李 鋒， 苑志凱， 何禎鑫， 王兆強

(1.火箭軍工程大學二系 西安，710025) (2. 火箭軍工程大學三系 西安，710025)

引 言

氣缸是一種重要的機械元件，具有污染小、維護成本低等優(yōu)點，被廣泛應用于汽車生產(chǎn)線、半導體檢查裝置等工業(yè)設(shè)備。在氣缸壽命預測方面，目前主要方法是通過加速壽命試驗預測其完整使用壽命[1-3]，缺乏了對其使用過程中剩余使用壽命預測的研究。目前剩余壽命預測方法有很多，其中基于Wiener過程的剩余壽命預測模型因具有較為清晰的物理意義和良好的計算分析性質(zhì)，應用最為廣泛[4]。彭寶華等[5]將該模型與Bayes估計方法相結(jié)合，對金屬化膜脈沖電容器的剩余壽命進行了預測。Wang等[6]將Wiener過程的退化建模應用于發(fā)光二極管的剩余壽命預測。李瑞等[7]用Wiener過程建立退化模型對自動加熱電纜剩余壽命進行了預測。國內(nèi)目前在機械元件剩余壽命預測方面對該方法應用較少，主要應用集中在對航空發(fā)動機的剩余壽命預測[8-9]。

筆者對傳統(tǒng)的基于Wiener過程的剩余壽命預測模型進行改進，提出了一種基于退化路徑的Wiener過程剩余壽命在線預測方法。選取CA2系列標準氣缸為對象，進行了磨損退化實驗，并將改進后的剩余壽命在線預測方法應用于該氣缸，通過理論預測與實驗結(jié)果的對比驗證方法的有效性。

1 氣缸剩余壽命預測模型構(gòu)建

1.1 退化模型構(gòu)建

氣缸的故障原因有很多，主要的故障模式有密封圈磨損造成的過度泄漏和啟動摩擦過大兩種，這兩種故障模式都是摩損累積退化失效過程。令X(t)表示氣缸在t時刻的性能退化量，以一元Wiener過程可將退化過程{X(t),t≥0}描述如下

X(t)=X(0)+λt+σB(t)

(1)

其中：X(0)為氣缸的初始退化(不失一般性，可令X(0)=0；實際中若X(0)≠0，可以對數(shù)據(jù)進行平移變換將其化為0[4,10])；λ為隨機參數(shù)，用來刻畫同類設(shè)備不同個體之間的差異；σ為共性參數(shù)，用來刻畫同類設(shè)備之間的共性；B(t)表示標準布朗運動，用來刻畫退化過程中的隨機動態(tài)特性。

以上假設(shè)和規(guī)定是一元Wiener過程退化建模中的常用規(guī)定[5,8,9,11-12]。

在基于退化數(shù)據(jù)的可靠性建模中，通常將性能退化量超過某一預設(shè)的失效閾值作為產(chǎn)品出現(xiàn)故障的判定，這一閾值通常由實驗、工程經(jīng)驗或工業(yè)標準等確定[6]。在這一故障定義下，產(chǎn)品的壽命和剩余壽命均用其性能退化量首次超過預設(shè)失效閾值的時間來表示，稱之為首達時間。在首達時間的意義下，氣缸的壽命T可表示為

T=inf{t:X(t)≥ω,t≥0}

(2)

其中：ω為失效閾值。

根據(jù)文獻[13]可知，壽命T的分布為逆高斯分布，進一步推導可以得到，壽命T的概率密度函數(shù)(probability density function，簡稱PDF)為

(3)

1.2 剩余壽命預測模型構(gòu)建

在1.1節(jié)已經(jīng)建立了基于Wiener過程的氣缸性能退化模型，并且得到了該模型下氣缸壽命的概率密度函數(shù)。這一部分任務(wù)是依據(jù)觀測到的歷史退化數(shù)據(jù)，求解氣缸剩余壽命的概率密度函數(shù)，從而實現(xiàn)對氣缸剩余壽命的預測。目前大多數(shù)模型都是建立在剩余壽命的概率密度函數(shù)僅決定于當前時刻的性能退化量，筆者對傳統(tǒng)的模型進行改進，建立一個依據(jù)退化路徑對剩余壽命進行預測的模型。

