陳 雋， 任靜雅， 王 磊

(1. 同濟大學 建筑工程系，上海 200092；2. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

伴隨新型城鎮(zhèn)化的國家發(fā)展戰(zhàn)略，近年來體育場館、展覽館、綜合文化中心等文體公共建筑大量興建，這些建筑物的共性特點是擁有大跨度、開敞式的樓蓋/看臺等結構，由于其頻率低、阻尼小，在人群(觀眾)的走動、跳躍以及Bounce等荷載作用下會產(chǎn)生振動，此類振動稱為人致結構振動[1-2]。

Bounce指人雙腳不離開支撐面的身體上下往復運動，常見于體育比賽或演唱會中觀眾的慶祝動作，其對支撐面的作用稱為Bounce荷載[3]。由于Bounce運動常見于群體性場合，且往往伴隨有外部音樂、口號等因素的引導，極容易形成人群的協(xié)同性運動，當運動頻率接近支撐結構頻率時，共振效應會引起結構的顯著振動，幅值過大則可能導致振動舒適度問題，嚴重時甚至會因人群的恐慌而誘發(fā)群體公共安全事故[4-5]。由于實驗技術上的困難，此前對Bounce荷載特性與建模的研究主要集中于單人情況[6-8]，在此基礎上通過引入假定研究人群荷載特性。例如，Parkhouse等在單人Bounce荷載實驗的基礎上，通過對齊節(jié)拍器時刻后疊加單人荷載的方式研究了人群Bounce荷載的特性，并提出了人數(shù)為特定值(5、10、20、50、100、200人)時的人群Bounce的動力因子值[9]。單人和人群荷載的本質差別在于協(xié)同性，即人群中各單人保持動作一致性的程度。上述將單人荷載強制對齊的處理方式，本質上忽略了人群中各單人間的相互影響這一關鍵要素。因此，利用同步實驗研究人群Bounce荷載下的結構動力響應的分析方法有重要的實用價值和意義。

本研究將考慮和不考慮Bounce人群協(xié)同性所計算得到的結構響應比值定義為折減系數(shù)，將其與單人Bounce荷載下結構動力響應的反應譜計算方法相結合，以實現(xiàn)人群Bounce荷載下結構響應的快速計算。首先利用英國謝菲爾德大學15人同步Bounce實驗數(shù)據(jù)，研究了各種要素對折減系數(shù)的影響，并建立了響應折減系數(shù)的經(jīng)驗公式。

1 多人同步Bounce荷載實驗

多人同步Bounce實驗是荷載特性及對結構響應影響研究的必要前提和重要的數(shù)據(jù)基礎。由于實驗設備與人數(shù)之間的矛盾，人群同步Bounce實測數(shù)據(jù)非常少，有學者使用三維動作捕捉技術[10]和計算機視覺識別技術[11]間接進行研究。本研究中的多人同步Bounce時程實測數(shù)據(jù)由謝菲爾德大學Racic博士提供，該實驗通過一個模擬體育看臺的裝置進行[12](如圖1)。

圖1 模擬體育看臺

該模擬看臺有3排，每排有5個座位，看臺坡度為21°，座椅間距為前后1.0 m、左右0.5 m，嚴格按照實際體育看臺布置。模擬看臺使用輕質剛性材料，以使自振頻率遠大于人群可達到的同步Bounce頻率，保證測試過程中不激發(fā)模擬看臺的內(nèi)部振動模態(tài)。每個座位前安裝了測力板，采樣頻率為1 000 Hz，用來同時收集15位測試者各自的足底反力。

實驗共采集了1.5、2.0、2.5以及3.0 Hz四種頻率下的15人(平均體重720.4 N)同步Bounce荷載時程，每個工況測試持續(xù)40 s左右，采樣頻率為1 000 Hz。各頻率下的名義荷載(實測荷載/體重)時程曲線及相應的傅里葉幅值譜如圖 2所示，其中細線為每位測試者的名義荷載時程，粗線為15人的平均名義荷載時程。

(a) 1.5 Hz Bounce荷載時程及其幅值譜

(b) 2.0 Hz Bounce荷載時程及其幅值譜

(c) 2.5 Hz Bounce荷載時程及其幅值譜

(d) 3.0 Hz Bounce荷載時程及其幅值譜

2 多人Bounce結構動力響應折減系數(shù)

2.1 動力響應折減系數(shù)的定義

從工程應用的角度，單人Bounce荷載及對應的結構響應計算已有相對成熟的模型和方法[13]。由于人群中各單人的協(xié)同性差異，所引起的結構響應小于單人響應與人數(shù)的乘積。通過引入多人Bounce下結構動力響應折減系數(shù)，可實現(xiàn)由單人到人群的結構響應快速計算。由于Bounce荷載的窄帶特性[14](圖 2)，結構響應通常由單一模態(tài)控制，參考圖 3可定義如下的響應折減系數(shù)

(1)

(a)(b)

圖3 單自由度結構的荷載輸入模擬

Fig.3 Load input simulation of single degree of freedom structure

2.2 響應折減系數(shù)譜

(a) 1.5 Hz Bounce

(b) 2.0 Hz Bounce

(c) 2.5 Hz Bounce

(d) 3.0 Hz Bounce

圖4 響應折減系數(shù)與人數(shù)和結構頻率的關系(阻尼比：2%)

Fig.4 Relationship between response reduction factor and crowd size and structure’s natural frequency (damping ratio 0.02)

