【摘 要】概率是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程研究的源頭問(wèn)題。本文從學(xué)生的生活實(shí)例中，引出全概率公式和貝葉斯公式，并加以推導(dǎo)，通過(guò)引經(jīng)據(jù)典，對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育，收獲了良好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);全概率公式;貝葉斯公式

中圖分類號(hào)： G642;O211-4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）11-0247-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.11.118

【Abstract】Probability is the the study source of probability and？mathematical？statistics？course.In this paper，the author takes examples from students daily life to lead to the Total Probability Formula and the Bayes Formula.Then，the two formulas are analysed. Combining historical allusions with the formulas，moral education has been taken for students，which has achieved an effective teaching result.

【Key words】Probability and Mathematical Statistics; The total probability formula; The Bayes formula

談?wù)摰綌?shù)學(xué)，很多學(xué)生認(rèn)為難學(xué)是因?yàn)橛洸蛔」?，或者說(shuō)不會(huì)運(yùn)用公式。公式不在于記憶，而在于理解，理解了其中的真諦，自然而然就知道如何使用了。在學(xué)生已經(jīng)有了條件概率的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，再來(lái)學(xué)習(xí)全概率公式實(shí)際上并不困難。文獻(xiàn)[1]舉了一些學(xué)生感興趣的例題加以講解，文獻(xiàn)[2]從五個(gè)方面解釋了全概率公式的內(nèi)涵。然而，對(duì)于學(xué)生每天的日常生活中的實(shí)例研究，以及將概率與歷史典故聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行教學(xué)的文獻(xiàn)還很少。本文從學(xué)生的生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)新課內(nèi)容的學(xué)習(xí)卸下畏難的心理防線，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再逐一推導(dǎo)加以運(yùn)用，再回到生活，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)及來(lái)源于生活，而又服務(wù)于生活。并運(yùn)用數(shù)學(xué)公式解釋歷史典故，讓學(xué)生體會(huì)到趣味性，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育。

1 拋出問(wèn)題

校園之大，為了省時(shí)和方便，同學(xué)們?nèi)ソ虒W(xué)樓上課也開(kāi)始選擇不同的交通工具了。已知李明學(xué)生去上課，選擇步行，自行車，電動(dòng)車和校車的概率分別是45%，20%，25%和10%。四種方式出行遲到的概率分別是0.2，0.1，0.05和0.04。請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)上課遲到的概率是多少呢？

稍微瀏覽了書(shū)本的學(xué)生會(huì)看到該公式看上去很復(fù)雜，根本不知所云，故產(chǎn)生畏難的情緒。以一道與學(xué)生日常生活相關(guān)的實(shí)例，增加學(xué)生的好奇心，學(xué)生便很想知道一個(gè)人上課遲到的概率到底有多大。激發(fā)學(xué)生的求知興趣，引出本節(jié)課的課題——全概率公式。學(xué)生便會(huì)帶著目的來(lái)聽(tīng)課。

2 剖析問(wèn)題

在引出全概率公式之前，先了解其有關(guān)的預(yù)備知A1，A2，A3，A4識(shí)，樣本空間劃分的概念。抽象的概念很容易讓學(xué)生產(chǎn)生畏難的情緒，先給學(xué)生演示一個(gè)圖。是樣本空間Ω中的基本事件，滿足兩兩不不相容，且A1∪A2∪A3∪A4=Ω事件B發(fā)生的概率為P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）+P（A4B），而由前一節(jié)所學(xué)的條件概率公式中的乘法公式可知P（AiB）=P（B|Ai）P（Ai），其中i=1，2，3，4.因此，P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（A3）P（A3）+P（B|A4）P（A4）

這是對(duì)于將樣本空間Ω分成四個(gè)部分的情形，按照這樣的方法可以推廣到四個(gè)以上的情況。從簡(jiǎn)單的情況出發(fā)，避免將一推公式生搬硬套灌輸給學(xué)生，在理解了簡(jiǎn)單的推導(dǎo)原理之后，再讓學(xué)生寫出將樣本空間Ω分成五個(gè)部分的公式，隨后讓學(xué)生寫出全概率公式的一般形式。

3 解決問(wèn)題

學(xué)習(xí)了全概率公式之后，之前的引例便可迎刃而解了。記“學(xué)生步行，騎自行車，騎電動(dòng)車和乘坐校車”分別為事件Ai，i=1，2，3，4。記“學(xué)生遲到”為事件B。則

故由全概率公式可得

即學(xué)生遲到的概率為0.126j不湊巧，張華同學(xué)今天遲到了，請(qǐng)問(wèn)他是因?yàn)檫x擇了哪一種交通工具呢？由此設(shè)問(wèn)引出接下來(lái)要學(xué)習(xí)的貝葉斯公式（逆概率公式）。

