胡永強(qiáng) 趙小花

[摘? 要] 文章通過(guò)對(duì)一道課本習(xí)題的深入研究與拓展，探究出多邊形的一個(gè)內(nèi)角、這個(gè)內(nèi)角相對(duì)的若干個(gè)內(nèi)角與已知內(nèi)角相鄰的兩個(gè)內(nèi)、外角平分線的夾角之間的關(guān)系. 整個(gè)探究過(guò)程自然流暢、不斷深入、循序漸進(jìn)，對(duì)培養(yǎng)教師與學(xué)生的探究意識(shí)、提升探究能力有一定的借鑒意義.

[關(guān)鍵詞] 課本習(xí)題;解題;多邊形;角平分線

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入探究一直都是一線數(shù)學(xué)教師孜孜以求的工作，也是教師自身發(fā)展的推動(dòng)力. 而對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題適當(dāng)?shù)淖兪健⑼诰蚝屯茝V也有助于鞏固學(xué)生的四基，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，更能培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新鮮事物時(shí)探究問(wèn)題本質(zhì)的思維習(xí)慣.

筆者在教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常對(duì)一些有代表性的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變式與推廣. 蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第42頁(yè)有一道習(xí)題，筆者對(duì)其進(jìn)行研究與推廣. 授課對(duì)象是普通中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生基礎(chǔ)較好，有良好的探究能力和合作意識(shí).

此外，如果將第（1）和第（2）題中的圖形結(jié)合起來(lái)，如圖1所示，因?yàn)锽O，BO′分別平分∠ABC與∠DBC，所以∠OBO′=∠OBC +∠CBO′=∠ABC+∠CBD=（∠ABC+∠CBD）=×180°=90°，同理可得∠OCO′=90°，所以在四邊形OBO′C中，∠BOC+∠BO′C=360°-180° =180°.

該題是在已知三角形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的情況下，求出了另外兩個(gè)內(nèi)角平分線的夾角以及與這兩內(nèi)角相鄰的兩外角平分線的夾角度數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)夾角存在互補(bǔ)的關(guān)系. 筆者在此處給學(xué)生留下足夠的思考與討論的時(shí)間，讓他們提出關(guān)于此題的一些思考. 在小組合作交流之后有學(xué)生提出如下問(wèn)題：若將三角形推廣到四邊形、五邊形或其他的多邊形，此時(shí)與這個(gè)內(nèi)角相鄰的兩內(nèi)角平分線的夾角與對(duì)應(yīng)的兩外角平分線的夾角又是多少度呢？這些多邊形中相應(yīng)的角又有怎樣的規(guī)律呢？針對(duì)這些問(wèn)題筆者引導(dǎo)學(xué)生做出以下幾點(diǎn)推廣研究.

4. 結(jié)論

根據(jù)上面的3個(gè)推廣，我們可以得到更具一般性的結(jié)論：在任意的n邊形AB Q…QC中，∠A=α，∠BQQ=β，…，∠QQC=β，作與∠A相鄰的兩內(nèi)角的平分線及對(duì)應(yīng)的兩外角的平分線：

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)不是教師把知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自主地、有意義地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程. 基于這一觀點(diǎn)，在研究完成之后，教師要給學(xué)生留足反思、整理的時(shí)間，讓他們將探究的結(jié)論及時(shí)建構(gòu)到自己原有的知識(shí)體系中.

筆者認(rèn)為對(duì)一道題目進(jìn)行推廣與拓展的原則是能夠借助這道題目的背景，圍繞一個(gè)中心主題，將研究的問(wèn)題不斷加深，挖掘出本題的內(nèi)涵與外延，形成一個(gè)完整的問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在解決這些問(wèn)題的時(shí)候找到與原題的共性與不同之處，這樣學(xué)生就不再只是單純地解決一個(gè)問(wèn)題，而是對(duì)一系列的問(wèn)題都進(jìn)行了研究. 最后總結(jié)歸納方法，揭示規(guī)律，進(jìn)行升華，讓學(xué)生體會(huì)到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，認(rèn)識(shí)到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)體系. 由于本題所做的推廣需要學(xué)生有著良好的分類素養(yǎng)及扎實(shí)的計(jì)算功底，所以適用于學(xué)生整體水平較高的班級(jí)或者是數(shù)學(xué)興趣班授課時(shí)使用.

通過(guò)本題及推廣的教學(xué)，學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)帶給自己的快樂(lè)，培養(yǎng)了他們探究數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了巧妙的滲透. 同學(xué)們?cè)谛〗M合作的時(shí)候相互幫助，對(duì)建設(shè)學(xué)習(xí)共同體也是一次有益的嘗試和訓(xùn)練.

眾所周知，中考及平時(shí)測(cè)試中有很多“似曾相識(shí)題”，其實(shí)這些問(wèn)題都來(lái)源于數(shù)學(xué)教材的例題、習(xí)題與思考題等，因此對(duì)教材中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行深入研究與推廣是十分有必要的. 在平時(shí)的教學(xué)中，教師不僅自身要鉆研教材，深挖習(xí)題，還要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式與推廣.對(duì)這些問(wèn)題的研究與推廣有助于拓寬學(xué)生的視野、提升學(xué)生的思維水平、幫助學(xué)生從題海中解放出來(lái)，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)、培養(yǎng)學(xué)生更高水平的認(rèn)知能力.