廣東省廣州大學附屬中學(510000) 韓智明

我們通常在進行一個數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的時候必須要特別注意問題的等價性,也就是需要同時考慮命題成立的充分性和必要性.但在很多時候,為了尋找解題突破口(尤其是突然有個猜想)時,往往需要先利用必要條件(或充分條件)探路,然后隨后驗證其充分性(或必要性),這就是必要性探路解題的思想方法.這種方法一般用于證明不等式恒成立問題.大量的教輔資料及雜志涉及到必要性探路的題常常會引起一些讀者的質(zhì)疑,質(zhì)疑地是探路時取定義域里面的哪個數(shù)?為什么取那個數(shù)?怎樣操作?幾乎沒有一本數(shù)學資料說清楚,因此此種解決數(shù)學問題的方法一直不被廣大師生所接受和通用,也可能因為這與我們通常的解題思維區(qū)別較大,在找點的問題上緣由沒有弄清楚.但在必要性探路解題活動中,由必要條件得到的范圍是必須滿足的范圍,所以只需要限定在這個范圍內(nèi)進行就可以,而如果同時又證明了這個范圍內(nèi)所有數(shù)都可以取到,那么這個過程在邏輯上就是嚴密的,也不失為一種巧妙的處理數(shù)學問題的好方法.然而在證明必要性時究竟取什么值?怎樣取值?一直是一個懸而未決的問題,下面就讓我們一起去探個明白.

筆者在一次高三綜合測試中遇到一道這樣的導數(shù)壓軸題:

試題已知函數(shù)f(x)=axex-(a+1)(2x-1).

(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖像在點(0,f(0))處的切線方程.

(2)當x＞0時,函數(shù)f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

大家看到這道題,當然會想到很多方法,至少不少于四種通解通法,然而此題的參考答案是這樣給的:

解析(1)略.(2)因為當x＞0時,函數(shù)f(x)≥0恒成立,所以f(1)≥0,所以.

解法1由題意,得f′(x)=a(x+1)ex-2(a+1).令f′(x)=h(x),則h′(x)=a(x+2)ex在x＞0時恒為正數(shù),所以函數(shù)h(x)即f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f′(0)=-2-a＜0,f′(1)=2ea-2a-2 ≥0,所以f′(x)存在唯一根x0∈(0,1],且函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的極小值也是最小值為f(x0)=ax0ex0-(a+1)(2x0-1),故只需f(x0)≥0即可.由f′(x0)=0得a(x0+1)ex0-2(a+1)=0,即,代入上式可得,因為x0∈(0,1],所以,所以f(x0)≥0恒成立,所以.

當老師們看到這種解法后,感到方法巧妙地同時又有點蒙的感覺,學生看到后更是百思不得其解,共同的疑惑是為什么要取值1,而不是其它的數(shù),而且代入1正好是參數(shù)的取值范圍,這就是證明不等式恒成立時所運用的一種證明方法,即必要性探路法.縱觀各種教輔資料關于運用必要性探路法證明不等式恒成立問題的時候,從來都沒有把證明過程說清楚,代什么數(shù)?為什么代某個數(shù)正好得到參數(shù)范圍?都是給出答案的人在幕后操作,很少走向前臺,有些老師少于研究不知個中緣由,更不要說接受教育的學生了.于是見到這種方法解題,多數(shù)老師直接避開或?qū)ふ移渌慕忸}方法了,甚至教育學生不要用這種不好解釋的方法解題,放任學生的一片迷茫.我當然也是一樣的心理,但作為傳道、授業(yè)的老師,解惑是我們的職業(yè),面對學生們的疑惑,我們責無旁貸地要弄清楚、想明白這種解題方法的來龍去脈,同時對老師自己的專業(yè)水平也是一個很大的提升.

思路探求題目答案中先取特殊值1的依據(jù)是什么?由當x＞0時,函數(shù)f(x)≥0恒成立,x取2時得到f(2)≥0,即為什么不是這個結(jié)果呢?這時有人會說x取2時得到a的取值范圍在證其充分性的時候不成立,這樣一說仿佛有道理,試問我們是不是要把題目定義域范圍內(nèi)的數(shù)取遍然后逐一驗證呢?這樣的話不現(xiàn)實,關鍵還是要回到為什么x取1的問題上來.