在已知結(jié)果的情況下，要尋求發(fā)生的原因。只需要將各個(gè)原因發(fā)生的概率進(jìn)行對(duì)比即可。若事件B已經(jīng)發(fā)生，從圖中可以觀察到，該事件由4個(gè)部分組成，分別是A1B，A2B，A3B，A4，B.并且A1B的面積最大，是不是A1這個(gè)原因的可能性最大呢？

分別計(jì)算

通過(guò)比較得出P（A1|B）的值最大，于是張華同學(xué)步行去上課的可能性最大。由此得到貝葉斯公式。

設(shè)B為樣本空間Ω中的事件，A1，A2，…，An為Ω的一個(gè)劃分，且P（B）>0，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），則有

4 歸納問(wèn)題

學(xué)生小組討論得出全概率公式和貝葉斯公式分別如何使用。從引例不難總結(jié)出，全概率公式用來(lái)“由因求果”，貝葉斯公式用來(lái)“執(zhí)果溯因”，實(shí)則是一個(gè)百分比問(wèn)題。學(xué)生掌握公式的原理之后，自然也就不會(huì)對(duì)冗長(zhǎng)的公式產(chǎn)生畏懼心理了。

5 應(yīng)用公式

著名的歷史典故“烽火戲諸侯”，該典故講述的是西周時(shí)周幽王，為褒姒一笑，點(diǎn)燃了烽火臺(tái)，戲弄了諸侯。褒姒看了果然哈哈大笑。幽王很高興，因而又多次點(diǎn)燃烽火。后來(lái)諸侯們都不相信了，也就漸漸不來(lái)了。后來(lái)犬戎攻破鎬京，殺死周幽王，后來(lái)周幽王的兒子周平王即位，開(kāi)始了東周時(shí)期。

引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋周幽王是如何失去諸侯們的信任。假設(shè)周幽王第一次點(diǎn)燃烽火有無(wú)敵國(guó)來(lái)犯的概率均為0.5，周幽王撒謊時(shí)，真有戰(zhàn)事的概率為0.15，他說(shuō)真話是，真有戰(zhàn)事的概率為0.9。試解釋周幽王是如何失去諸侯信任的。

記事件Ai表示周幽王第i次點(diǎn)燃烽火，無(wú)戰(zhàn)事，事件B表示周幽王第i次說(shuō)謊，i=1，2。由題意可知，P（B1）=P（B1）=0.5，P（A1|B1）=0.15，P（A1|B1）=0.85，P（A1|B1）=0.9，P（A1|B1）=0.1。

諸侯第一次受騙的概率P（A1）=P（B1）P（A1|B1）+P（B1）P（A1|B1）

=0.5×0.85+0.5×0.1=0.475

諸侯第一次受騙后，周幽王說(shuō)謊的概率

諸侯第二次受騙的概率P（A2）=P（B2）P（A2|B2）+P（B2）P（A2|B2）

諸侯第二次受騙后，周幽王說(shuō)謊的概率

當(dāng)諸侯兩次上當(dāng)后，在他們心中，周幽王謊稱戰(zhàn)事的概率達(dá)到0.9863，此后，被騙的諸侯只會(huì)越來(lái)越少，直到真有戰(zhàn)事時(shí)，諸侯看到烽火也無(wú)動(dòng)于衷。類似的例子還有“狼來(lái)了”等，通過(guò)概率計(jì)算，給學(xué)生進(jìn)行誠(chéng)信教育。告誡學(xué)生不要成為周幽王那樣失去信任的人。

6 結(jié)束語(yǔ)

事實(shí)上，很多的歷史故事都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，作為教師，要有一雙慧眼，挖掘出其中的數(shù)學(xué)理念。在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)中，既傳播了中國(guó)的傳統(tǒng)文化，又讓學(xué)生輕松地學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，平常多跟學(xué)生接觸，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生日常生活中的有意思的例子，設(shè)計(jì)成例題，可以大大增加課堂的趣味性。真正做到教師寓教于樂(lè)，學(xué)生寓學(xué)于樂(lè)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]周游.趣味生動(dòng)化的全概率公式教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2017，33（4）：219-221.

[2]王鵬飛.全概率公式的教學(xué)研究[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，34（2）：11-13.

[3]韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京大學(xué)出版社，2018.7.

[4]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.高校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，2004.7.作者簡(jiǎn)介：郭琴（1989.10—），女，漢族，湖南湘潭人，碩士研究生，邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)院，研究學(xué)科或方向?yàn)榇髮W(xué)數(shù)學(xué)教育和分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程的研究。