北京市第十二中學高中部(100071) 劉 剛

定值、定點問題是解析幾何中的熱點問題,在各類考試中頻繁出現(xiàn),它揭示了動點在運動過程中某些幾何量所固有的幾何或代數(shù)性質,滲透了運動變化思想,對于這樣的題目,除了關注其解法以外,還應透過現(xiàn)象看本質,挖掘相關結論,這樣才會將試題的價值最大化.下面是2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽重慶預賽第9題的一些思考,供大家參考.

題目設橢圓C的左、右頂點為A,B(a,0),過右焦點F(1,0)作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,試證:為定值,并求此定值(用a的函數(shù)表示).

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線和橢圓的位置關系以及定值問題,考查了設而不求、轉化等數(shù)學思想方法,檢驗了運算求解、分析問題與解決問題的能力.試題解法多樣,平中見奇,內涵豐富,為不同學生搭建了施展才能的舞臺,是一道具有研究性學習價值的好題.

試題命制組給出的答案如下:

設直線l的方程為x=ty+1,代入橢圓C的方程,得設P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=.兩式相除,得,即.由題意知

從而

點評解法首先設出直線l的橫截距式方程,從而避免了討論,接下來與橢圓C的方程聯(lián)立并借助韋達定理求解,解決過程中之所以將y1+y2與y1y2相除得到,是為了將中的坐標齊次化,最后通過系數(shù)對應成比例將問題解決,體現(xiàn)了設而不求、轉化的數(shù)學思想.

1.試題的另解

思考1試題還有別的解法嗎?

另證1由已知,得A(-a,0),因為直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,且B(a,0),所以直線AP,BQ的方程分別為y-k1(x+a)=0,y-k2(x-a)=0.設直線l的方程為x-ty-1=0,又直線AB的方程為y=0,所以過A,P,B,Q四點的二次曲線系方程為[y-k1(x+a)]·[y-k2(x-a)]+λy(x-ty-1)=0(λ為參數(shù)),整理,得k1k2x2+(1-λt)y2+(λ-k1-k2)xy+(ak2-ak1-λ)y-a2k1k2=0.與比較系數(shù),得所以ak2-ak1-k1-k2=0,解得.

點評設直線AB,CD的方程分別為lAB(x,y)=0,lCD(x,y)=0,直線AC,BD的方程分別為lAC(x,y)=0,lBD(x,y)=0,則過A,B,C,D四點的二次曲線系方程可以寫成lAB(x,y)lCD(x,y)+λlAC(x,y)lBD(x,y)=0(λ為參數(shù)),然后化成一般式方程再與已知曲線方程進行系數(shù)比較求解,體現(xiàn)了變換的思想和整體處理的解題策略,提高了解題效率.

圖1

另證2在坐標伸縮變換下,橢圓變成了圓x′2+y′2=a2,如圖1,點O,A,P,B,Q,F分別變?yōu)镺′,A′,P′,B′,Q′,F′,連接P′B′,A′Q′,因為A′B′是圓O′的直徑,所以∠A′P′B′=∠A′Q′B′=90°.設直線A′P′,B′Q′的斜率分別為,所以.因為F′(1,0),A′(-a,0),B′(a,0),且a＞1,所以|B′F′|=a-1,|A′F′|=a+1,故.

點評由于橢圓經(jīng)過坐標伸縮變換可以變?yōu)閳A,而圓有著很多幾何性質,因此借助圓并利用平面幾何知識解決,可以避免繁瑣的代數(shù)運算,使解答過程得到簡化.

2.試題的一般化探究

思考2如果把右焦點F(1,0)改為定點M(m,0)(m/=±a且m/=0),結論如何?

經(jīng)過探究,得到

性質1設橢圓的左、右頂點分別為A,B,過定點M(m,0)(m/=±a且m/=0)作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,則為定值.(請讀者參考以上證明過程.)

3.意外的收獲

思考3直線AP,BQ的交點G有何特點?

由性質1,直線AP,BQ的方程分別為y=k1(x+a),y=k2(x-a),作差,得k1(x+a)=k2(x-a),即把代入,解得,由此得到:

性質2設橢圓的左、右頂點分別為A,B,過定點M(m,0)(m/=±a且m/=0)作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,則直線AP,BQ的交點G在定直線上.

思考4性質1,2中有三個關鍵要素:①直線l過點M(m,0);②為定值;③直線AP,BQ的交點G在定直線上.顯然,由①推出了②③便得到了性質1、2,那么能否由②推出①③以及由③推出①②呢?

經(jīng)過探究,結論依然成立,由此得到性質3,4.

性質3設橢圓的左、右頂點分別為A,B,作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,若為定值(m/=±a且m/=0),則

(1)直線l過定點M(m,0);

(2)直線AP,BQ的交點G在定直線上.

證明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),因為直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,所以直線AP,BQ的方程分別為y-k1(x+a)=0,y-k2(x-a)=0.設直線l的方程為x-ty-n=0,又直線AB的方程為y=0,所以過A,P,B,Q四點的二次曲線系方程為[y-k1(x+a)]·[y-k2(x-a)]+λy(x-ty-n)=0(λ為參數(shù)),整理得

所以ak2-ak1-nk1-nk2=0,解得.又因為,所以n=m,故直線l過定點M(m,0).

(2)證明略,請讀者參考性質2的證明過程.

性質4設橢圓的左、右頂點分別為A,B,G為直線上一點,且不在橢圓C上,直線AG,BG與橢圓C分別交于另一點P,Q,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,則

(2)直線PQ過定點M(m,0).

證明從略,讀者可參考性質3的證明過程自行給出.

教育家波利亞說過“即使是相當好的學生,當他得到問題的解答后,就會合上書本,找點別的事來干,這樣做,他就錯過了解題的一個重要方面”.如果教師能使學生在每次解題之后捫心自問:“這道題的解法是否完善?這道題有沒有更好的解題途徑?能不能換個角度考慮一下?還能不能再推廣呢?”,那么學生的思維品質必然由量變產(chǎn)生徹底的質變.探究無止境,感興趣的讀者可以進一步探究以上性質在雙曲線、拋物線中的相關結論,這樣才能真正做到觸類旁通,從而提升核心素養(yǎng).