丁亞明 金鋒 朱亞敏 黎振遠

【摘 要】本文以平面簡諧波的波函數(shù)的建立為例，從提出問題出發(fā)，然后分析問題并建立數(shù)學(xué)模型進行討論，最后總結(jié)歸納并拓展應(yīng)用。以期通過這種教學(xué)模式開展大學(xué)物理課程的教學(xué)，以增強學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】大學(xué)物理；教學(xué)模式；能力培養(yǎng)；簡諧波波函數(shù)

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0008-03

大學(xué)物理課程是高等學(xué)校理工科各專業(yè)學(xué)生一門重要的必修基礎(chǔ)課程。在此課程的教學(xué)過程中，不僅僅要重視物理知識的傳授，還應(yīng)注重學(xué)生分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)，注重學(xué)生探索精神和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，努力實現(xiàn)學(xué)生知識、能力、素質(zhì)的協(xié)調(diào)發(fā)展[1]。

物理學(xué)的基本規(guī)律是大學(xué)物理課程講授的重要內(nèi)容之一。在教學(xué)中，一般由創(chuàng)設(shè)問題情景出發(fā)，然后分析問題，找出影響問題解決的各種可能因素，再建立數(shù)學(xué)模型對各種因素進行充分討論分析，并歸納總結(jié)，從而得出一般性的規(guī)律，最后討論此規(guī)律的深刻含義及相關(guān)

應(yīng)用。

這是研究復(fù)雜問題的基本方法，也是比較理想的物理教學(xué)模式，非常有利于增強學(xué)生分析問題和解決問題的能力?，F(xiàn)以平面簡諧波的波函數(shù)的建立為例，談?wù)勅绾卧诖髮W(xué)物理課程教學(xué)中注重學(xué)生分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。

1 提出問題

波動是自然界中常見的也是非常重要的運動形式之一。自然界波動形式是多種多樣的，如聲波、水面波、地震波、電磁波等。各種類型的波各有特性但更有共性。大學(xué)物理教材[2-3]一般以簡單直觀的平面簡諧波為理想模型，討論波動的基本性質(zhì)。

對于波面為平面的機械波而言，如果波源做簡諧振動，彈性介質(zhì)是均勻、無吸收的，則形成的波動稱為平面簡諧波。那么表征平面簡諧波波動規(guī)律的波動方程是什么呢？即得求出平面簡諧波的波動方程的一般形式。

2 分析問題

根據(jù)對波動的理解，波動過程是振動狀態(tài)（相位）向前傳播的過程。平面簡諧波在介質(zhì)中傳播時，各質(zhì)點并不“隨波逐流”，只是在重復(fù)波源的運動狀態(tài)，即在自身平衡位置附近作簡諧運動。所以，要確定波動方程，即要概括出所有質(zhì)點的振動規(guī)律。

由于平面簡諧波要求彈性介質(zhì)無吸收，即能量在傳遞過程中沒有損失，所以各質(zhì)點的振幅均保持一致。所以，波動方程應(yīng)該體現(xiàn)位于不同位置處的質(zhì)點，在不同時刻相位上的差異。由波動的物理過程可知，這種差異源自于各點相對于波源的距離和波動的傳播速度?？紤]到對于平面簡諧波，要求彈性介質(zhì)均勻各向同性，波速的大小是一常量。所以，可以考慮已知介質(zhì)中某一質(zhì)點的簡諧振動方程，在不同傳播方向情況下的波動方程形式，再進行總結(jié)歸納。

3 建立數(shù)學(xué)模型

物理學(xué)中，將各質(zhì)元的位移隨其平衡位置和時間t變化的數(shù)學(xué)表達式叫做簡諧波的波函數(shù)?，F(xiàn)假設(shè)介質(zhì)均勻、無吸收，波速大小為。在介質(zhì)中某質(zhì)點P的振動規(guī)律為 （1）

式中A是振幅，是圓頻率，是初相位。

根據(jù)對波動的理解，波動過程是振動狀態(tài)向前傳播的過程，進行如下幾種情況的討論：

情況1.若已知P點位于坐標原點處，波沿軸正向傳播。沿波的傳播方向，在P點后方任取一點C，設(shè)其坐標為，則PC之間的距離為，振動狀態(tài)從P點傳播到C點所需要時間為。若P振動時間為，則C點振動時間為。P點相位為時，C點相位為，即

