朱洪濤， 陳品幫， 魏 暉， 梁恒輝

(1.南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 南昌，330031) (2.江西科技學(xué)院汽車工程學(xué)院 南昌，330098) (3.廣鐵集團(tuán)惠州工務(wù)段 惠州，516000)

引 言

軌道是保障高速鐵路運(yùn)行安全的重要基礎(chǔ)。在鐵路線的日常運(yùn)營中，軌道將承受高速行駛下存在的沖擊、列車行駛時(shí)存在的振動(dòng)以及列車的載荷，其結(jié)構(gòu)上的形變及位置上的偏移在所難免。而軌道不平順的發(fā)展，將會(huì)對(duì)鐵路線的運(yùn)營產(chǎn)生巨大的影響，例如鐵路運(yùn)輸?shù)陌踩潭?、列車乘客的舒適程度以及軌道的養(yǎng)護(hù)所需投入的人力物力等方面[1]。軌道質(zhì)量指數(shù)(track quality index，簡稱 TQI)是利用軌檢車及其相應(yīng)的軌道檢查系統(tǒng)，通過測量采集各項(xiàng)軌道幾何尺寸數(shù)據(jù)，進(jìn)而得出的一項(xiàng)能夠全面說明該段軌道整體質(zhì)量水平的指標(biāo)。TQI作為評(píng)價(jià)軌道整體不平順的重要指標(biāo)，對(duì)于線路養(yǎng)護(hù)維修作業(yè)具有重大的指導(dǎo)意義。

預(yù)測軌道的TQI，一般是分析軌檢車先前工作中檢查得到的TQI歷史數(shù)據(jù)，得出其變化規(guī)律，從而對(duì)將來的TQI數(shù)值進(jìn)行預(yù)測[2]。高建敏等[3]提出將軌道下沉變形與車輛-軌道耦合振動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)聯(lián)，用于預(yù)測軌道的不平順狀況。韓晉等[4]提出一種以構(gòu)建非等時(shí)距加權(quán)灰色預(yù)測模型為基礎(chǔ)對(duì)軌道不平順進(jìn)行預(yù)測，再引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型修復(fù)其殘差序列。郭然等[5]基于灰色預(yù)測模型建立了更新機(jī)制，優(yōu)化了模型并且提高了預(yù)測精度。賈朝龍等[6]提出將改進(jìn)的灰色GM(1,1)與自回歸模型相結(jié)合，預(yù)測軌道不平順狀態(tài)。 曲建軍等[7]提出將灰色GM(1,1)與馬爾可夫鏈預(yù)測理論相結(jié)合，用于充分挖掘歷史數(shù)據(jù)背后的潛在價(jià)值。國外專家對(duì)該領(lǐng)域也有大量研究。Kawaguchi等[8]提出軌道狀態(tài)預(yù)測S式、線性以及非線性兩種退化模型。Iyengar等[9]基于隨機(jī)過程理論，通過平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程對(duì)不平順進(jìn)行建模。對(duì)于該領(lǐng)域的研究，大多是基于模型驅(qū)動(dòng)的方式，但對(duì)于原始數(shù)據(jù)的可參照性，沒有基于實(shí)際檢查情況給出有效處理，如原始數(shù)據(jù)可能存在未對(duì)齊的問題，將會(huì)影響到預(yù)測結(jié)果的真實(shí)性。

實(shí)踐證明，單元區(qū)段內(nèi)軌道不平順狀態(tài)，伴隨著運(yùn)營時(shí)間的增長，其數(shù)據(jù)表現(xiàn)為多階段的、周期性的且是非線性的。筆者通過互相關(guān)函數(shù)對(duì)不同時(shí)間、同一軌道進(jìn)行檢查得出的大量歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行互相匹配，把各組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)齊之后得出的TQI數(shù)值作為觀測值，建立ARIMA模型，從而對(duì)軌道不平順的預(yù)測進(jìn)行研究。

1 原始數(shù)據(jù)的處理

1.1 互相關(guān)函數(shù)簡介

互相關(guān)函數(shù)是信號(hào)分析中的概念，表示兩個(gè)序列之間的相關(guān)程度，即互相關(guān)函數(shù)是描述兩個(gè)信號(hào)y1和y2在兩個(gè)任意不同的x1和x2的取值之間的相關(guān)程度[10]，該函數(shù)可以表達(dá)不同信號(hào)之間的相關(guān)性。而互相關(guān)系數(shù)則是互相關(guān)函數(shù)與兩個(gè)函數(shù)的均方差乘積之比，其絕對(duì)值不大于1，相關(guān)程度與其成正比。

