勻速增加或減小，變化速率可通過(guò)向上或向下的雙箭頭符號(hào)調(diào)節(jié)，最右側(cè)的水平箭頭控制參量的變化方向是增加還是減?。?/p>

圖1中我們得到的是在坐標(biāo)軸上一段區(qū)間x∈[0～8]、時(shí)間軸上靜止(t=1時(shí)刻)、帶參量調(diào)節(jié)控制條的振動(dòng)曲線，要得到隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的振動(dòng)曲線還需要利用Mathematica的Animate(動(dòng)畫(huà))命令．此處需要用到Animate命令，其編輯形式為：

Animate[expr,{v,vmin,vmax}]

該命令給出expr所描述的內(nèi)容隨參量v從最小值vmin至最大值vmax連續(xù)變化的動(dòng)畫(huà)．將時(shí)間t作為上述Animate動(dòng)畫(huà)命令中的動(dòng)畫(huà)參量v，前面所述的Manipulate命令內(nèi)容作為expr描述內(nèi)容，可以得到隨時(shí)間變化的振動(dòng)曲線動(dòng)畫(huà)．命令編輯如下：

Animate[

Manipulate[

{A,1,2},{ω1,1,10},{ω2,1,10},{λ1,1,16},{λ2,1,16},{δ,0,2π}],

{t,0,15}]

在Mathematica中編輯和運(yùn)行所述命令后，得到兩簡(jiǎn)諧波疊加前后的波動(dòng)動(dòng)畫(huà)，圖2為該動(dòng)畫(huà)中的一幅截圖，其中可調(diào)參量的數(shù)值設(shè)置如圖中所示．圖2中最上面時(shí)間t運(yùn)動(dòng)軸的播放按鈕可以控制動(dòng)畫(huà)在暫停與運(yùn)動(dòng)間切換．

圖2 兩簡(jiǎn)諧分振動(dòng)及其合振動(dòng)動(dòng)畫(huà)截圖

在Mathematica的運(yùn)行結(jié)果圖2中，通過(guò)調(diào)整兩簡(jiǎn)諧分振動(dòng)的振幅比、圓頻率、波長(zhǎng)、初位相差，可以直觀地得到各個(gè)參量的改變對(duì)于分振動(dòng)及合成振動(dòng)情況的影響．將兩分振動(dòng)的圓頻率、波長(zhǎng)、振幅均設(shè)為一致，我們就得到了駐波合振動(dòng)，圖3為駐波振動(dòng)動(dòng)畫(huà)中的一幅截圖，可以直觀地驗(yàn)證駐波形成條件中關(guān)于振幅比為1，波長(zhǎng)與頻率相同的描述．

圖3 兩簡(jiǎn)諧分振動(dòng)及其合成駐波振動(dòng)動(dòng)畫(huà)截圖

進(jìn)一步的，如圖4中所示，調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)處的初位相差δ為π，我們就得到左端為波節(jié)的駐波動(dòng)畫(huà)．為了進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)兩端均為波節(jié)的弦上的駐波振動(dòng)，我們需要調(diào)節(jié)波長(zhǎng)，這個(gè)過(guò)程可以直觀地演示駐波在弦上的形成，并得到弦長(zhǎng)為半波長(zhǎng)整數(shù)倍的數(shù)值關(guān)系，圖5顯示了弦長(zhǎng)為半波長(zhǎng)的情況．

圖4 兩簡(jiǎn)諧分振動(dòng)及其合成的左端點(diǎn)為波節(jié)的駐波振動(dòng)動(dòng)畫(huà)截圖

圖5 弦長(zhǎng)為半波長(zhǎng)的駐波振動(dòng)動(dòng)畫(huà)截圖

至此我們通過(guò)組合Mathematica中的Plot繪圖、Manipulate參數(shù)操縱、Animate動(dòng)畫(huà)命令，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)參數(shù)的交互式操縱和動(dòng)畫(huà)，形象、直觀地展示了駐波振動(dòng)以及弦上駐波的形成，相對(duì)于傳統(tǒng)的沙漏簡(jiǎn)諧振動(dòng)演示、弓弦駐波演示，具有準(zhǔn)確、易用、效率高和演示內(nèi)容更全面的特點(diǎn)，適合于課堂教學(xué)演示．

3 總結(jié)

本文介紹了數(shù)學(xué)軟件Mathematica的Plot，Manipulate，Animate命令，用它們的組合命令將簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其合振動(dòng)進(jìn)行了直觀的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)演示，通過(guò)交互式的參數(shù)操縱，對(duì)駐波以及弦上駐波形成和振動(dòng)的物理圖景進(jìn)行了展示．演示過(guò)程操作簡(jiǎn)潔、效率高，適用于課堂教學(xué)，有助于加深學(xué)生對(duì)物理圖景的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)軟件解決抽象、復(fù)雜問(wèn)題的能力．