定義氣缸在t1,t2,…,tk時刻的退化數(shù)據(jù)為X1:k={x1,x2,…,xk}，表示氣缸在tk時刻前的退化路徑。在首達時間的意義下，氣缸的剩余壽命Lk是指從當前時刻開始到性能退化量X(t)首次超過失效閾值的時間。因此，氣缸的剩余壽命可表示為

Lk=inf{lk:X(lk+tk)≥ω|X1:k}

(4)

其中：lk表示剩余壽命Lk的實現(xiàn)。

由一元維納過程的齊次馬爾科夫性和獨立增量性質(zhì)，可得到剩余壽命Lk在給定隨機參數(shù)λ和退化數(shù)據(jù)X1:k時的概率密度函數(shù)，表達式為

(5)

要實現(xiàn)氣缸剩余壽命的預測，需要消除式(5)中的未知參數(shù)，求出氣缸在退化路徑X1:k下剩余壽命的概率密度函數(shù)fLk|X1:k(lk|X1:k)。下面思考如何根據(jù)已知的退化路徑X1:k對未知參數(shù)進行估計，求出fLk|X1:k(lk|X1:k)。

考慮到退化模型中參數(shù)λ的隨機性，可以通過全概率公式來求解fLk|X1:k(lk|X1:k)

(6)

2 剩余壽命預測模型求解

前面已經(jīng)給出了氣缸在退化路徑下剩余壽命概率密度函數(shù)求解的全概率公式，要實現(xiàn)剩余壽命的預測還需求解隨機參數(shù)λ的后驗分布，并對未知參數(shù)進行估計。

2.1 參數(shù)λ后驗分布的Bayes估計

(7)

(8)

由于λ|X1:k服從正態(tài)分布，可以得到

(9)

2.2 基于EM算法的未知參數(shù)估計

為實現(xiàn)對Θ的估計，需求解似然函數(shù)

lk(Θ)=lnp(X1:k|Θ)

(12)

其中：p(X1:k|Θ)為退化路徑X1:k的聯(lián)合分布密度函數(shù)。

在退化數(shù)據(jù)X1:k下的最大似然估計量為

(13)

由于參數(shù)λ的隨機性和不可觀測性，式(13)將很難直接求解，這里引入期望最大化算法(expectationmaximizationalgorithm，簡稱EM算法)對其求解。EM算法的核心思想是通過添加數(shù)據(jù)包括“缺損數(shù)據(jù)”、未知參數(shù)等，利用簡單的迭代運算，求解復雜分布的極大似然估計。算法分兩步：a.求期望，稱為E步；b.求極大值，稱為M步。筆者通過添加未知參數(shù)λ，利用EM算法求解似然函數(shù)lnp(X1:k,λ|Θk) 實現(xiàn)對p(X1:k|Θ)的極大似然估計，方法如下。

E步

(14)

M步

(15)

首先求解添加未知參數(shù)λ后的似然函數(shù)

lnp(X1:k,λ|Θk)=lnp(X1:k|λ,Θk)+lnp(λ|Θk)

(16)

(17)

3 氣缸剩余壽命預測在線更新算法

前面求解了p(λ|X1:k)并對未知參數(shù)Θ進行了估計，完成了剩余壽命的PDF隨退化路徑X1:k的在線更新的準備工作。實現(xiàn)剩余壽命的PDF隨退化路徑X1:k的在線更新方法如下。

首先，由全概率公式可得

(21)

進一步推導可得到剩余壽命PDF的在線更新解析式為

(22)

到此已經(jīng)完成了氣缸退化模型的建立、剩余壽命概率密度函數(shù)的求解以及未知參數(shù)的估計和在線更新?；谝陨瞎ぷ鳎煽偨Y(jié)得到氣缸剩余壽命實時預測的算法如下：

5) 當觀測得到tk+1(k≥1)時刻的新的退化數(shù)據(jù)xk+1后，重復步驟 2，3，4實現(xiàn)剩余壽命的更新。

4 實 驗

4.1 問題描述

氣缸的故障原因有很多，主要的故障模式有密封圈磨損造成的過度泄漏和啟動摩擦過大。因氣缸過度泄漏故障通常發(fā)生在啟動摩擦過大之后[2]，筆者針對啟動摩擦過大造成氣缸失效的退化過程進行研究。氣缸的最小啟動壓(minimumoperatepressure，簡稱MOP)可以用來表征啟動摩擦力的大小，且測量方便，因此選取該指標作為氣缸的性能退化量。ISO1997 3-3[14]規(guī)定在正常使用狀態(tài)下，MOP應小于120kPa，因此將氣缸的失效閾值定為120kPa。氣缸的壽命通常用作動次數(shù)(cycles)表示，活塞在缸筒兩端往復一次記為一個作動次數(shù)。