令f1(t)與f2(t)為兩個(gè)獨(dú)立信號(hào)，則有

(1)

1.2 原始數(shù)據(jù)的對(duì)齊

將同一被測軌道、不同時(shí)間檢查得到的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行里程對(duì)齊，取廣鐵集團(tuán)惠州工務(wù)段杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間2013-2015年度的軌道幾何尺寸歷史數(shù)據(jù)為樣本展開研究。原始數(shù)據(jù)沒有對(duì)齊通常有兩種情況：a.數(shù)據(jù)表現(xiàn)為直接的平移關(guān)系，存在明顯的相位差；b.數(shù)據(jù)表現(xiàn)上存在累積里程誤差，里程逐漸錯(cuò)開。第1種情況只需將數(shù)據(jù)里程平移即可，而主要需要解決的問題是累積里程誤差。此處以軌距值為例，如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)未對(duì)齊的情況Fig.1 The situation of data misaligned

當(dāng)軌道上里程夠長時(shí)，數(shù)據(jù)表現(xiàn)可能會(huì)存在里程的丟失，數(shù)據(jù)無法對(duì)齊，從而存在里程誤差。圖1中表示的是兩組不同時(shí)間對(duì)同一軌道檢查得到的軌向數(shù)據(jù)，由于檢查時(shí)里程輪的滑移或者存在振動(dòng)導(dǎo)致里程數(shù)據(jù)不準(zhǔn)，此時(shí)的原始數(shù)據(jù)并不是最佳觀測值，必須將各項(xiàng)軌道幾何尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)齊后再帶入使用。采用互相關(guān)函數(shù)對(duì)多組原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分段匹配，從而將原始數(shù)據(jù)對(duì)齊。

將上述歷史數(shù)據(jù)取24組，依次為y1，y2，…，y24，通過迭代求取整體樣本最佳的對(duì)齊結(jié)果，其中yi與里程x的關(guān)系構(gòu)成函數(shù)y(i)，且y(i)中每一次迭代的步長所對(duì)應(yīng)的里程段均可以擬合出y與x的多項(xiàng)式。方法流程如圖2所示。

以互相關(guān)系數(shù)Tc的值為匹配標(biāo)準(zhǔn)，Tc越大說明兩函數(shù)之間的匹配程度越高，所以當(dāng)某一里程段內(nèi)的y(i+1)與y(i)的迭代匹配過程中存在Tc>Tc+1且有Tc>Tc-1，此時(shí)y(i+1)中該段長為0.125a的里程段與y(i)中指定步長為X的里程段為對(duì)應(yīng)段。為保證誤差不被擴(kuò)大，每兩組數(shù)據(jù)的各段對(duì)應(yīng)匹配之后，均以y(i)與被保留的y(i+1)里程段的里程均值為兩函數(shù)段放大或縮小的標(biāo)準(zhǔn)，再將每個(gè)里程段進(jìn)行拼接，得出新的序列作為新的y(i+1)與y(i+2)進(jìn)行循環(huán)迭代。將互相關(guān)函數(shù)帶入實(shí)際情況有f1(t)=y(i)，f2(t+τ)=y(i+1)，則有

(2)

在概率密度分布函數(shù)中，x在實(shí)際工程中表示里程，由間隔為0.125m的觀測點(diǎn)得到，所以其概率分布為均勻分布，有pi(x)=1/X，其中X可根據(jù)工程實(shí)際需要進(jìn)行取值。

同理有

其中：pi+1(x)=1/0.125a。

系數(shù)的大小反映了兩段函數(shù)的相關(guān)程度，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有

圖2 迭代求取最佳對(duì)齊里程Fig.2 Iteration to get the best alignment mileage

為了保證數(shù)據(jù)的嚴(yán)格，在迭代過程中以高度相關(guān)為原則，將大量軌道幾何參數(shù)的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過迭代后，得出對(duì)齊的原始數(shù)據(jù)投入后續(xù)的使用。對(duì)齊效果如圖3所示，圖中僅取200m的單元里程中的波形圖，圖中方塊所示波形為兩組數(shù)據(jù)匹配后拼接得出的新數(shù)據(jù)。

