鄭金萍

【摘 要】恢復高考40年，回眸一些試題，雖經歲月洗禮，但卻仍然不失為經典中之經典。這些經典試題在培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著重要的作用。本文簡單分析了高考40年來，高考數學中出現的經典試題，以及通過40年的演變所體現的數學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】經典；高考；數學；核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0188-02

1 1981年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）第9題

（1981年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）第9題），給

定雙曲線。

（1）過點A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于兩點P1及P2，求線段P1P2的中點P的軌跡方程。

（2）過點B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1及Q2，且點B是線段Q1Q2的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。

解：（1）設直線l的方程為 ①

將①代入雙曲線方程得：

②

又設，，則是②的兩個實根，所以：

所以，又因為在l上，

得，消去k得所求軌跡得普通方程

為。

（2）設所求的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：

③

設，，則，是③式的兩

個實根，如果B是的中點，則有，解得k。又因為k=2，不滿足

，所以滿足題設條件的直線不存在。

經過近40年的演變，仔細分析試題發(fā)現它對培養(yǎng)學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析等數學核心素養(yǎng)發(fā)揮著重要的作用，仍然是經典中的經典，它被選入在現行教材人教A版選修2-1中。

2 人教A版《數學》選修2-1第62頁習題2.3B組第4題

人教A版《數學》選修2-1第62頁習題2.3B組第4題[1]：已知雙曲線，過點P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？

由題目一可知此題不存在直線l，點P恰好是AB的中點，而當點變?yōu)椋?，1），結果就不一樣了。

變式：已知雙曲線，過點P（2，1）的直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線l的方程。

解法1：設所求直線為y-1=k（x-2），將其代入雙曲線方程整理得

又設直線與雙曲線得交點為，

則、是方程得兩個根，又P為AB得中點，于是，解得k=4，故所求直線方程為。

解法2：設，則有

，

①-②得=4，即，故所求直線方程為。

解法3：設直線的參數方程為，代入

得。

又設直線與雙曲線的交點為A、B，則方程的兩個根t1，t2是A、B對應的參數，P為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為。

解法4：由題意設A（x，y），B（4-x，2-y），將A，B代入雙曲線方程相減得，即是中點弦所在的直線

方程。

解法5：由題意可設A（2+m，1+n），B（2-m，1-n），則。將A，B代入雙曲線方程相減得。故AB的直線方程為。

40年的變革，高考數學試題從最初的“重視雙基”到正在試行和全面開展的“重視核心素養(yǎng)”的重大變革，而題目依舊經久不衰?！吨袊鴮W生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出了核心素養(yǎng)的總體框架和基本內涵，高考評價體系確立了高考中學科素養(yǎng)的考查目標，標志著中國高考正在實現從能力立意到素養(yǎng)導向的歷史性轉變。

能力立意強調知識、智力、能力和技能的考查，題目的特點是追求知識覆蓋力求全面，題目結構完整，目標指向明確，要求一定的反應速度[2]。素養(yǎng)導向不但強調知識和智力，更要求知識的遷移和后天的習得。題目的特點是不追求題目結構完整，追求目標指向開放，要求臨場思考發(fā)揮，目的在于更清晰、準確地考查學生的智力水平、思考深度、思維習慣和科學態(tài)度[3]。數學學科的六大核心素養(yǎng)，既有相互獨立性，又有相互交融性，形成一個有機整體，是需要通過每一個數學教學活動去滲透和實現，需要我們積極主動去實踐和挖掘。

【參考文獻】

[1]普通高中課程標準實驗教科書人教A版《數學》選修2-1[M].北京.人民教育出版社.2005.

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[G].北京：人民教育出版社，2017.

[3]黨永生.教研論文撰寫導航[M].蘭州：甘肅教育出版社出版，2015.