從圖4可以看出，給定結構頻率時，隨著人數(shù)N的增加，折減系數(shù)呈降低趨勢并逐步穩(wěn)定，因此可偏保守地用15人的結果代表人群。圖5給出了四種Bounce頻率下N=15時折減系數(shù)β隨結構頻率變化曲線。從圖中可以看出，不同Bounce頻率下β的變化趨勢大致相同，數(shù)值差別不大，從方便使用的角度，取四種頻率的均值曲線作為阻尼比為2%時的代表曲線，即圖5中粗線。

圖5 15人Bounce時響應折減系數(shù)曲線(阻尼比：2%)

按照相同步驟，計算了其它阻尼比下折減系數(shù)代表曲線，結果見圖6。從圖中可見，結構阻尼對人群Bounce時的響應折減系數(shù)曲線整體趨勢的影響不大。但對曲線形狀有一定影響，由于阻尼比越大時，結構響應衰減越快，結構自振頻率對響應折減系數(shù)的影響越小，因此阻尼比越大，曲線的形狀越光滑。

圖6 不同阻尼比下的響應折減系數(shù)均值曲線

以上5條曲線求均值，得到10 s均方根加速度折減系數(shù)曲線的代表曲線，將其與全長均方根、峰值加速度折減系數(shù)代表曲線對比，如圖7?？砂l(fā)現(xiàn)三條曲線的形狀、趨勢及數(shù)值大小并無太大區(qū)別，為方便使用，確定響應折減系數(shù)曲線時，可忽略不同計算指標的差異。

對三種指標響應折減系數(shù)曲線的均值進行最小二乘擬合，可得響應折減系數(shù)設計曲線和設計表達式，見圖8和式(2)。

β=0.325+0.602e-0.381f

(2)

圖7 三種指標下的響應折減系數(shù)代表曲線

圖8 響應折減系數(shù)的設計曲線

3 折減系數(shù)曲線的應用

3.1 單人Bounce荷載下結構響應的反應譜法

基于大量的單人Bounce荷載實測值，作者在文獻[13]中提出了單人Bounce荷載下結構響應的反應譜計算方法。該方法采用圖9所示設計反應譜曲線，對應公式見式(3)。設計曲線使用類比于地震反應譜的方法，可獲得單人Bounce荷載下結構的最大加速度反應，具體步驟見文獻[13]。

圖9 單人Bounce荷載下設計反應譜曲線

a(f,ζ,P)=

(3)

3.2 基于折減系數(shù)的多人Bounce下結構響應分析

以樓板結構為例，圖10(a)是多人Bounce作用的示意圖，對于人群荷載以離散點(總人數(shù)N已知)或分布形式(單位面積上人數(shù)已知)兩種方式施加于結構時，結合反應譜法和動力折減系數(shù)的結構響應計算公式為

(4)

(5)

圖10 多人Bounce的荷載施加

至此，多人Bounce下樓蓋的動力響應分析可按如下三個步驟進行：

步驟1 運用有限元方法或實測獲得樓蓋各階振型的頻率、阻尼比、振型以及模態(tài)質量。由于高階振型對響應影響較小，可僅考慮振型頻率小于15 Hz的各階模態(tài)。對于人數(shù)較多的情況，可取較大的結構阻尼值以考慮人-結相互作用的影響。

步驟2 確定所選取的分位數(shù)P(如0.95，0.75等)，然后按式(4)或式(5)計算第k階振型對應的多人Bounce下樓蓋結構10 s均方根加速度響應：

步驟3 對步驟2中的各階加速度響應求其最大值，并以其作為樓蓋的加速度響應預測值。

4 算例分析

建立圖11所示四邊簡支混凝土方板模型，將實測的2.5 Hz人群Bounce荷載施加于模型上，考慮到人群有增大結構阻尼的作用[15]，取各階阻尼比5%，由時程分析可得到板中心的加速度響應(圖12)，最大10 s均方根加速度為2.48 m/s2。

此外，按照上節(jié)所述步驟對板中心響應進行計算，具體計算參數(shù)和步驟見表2。取P=0.75時，計算值為2.84 m/s2，略大于有限元分析結果。對其它荷載工況也進行了計算對比，結果顯示采用P=0.75時，折減系數(shù)法獲得的結果與有限元法接近，可用于人群Bounce下樓板響應的快速預測。

(a) 多人Bounce荷載在有限元模型中的施加

(b) 荷載施加點的布置

圖12 算例板中心加速度響應時程

表2 多人Bounce下加速度響應計算步驟

5 結 論

本文以多人同時Bounce實驗數(shù)據(jù)為基礎，提出了多人Bounce下的響應折減系數(shù)，并研究分析了人數(shù)、結構頻率、結構阻尼比以及Bounce工況頻率對折減系數(shù)的影響。通過對各典型阻尼比折減系數(shù)代表曲線擬合得到了響應折減系數(shù)設計曲線，與單人Bounce下結構響應的反應譜方法相結合，可以實現(xiàn)對樓板等結構在人群Bounce荷載作用下響應的快速預測，算例分析表明了所建議的折減系數(shù)和計算方法的可行性。

由于實驗人數(shù)與頻率的限制，文中所提出的折減系數(shù)只適用于人群人數(shù)大于15人且Bounce頻率在1.5～3.0 Hz之間的情形。同時折減系數(shù)推導時未考慮人結相互作用的效應。由上述兩個因素使得對于人數(shù)較多的場合，采用折減系數(shù)法可能高估結構的響應。因此建議對于N>50的情況，可適當調(diào)高結構阻尼比以綜合反映人結相互作用及N>15對減少結構響應的有利影響。