圖3 里程對(duì)齊示例Fig.3 Example of mileage alignment

1.3 觀測值的選取

在2013—2015年間，對(duì)杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間的軌道幾何形位進(jìn)行了收集整理，由于軌檢車檢查得到的歷史數(shù)據(jù)過于龐大，且鑒于需要帶入的變量能夠充分表達(dá)軌道的均衡性，能夠全面表達(dá)軌道各種指標(biāo)的綜合水平，故選取軌道質(zhì)量指數(shù)TQI作為觀測值，用于模型的建立，來研究軌道不平順的惡化趨勢。其中，7項(xiàng)單項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差(左右高低、左右軌向、軌距、水平、三角坑7項(xiàng)軌道幾何不平順幅值標(biāo)準(zhǔn)差)之和即為線路軌道質(zhì)量指數(shù)TQI[11]

(3)

其中：σ為每項(xiàng)不平順幅值標(biāo)準(zhǔn)差。

將7項(xiàng)指標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)均進(jìn)行上述的迭代處理，由數(shù)據(jù)配準(zhǔn)之后，可以保證各項(xiàng)數(shù)據(jù)的幅值都是該段軌道上相應(yīng)的真實(shí)幅值，整合得出的TQI數(shù)值能真實(shí)反應(yīng)該段軌道的不平順情況。將大量數(shù)據(jù)整合后，以2013—2014年度的TQI整合數(shù)據(jù)為例，如表1所示。

由于現(xiàn)階段數(shù)據(jù)取得的方式均存在人為成分，且數(shù)據(jù)采集存在自然條件的影響，所以迭代后整合的數(shù)據(jù)必定會(huì)存在一定的誤差。將每次檢查中的多組數(shù)據(jù)求取均值，以作為該次檢查的TQI最佳觀測值，其中

表1 2013—2014年度杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350 TQI整合數(shù)據(jù)

(4)

其中：Yi為同一次檢查的第i組觀測值；n為維修作業(yè)前第n次檢查。

2 建立ARIMA模型預(yù)測軌道不平順

2.1 ARIMA模型簡介

時(shí)間序列模型可以在不考慮其他變量可能對(duì)目標(biāo)值產(chǎn)生影響的情況下，只通過觀測值的變化，利用外推機(jī)制來表達(dá)時(shí)間序列的變化情況。它有兩種類型的隨機(jī)序列：確定型隨機(jī)序列具有基本的外推方法；而隨機(jī)型時(shí)間序列存在不同。

預(yù)測的隨機(jī)序列是由隨機(jī)過程產(chǎn)生的，通常有以下幾種。

1) 假定某個(gè)隨機(jī)過程是線性的，表示為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p

(5)

其中：φi為回歸參數(shù)。

此過程稱之為p階自回歸過程，記作AR(p)。

2) 假定某個(gè)隨機(jī)過程是線性的，表示為

Xt=at+θ1at-1+θ2at-2+…+θqat-q

(6)

其中：θt為回歸參數(shù)；at為白噪聲過程。

此過程稱之為q階滑動(dòng)平均模型，記作MA(q)。

3) 自回歸滑動(dòng)平均模型是由上述兩者共同構(gòu)造而成的隨機(jī)過程，即兩式相加而成，稱之為p階自回歸q階滑動(dòng)平均模型，記作ARMA(p,q)。通常存在時(shí)間序列是不平穩(wěn)序列，即非平穩(wěn)的自回歸滑動(dòng)平均模型。

4) 通過將不平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行差分，得到平穩(wěn)序列再進(jìn)行建模，該模型稱之為ARIMA(p,d,q),其中d表示將最初的時(shí)間序列進(jìn)行了d次差分后，得到平穩(wěn)的時(shí)間序列。

2.2 ARIMA模型的建立

選取廣鐵集團(tuán)惠州工務(wù)段杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間2013—2015年度的歷史數(shù)據(jù)作為樣本，對(duì)其進(jìn)行建模。取其中第1年度的原始數(shù)據(jù)為例，經(jīng)過處理后，得出最佳觀測值，如表2所示。

表2 杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350單元區(qū)段TQI數(shù)據(jù)

Tab.2 TQI data of Unit section in K1317+150-K1317+350 in No.4 road of Chaoshan Railway Station in Hangzhou-Shenzhen line

TQITQI12013.10.028.553132014.04.0310.93122013.10.189.016142014.04.1810.56832013.11.04 8.903152014.05.0511.02342013.11.18 9.314162014.05.1911.47252013.12.02 9.451172014.06.0212.11262013.12.17 9.563182014.06.1811.35472014.01.03 9.662192014.07.0112.18282014.01.17 9.788202014.07.1512.07192014.02.0310.263212014.08.0111.584102014.02.1710.529222014.08.1511.151112014.03.0311.182232014.09.0311.964122014.03.1711.012242014.09.1911.989