筆者在正常工作狀態(tài)(23℃)下對3個CA2系列標準氣缸樣本進行了磨損退化實驗。實驗中供氣壓力為0.70MPa，活塞桿速度為600mm/s，負載為3kg，頻率為1Hz。實驗氣缸缸徑為φ50mm，行程為250mm。經(jīng)過近10個月18×106cycles的測試，每隔5×105cycles記錄氣缸MOP值，最終獲取3組實驗數(shù)據(jù)。只有第3組MOP退化實驗數(shù)據(jù)最終超過了失效閾值，所以選取第3組實驗數(shù)據(jù)(37個采樣點)驗證本研究剩余壽命預測方法的準確性。第3組MOP退化實驗數(shù)據(jù)的退化路徑如圖1所示，最終在采樣點15.5×106cycles時MOP超過失效閾值，將此時刻作為氣缸的失效時刻。

圖1 氣缸MOP退化路徑Fig.1 MOP degradation path of the cylinder

4.2 實驗結(jié)果及分析

把氣缸MOP退化實驗數(shù)據(jù)帶入筆者提出的剩余壽命在線預測方法進行計算，并與文獻[5]中的剩余壽命的預測方法進行對比，驗證本方法的可行性和準確性。同時，由于所提算法需要給定初始參數(shù)，這一部分也將通過調(diào)整初始參數(shù)對本方法的參數(shù)初始值敏感性進行分析。為方便敘述，下面均將文獻[5]中的剩余壽命的預測方法稱為文獻[5]方法。

4.2.1 選擇合適參數(shù)時的預測結(jié)果

圖2 最后6個采樣點剩余壽命的PDFFig.2 The PDF of the residual life at the last six points

為進一步從數(shù)值角度比較本研究方法與文獻[5]方法對氣缸退化數(shù)據(jù)的在線預測能力，采用均方誤差(meansquareerror，簡稱MSE)作為評價指標[15]。定義tk時刻的均方誤差為

(23)

其中：k為第k個采樣點；xk為第k個采樣點實際退化數(shù)據(jù)；E(X(tk))為預測的第k個采樣點退化數(shù)據(jù)X(tk)的期望。

經(jīng)計算，在整個退化過程中，兩種方法得到的MSE如圖3所示。由圖3中兩條曲線的對比可以看出，在整個氣缸退化過程中本研究方法的MSE幾乎始終要小于文獻[5]方法，說明本方法對氣缸退化數(shù)據(jù)的預測要更準確。

圖3 兩種方法的MSE對比Fig.3 Mean squared error of the two methods

4.2.2 參數(shù)初始值敏感性分析

為比較參數(shù)初始值對氣缸剩余壽命預測結(jié)果的影響，選取氣缸MOP首次超過失效閾值前的6個采樣點，在3種初始參數(shù)設(shè)置情形下分別計算它們的MSE，計算結(jié)果如表1所示。3種情形下的MSE都很小，可見本研究方法對初始參數(shù)給定不敏感。

表1 3種情形下最后6個采樣點的MSE

Tab.1 The mean squared error of the three cases at the last six points

/106cycles1212.50.005 50.010 70.005 313.00.005 40.010 40.005 113.50.005 30.010 20.005 014.00.005 30.009 90.004 914.50.005 00.009 60.004 715.00.004 90.009 30.004 6

5 結(jié) 論

1) 在小樣本情況下與文獻中同類方法相比，本研究方法能更準確地預測氣缸剩余壽命且預測的不確定性更低。

2) 該方法對初始參數(shù)精度要求不高，具有較強魯棒性。

3) 下一步可以通過融合其他相關(guān)信息來提高本研究方法預測的準確性和可靠性，例如融合同種(類)產(chǎn)品的離線退化數(shù)據(jù)、壽命數(shù)據(jù)等。