C點的振動方程可寫為。

因為C點是在P點后方任取的一點，所以描述此種波動現(xiàn)象的波函數(shù)形式為

（2）

同理可求得，情況2.當(dāng)P點位于坐標原點處，波沿軸負向傳播時的波函數(shù)形式為

（3）

情況3.若P點位于坐標處，波沿軸正向傳播時的波函數(shù)形式為

（4）

情況4.若P點位于坐標處，波沿軸負向傳播時的波函數(shù)形式為

（5）

4 總結(jié)歸納

4.1 符號說明

通過比較上述四種情況的討論可知，對第1種情況和第3種情況，即如果波動沿著軸正向傳播，波函數(shù)中表示質(zhì)點所在空間位置的前面符號是“-”號。對第2種情況和第4種情況，即如果波動沿著軸負向傳播，波函數(shù)中表示質(zhì)點所在空間位置的前面符號是

“+”號。

4.2 波函數(shù)的形式

對第1種情況和第2種情況下波函數(shù)的形式進行歸納可知，平面簡諧波波函數(shù)的形式為

（6）

總結(jié)上述第三種和第四種情況的討論結(jié)果，可得平面簡諧波波函數(shù)的形式為

（7）

4.3 兩種形式比較

如果將（7）式中關(guān)于的項放到括號外，則有

= （8）

由于已知，若令，則上式可寫成

（9）

上式與（6）式形式上相同，只是相位上相差一個常量。這個常量是由于質(zhì)點所在空間相對位置不同所引起的。根據(jù)對波動規(guī)律的理解，這個常量的存在對于空間波動上某一質(zhì)點的運動描述是非常重要的，但對于整個波動過程，或是描述波動規(guī)律來講沒有影響。所以（6）式可以作為波動方程的一般形式。在（7）式中，若取

，即已知振動規(guī)律的點位于坐標原點處，則（7）式回到了（6）式。從這種意義上講，波函數(shù)的表達式（7）式更具有一般意義。如果已知振動規(guī)律的點的坐標，以及波動傳播方向，則可以根據(jù)（7）式寫出此波動的波動

方程。

5 應(yīng)用舉例

如圖1所示，一平面簡諧波以速度m·s-1沿直線傳播。已知在傳播路徑上某點A的簡諧運動方程為（SI），則（1）以點A為坐標原點，寫出波動方程；（2）以距點A為5 m的點B為坐標原點，寫出波動方程[2]。

圖1

解析：（1）已知振動規(guī)律的A點為坐標原點，波沿著軸正向傳播，所以取式（6）為波函數(shù)一般形式，即

（SI）

（2）以B點為坐標原點，則已知振動規(guī)律的A點的坐標為，波沿著軸正向傳播，所以直接?。?）式表達的波函數(shù)形式

（SI）

以上對平面簡諧波波函數(shù)的建立的討論，不僅使學(xué)生加深了對波動的物理過程的理解，波動過程是振動狀態(tài)即相位向前傳播的過程，還使其形成了描述波動規(guī)律的波函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)。更重要的是，這樣的教學(xué)模式會引導(dǎo)學(xué)生體會收獲物理學(xué)基本規(guī)律的分析思考過程，以提高他們分析問題和解決問題的能力，并培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識。

【參考文獻】

[1]教育部高等學(xué)校物理學(xué)與天文學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會，物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會.理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求理工科類大學(xué)物理實驗課程教學(xué)基本要求[M].2011.2

[2]東南大學(xué)等七所工科院校.物理學(xué)（第五版）下冊[M].北京：高等教育出版社.2006.3.

[3]張三慧.大學(xué)物理學(xué)（力學(xué)、熱學(xué)）（第三版）[M].北京：清華大學(xué)出版社.2008.9.

【作者簡介】

丁亞明（1983～），男，漢族，江蘇泰興人，講師，理學(xué)碩士，主要從事大學(xué)物理課程和大學(xué)物理實驗課程的教學(xué)工作.