首先我們觀察所證不等式的特征,由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)≥0在(0,+∞)上恒成立轉(zhuǎn)化為axex-2(a+1)x+a+1≥0在(0,+∞)恒成立.即axex≥2(a+1)x-a-1,我們先可以假設g(x)=axex以直線h(x)=2(a+1)x-a-1為切線,設切線的切點為P(x0,y0),則由g′(x)=a(x+1)ex,h′(x)=2(a+1),得到解得

這時我們畫出兩函數(shù)圖像如圖1可知,當取1時顯然是兩條曲線的臨界值,如果x取其它值就會把條件加強,其得到的的取值范圍則是當a取1時得到a的取值范圍的子集,故在本題中x應該取1,只是出題人隱去了這一思維步驟,結(jié)合圖像和解答我們就明白為什么x取1,而不是其它數(shù)了.

圖1

其實根據(jù)這種解法,先用必要性探路找a的取值范圍時,做題之前是要做很多功夫作鋪墊的,當確定a的范圍后,第二步就只要證明其充分性滿足就可以了,其本質(zhì)是切線放縮和尋找切點的問題,下面給出證明充分性的第二種證法.

解法2由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)得f(x)=a(xex-2x+1)-2x+1.令M(x)=xex-2x+1,則M′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為M′(0)=1-2=-1＜0,M′(1)=2e-2＞0,據(jù)零點存在定理可知,?x0∈(0,1)使得M′(x0)=0,即,易知M(x)min=,因為x0∈(0,1),所以M(x0)＞0,即M(x)=xex-2x+1＞0.所以f(x)=a(xex-2x+1)-.令N(x)=xex-2ex+e,因為N′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由N′(1)=0易知N(x)min=N(1)=0,所以f(x)≥0.

方法點睛通過上面的剖析,我們知道必要性探路所取的值并不是隨意的,而是有“預謀”的,是經(jīng)過對不等式的等價轉(zhuǎn)化分析,尋找切點,確定臨界值然后利用切線放縮證明其充分性成立,只是在一些運用此法解題過程中沒有分析怎樣取值的問題.

現(xiàn)在我們不妨通過這種思想方法去嘗試解幾道題.

題2已知函數(shù).

(1)若對任意的實數(shù)a,函數(shù)f(x)和g(x)的圖像在x=x0處的切線總相等,求x0的值.

(2)若對?x＞0,不等式f(x)-g(x)≥1恒成立,求正實數(shù)a的取值范圍.

思路探求第(1)問顯然是第(2)問的鋪墊,通過第(1)問找出切線和切點,為第(2)問利用必要性探路法解題時直接可以得到取x=1.

解析(1)因為f(x)=ax+,所以由題設知x0＞0且f′(x0)=g′(x0),即,所以,即,因為對任意實數(shù)a恒成立,所以解得x0=1,故x0=1.畫出兩個函數(shù)圖像如圖2知,x=1是所取的臨界值.

圖2

(2)令h(x)=f(x)-g(x)-1(x＞0),只需證明h(x)≥0即可.由h(1)=f(1)-g(1)-1≥0得a≥1.下面證明當a≥1時,h(x)≥0成立即可.因為,令M(x)=x-lnx-1,則,易知M(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增.所以M(x)≥M(1)=0,所以h(x)≥M(x)≥0,即f(x)-g(x)≥1.綜上,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

方法點睛利用第(1)問找到的臨界值x=1代入原不等式得到參數(shù)a的取值范圍,然后證明不等式成立的充分性,整個解題利用放縮等處理方法顯得思路清晰,過程簡潔.

題3已知函數(shù)f(x)=lnx-x2+ax,f(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

思路探求此題屬于恒成立問題,可以用必要性探路法處理,然而究竟首先取什么數(shù)呢?我們不妨對函數(shù)本身進行處理,由f(x)=lnx-x2+ax=0得到lnx=x2-ax,令g(x)=lnx,h(x)=x2-ax,設兩個函數(shù)在x=x0處有公切線,求出此公切線的方程,此時取x=x0進行必要性探路,求出的a值就是臨界值,就可以得到a的取值范圍,然后再證明其充分性.

圖3

解析設函數(shù)g(x)=lnx和h(x)=x2-ax的公切點為(x0,y0),則有,消a得,令φ(x)=lnx+x2-1(x＞0)可知其單調(diào)遞增,又因為φ(1)=0,故x0=1,a=1.畫出兩個函數(shù)圖像如圖3知x=1是所取的臨界值.取x=1即f(1)≤0得到a≤1.下面證明當a≤1時不等式恒成立.由f(x)=lnx-x2+ax≤lnx-x2+x,易證當x＞0時,lnx≤x-1,所以f(x)≤lnx-x2+x≤x-1-x2+x=-(x-1)2≤0,即證充分性成立,所以a≤1,即實數(shù)a的取值范圍為a≤1.