通過Eviews軟件對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行建模，得出TQI數(shù)值的變化情況,如圖4所示。

圖4 TQI檢查結(jié)果Fig.4 TQI inspection results

2.3 模型的識(shí)別與定階

基于原始數(shù)據(jù)，具體使用何種結(jié)構(gòu)的模型，需要對(duì)其自相關(guān)系數(shù)AC與偏相關(guān)系數(shù)PAC進(jìn)行分析，TQI原始數(shù)據(jù)的相關(guān)信息如表3所示，其中Prob表示顯著性水平統(tǒng)計(jì)量。

表3 原始數(shù)據(jù)的時(shí)間序列相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息

Tab.3 Relative statistics information for time series of raw data

由表3可以看出，自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖均不為零且有衰減趨勢，兩者均表現(xiàn)為拖尾。為了將軌道不平順預(yù)測進(jìn)行平穩(wěn)建模，而原始數(shù)據(jù)不一定是平穩(wěn)的，必須先對(duì)TQI序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。用單位根檢驗(yàn)序列是否適用于ARIMA模型，若序列表現(xiàn)為非平穩(wěn)，則對(duì)序列進(jìn)行差分。

表4中列出了TQI原始數(shù)據(jù)序列的單位根檢驗(yàn)情況以及將其差分后的情況，從中可以看出，TQI原始數(shù)據(jù)序列的ADF檢驗(yàn)值均大于檢驗(yàn)水平為1%，5%，10%的臨界值，所以原序列是不平穩(wěn)的ARIMA(p,d,q)，模型的建立需要將序列差分到平穩(wěn)狀態(tài)。由表4可知，將原序列差分后可以得到平穩(wěn)序列，為了能使建模達(dá)到最優(yōu)效果，故選取1階差分序列進(jìn)行建模，1階差分序列的相關(guān)信息見表5。

表4 原始數(shù)據(jù)的時(shí)間序列單位根檢驗(yàn)情況

表5 1階差分后原始數(shù)據(jù)的時(shí)間序列相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息

Tab.5 Relative statistics information for time series of raw data by first order difference

由表5可以看出，新序列的自相關(guān)函數(shù)經(jīng)過1階差分后超出了95%的置信區(qū)域，達(dá)到最大值的同時(shí)快速下降。相關(guān)函數(shù)在1階和3階均明顯非零，由此確定建立ARIMA(1,1,3)模型用于TQI的預(yù)測。模型的相關(guān)系數(shù)及其顯著性水平如表6所示。

表6 ARIMA(1,1,3)模型相關(guān)系數(shù)及顯著性水平

Tab.6 Correlation coefficient and significance level of ARIMA (1,1,3) model

TProbC12.273 2801.638 8367.489 0240.000 0AR(1)0.925 2490.038 47724. 046 3200.000 0MA(1)-1.116 7790.428 671-2.605 2110.017 9MA(2)-0.688 4620.477 808-1.440 8760.166 8MA(3)-0.420 5780.479 451-0.877 2090.391 9

由建模結(jié)果的顯著性水平可知ARIMA模型是平穩(wěn)的，標(biāo)準(zhǔn)誤差小，能夠認(rèn)定ARIMA(1,1,3)模型可以用于TQI預(yù)測。TQI預(yù)測多項(xiàng)式為

Xt=12.273 28+0.925 249Xt-1-

1.116 779ut-1-0.688 462ut-2-

0.420 578ut-3

3 ARIMA模型試驗(yàn)

3.1 基于已知數(shù)據(jù)預(yù)測未知數(shù)據(jù)

根據(jù)廣鐵集團(tuán)惠州工務(wù)段杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間2013—2015年度的24組數(shù)據(jù)，對(duì)2015—2016年度第1季度的TQI檢查結(jié)果進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測曲線如圖5所示。

