彭愛國

(武漢市第三中學 湖北 武漢 430050)

在磁場中做切割磁感線運動的導體，受安培力作用做變加速運動時，它的速度、位移和運動時間，在中學階段，用牛頓第二定律和運動學公式無法直接求解，但運用動量定理和微元法的思想則可定量求解前者無法解決的問題.

1 用動量定理和微元法求變加速運動的速度

【例1】如圖1所示，一邊長為L、電阻為R的正方形導線框以速度v0進入磁感應強度為B的勻強有界磁場，有界磁場的寬度大于L，已知穿過有界磁場后的速度為v′，求線框全部進入磁場時線框的速度大小.

圖1 例1題圖

分析與解：設線框質(zhì)量為m，全部進入磁場時的速度為v，線框進入磁場的過程，由動量定理有

(1)

(2)

由式(1)和(2)可得

即

(3)

線框出磁場的過程，同理有

即

(4)

由式(3)和(4)可得

【例2】如圖2所示，水平導軌abcd與efgh在e和h處相連接，并與光滑的弧形導軌在水平位置相切.勻強磁場豎直向上穿過水平導軌區(qū)域，已知導軌abcd的寬度是efgh寬度的2倍，金屬棒P和Q的質(zhì)量分別為m和2m，其中Q棒靜止放在efgh軌道上.各軌道都足夠長，不計一切摩擦和軌道的電阻，現(xiàn)將P棒從距水平軌道高為H處由靜止釋放，求棒P和Q的最終速度分別是多少？

分析與解：設P棒進入磁場時的速度為v0，由動能定理

得

(1)

當兩個金屬棒的速度穩(wěn)定時，回路中的感應電流為零，設金屬棒P的速度減小到v1，金屬棒Q的速度增大到v2，則有

2BLv1-BLv2=0

即

v2=2v1

(2)

圖2 例2題圖

對金屬棒P，由動量定理有

(3)

對金屬棒Q，由動量定理有

(4)

由式(1)～(4)解得

(5)

2 用動量定理和微元法求變加速運動的位移

圖3 例3題圖

分析與解：當圓環(huán)加速度a=0時，速度達到最終速度vm，此時有

F安=mg

(1)

E=B×2πRvm

(2)

(3)

F安=BI×2πR

(4)

(5)

由式(1)～(5)解得

由動量定理有

(6)

(7)

由式(5)～(7)解得

3 用動量定理和微元法求變加速運動的時間

【例4】如圖4所示，在光滑的水平面上，有兩寬度均為L的有界勻強磁場，3條平行直線AB,CD,EF為磁場的邊界，兩磁場的方向相反，且垂直桌面，磁場的磁感強度均為B，一邊長為l(l

圖4 例4題圖

線框勻速運動時有

BIl=F

得

線框通過CD分界線的過程，安培力的沖量

同理可得線框出磁場的過程，安培力的沖量

全過程，由動量定理有

Ft+I1+I2+I3=mv

聯(lián)立上式解得

利用動量定理和微元求和的思想可巧妙求解電磁感應中做變加速運動的導棒的速度、位移和時間,此方法也可推廣到一般：當物體受一與其速度大小成正比的力(如阻力f=kv等)和其他恒力共同作用下做變加速直線運動時，對任一過程，只要已知該過程的初速v1、末速v2、位移x、時間t中任意3個，便可用動量定理和微元法求解第4個物理量.