方法點睛此題不同于題2,前者有第(1)問做鋪墊,怎樣取值和取什么值在第(1)問中通過求兩條曲線的切線和切點即可得到,先把不等式分成兩個函數(shù),先令它們有公切線和公切點,求出其公切點即為運用此方法解題所要取的x值,求出參數(shù)a的范圍,再代入原不等式證明其充分性成立,證明過程中運用到了放縮法和形如lnx≤x-1經(jīng)典的不等式,整個解題步驟也是顯得干凈、利落.

題4已知函數(shù)

(2)f(x)≥g(x)在x＞0時恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

圖4

思路探求第(1)問略:第(2)問如果用參變分離法或整體構(gòu)造函數(shù)處理的話,難度很大,加上含有三角函數(shù),求導非常復雜,如果用必要性探路法處理先要合理構(gòu)造兩個函數(shù),通過觀察所證不等式可以轉(zhuǎn)化為證對?x＞0恒成立的問題,為方便計算切線方程和切點坐標,可以化為證明成立.下面先令和 τ(x)=-ax相切,則設切點坐標為P(x0,y0),則有畫出兩個函數(shù)圖像如圖4可知,是所取的臨界值.由下面證明充分性成立,當時,只要證明μ(x)=因為又因為所以當時,μ′(x)＜ 0,μ(x)單調(diào)遞減,當時,μ′(x)＞ 0,μ(x)單調(diào)遞增.所以即μ(x)≥0,即證所以即實數(shù)a的取值范圍為

方法點睛處理恒成立問題的方法較多,有些利用分參后求導難得較大,操作性不強,此題運用必要性探路法處理,解題思路清晰,邏輯性強,是一種簡化思維程序的好方法.教師在進行解題活動時,不僅要教給學生某種解題方法,更要教會學生學會恰當?shù)剡x擇某種方法,從而習得某種解題策略,這對學生的數(shù)學核心素養(yǎng)有很大的提升.為找臨界值,合理地重新構(gòu)造函數(shù),求出兩個函數(shù)的公切線和公切點,通過必要性探路得到參數(shù)的范圍,然后利用放縮或者求導證明不等式成立的充分性.整個思維流程脈絡明晰,一氣呵成,由此可見必要性探路是處理此題最佳的策略和方法.

通過以上幾個習題的解題分析,必要性探路法在解決恒成立問題中應該是一種不可或缺的解題策略,我們也更加清晰和明白它的應用范圍和證明原理.我們在進行數(shù)學教學活動特別是數(shù)學解題教學活動時,不是一成不變的解題套路,當套路被“套”的時候,我們要靈活地去選擇其它方法,其中一個首要任務就是教會學生怎樣思考問題,怎樣審題、怎樣尋找解題的突破口以及靈活變通.當學生遇到一個陌生的數(shù)學問題或是看到某個難題的奇妙的解法弄不懂時,作為教學的組織者,我們除了傳道、授業(yè)以外,解惑也是一個非常重要的環(huán)節(jié).在高三后期的復習備考中,訓練的綜合性讓試題的難度和深度都有加大,特別是一些壓軸題的解題思路不容易發(fā)現(xiàn)甚至給學生不好講解,有些試題的解決處理方法多種多樣,當遇到這種情況的時候,某些教師嚴格遵循復習資料的參考答案,拘泥于參考答案的方法,讓學生限于機械被動的接受學習中,缺乏解題前的準備,雙方的互動和活動鋪墊不夠,對學生的能力和知識儲備不了解,也就是說沒有認清學生已經(jīng)具備的認知結(jié)構(gòu),這樣就根本就不能達到訓練學生解題思維的效果,結(jié)果是當學生在每次遇到這種問題時仍然是一籌莫展.

“幫助學生學會數(shù)學地思維”是我們進行數(shù)學活動的核心所在,即在數(shù)學問題的解決過程中幫助學生理解數(shù)學問題的本質(zhì),要讓學生學會用數(shù)學的思維思考問題,今天我們把必要性探路法“探”了個明白,然而在漫長的解題活動中,還有很多問題和陌生的領域需要我們?nèi)ヌ街?只有我們老師自己從觀念上明白了所教授的數(shù)學問題的內(nèi)容和本質(zhì),才能教給學生真正的數(shù)學,才能站在教學研究的制高點,準確把握數(shù)學學科的本質(zhì),才能知道學生什么時候需要和需要什么的問題,才能成為數(shù)學教育功能的執(zhí)行者和傳播者.