圖5 ARIMA模型試驗(yàn)Fig.5 ARIMA model test

預(yù)測方法通常有兩種：靜態(tài)預(yù)測和動(dòng)態(tài)預(yù)測。靜態(tài)預(yù)測是滾動(dòng)的進(jìn)行下一步的預(yù)測，即每預(yù)測一次都是基于真實(shí)值，以真實(shí)值替代預(yù)測值，加入到估計(jì)區(qū)間，再繼續(xù)下一步預(yù)測；而動(dòng)態(tài)預(yù)測是根據(jù)所選擇的一定區(qū)間，進(jìn)行多步向前預(yù)測，每次預(yù)測都是基于之前的預(yù)測值得出新的預(yù)測值。樣本范圍內(nèi)的序列實(shí)際值是已知的，樣本外的預(yù)測通常因變量的實(shí)際觀測值是未知的，所以靜態(tài)預(yù)測一般適用于樣本內(nèi)，而對(duì)于樣本外選擇動(dòng)態(tài)預(yù)測。

3.2 預(yù)測結(jié)果的分析

將樣本內(nèi)外的TQI實(shí)測值作為參考，驗(yàn)證ARIMA(1,1,3)模型的靜態(tài)預(yù)測與動(dòng)態(tài)預(yù)測的TQI估計(jì)值，以相對(duì)誤差說明預(yù)測精度，如表7所示。

表7 TQI預(yù)測值與實(shí)測值對(duì)比

Tab.7 Comparison of predicted and measured values of TQI

TQI/mm/mm/%/mm/%12013.10.028.5538.895 3.9998.678 1.46122013.10.18 9.016 9.827 8.995 8.797-2.42932013.11.04 8.903 8.190-8.009 9.073 1.90942013.11.18 9.314 9.407 0.998 9.208-1.13852013.12.02 9.45110.207 7.999 9.428-0.24362013.12.17 9.563 9.371-2.008 9.618 0.57572014.01.03 9.662 9.951 2.991 9.773 1.14982014.01.17 9.788 9.494-3.00410.032 2.49392014.02.0310.26310.468 1.99710.481 2.124102014.02.1710.529 9.791-7.00910.638 1.035112014.03.0311.18211.629 3.99710.926-2.289122014.03.1711.01211.113 0.91711.025 0.118132014.04.0310.93111.805 7.99610.958 0.247142014.04.1810.568 9.511-10.00210.961 3.719152014.05.0511.02311.463 3.99211.139 1.052162014.05.1911.47212.504 8.99611.646 1.517172014.06.0212.11212.596 3.99611.785-2.700182014.06.1811.35412.473 9.85611.844 4.316192014.07.0112.18212.912 5.99211.767-3.407202014.07.1512.07111.226-7.00011.826-2.030212014.08.0111.58410.889-6.00011.789 1.770222014.08.1511.15112.043 7.99911.519 3.300232014.09.0311.96412.203 1.99811.701-2.198242014.09.1911.98911.269-6.00612.024 0.292252014.10.0312.08712.449 2.99512.009-0.645262014.10.1711.74911.028-6.13711.904 1.319272014.11.0212.15711.306-7.00011.942-1.769

由表7可以看出，將軌道幾何尺寸歷史數(shù)據(jù)對(duì)齊后，最大的相對(duì)誤差絕對(duì)值低于5%，將各次預(yù)測的相對(duì)誤差絕對(duì)值取均值，得到該ARIMA(1,1,3)模型的平均預(yù)測水平只存在1.75%的相對(duì)誤差；而基于沒有對(duì)齊的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，其平均預(yù)測水平達(dá)到5.48%的相對(duì)誤差，其相對(duì)誤差絕對(duì)值最大值遠(yuǎn)大于將原始數(shù)據(jù)對(duì)齊之后的預(yù)測結(jié)果。由此可知，該模型得出的預(yù)測值與對(duì)軌道進(jìn)行檢查時(shí)得出的觀測值之間的誤差是非常小的，可以達(dá)到較高的預(yù)測精度。

4 結(jié)束語

由于軌道檢查得出的軌道幾何尺寸原始數(shù)據(jù)不一定都是對(duì)齊的，經(jīng)常伴隨累積里程誤差，會(huì)直接影響到軌道不平順預(yù)測研究的觀測值。通過互相關(guān)函數(shù)的迭代匹配將所有樣本內(nèi)歷史數(shù)據(jù)對(duì)齊后，再通過ARIMA模型預(yù)測TQI數(shù)值，結(jié)果表明：將軌道幾何尺寸原始數(shù)據(jù)對(duì)齊后再進(jìn)行其不平順狀態(tài)的預(yù)測研究，預(yù)測結(jié)果的相對(duì)誤差絕對(duì)值最大在5%之內(nèi)，樣本內(nèi)相對(duì)誤差均值為1.75%，可以達(dá)到更高的試驗(yàn)精度。