鄒全春

【摘 要】積分變限函數(shù)是一種特殊形式的函數(shù)，它和普通函數(shù)一樣同樣具有各種運算性質及其運算，如極限、導數(shù)、極值、積分等。利用積分變限函數(shù)的性質和運算證明積分不等式是非常好的一種方法，本文通過若干例題探討證明積分不等式一種有力的方法——“變限法”。

【關鍵詞】積分不等式；積分變限函數(shù)；變限法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0016-02

含有積分形式的不等式，也就是通常所說的積分不等式，是考研、數(shù)學競賽中經常遇到的一類證明問題，它是高等數(shù)學中比較難證明的一類不等式，往往具有較高的技巧性。一般來說，對于這類題目，學生往往難于下手。其實積分不等式的證明有很多思路，比如利用單調性、最值，微分中值定理、定積分性質、二重積分等。本文通過若干例題探討證明積分不等式一種非常有力的方法--“變限法”。

一、關于積分變限函數(shù)的有關定理和結論

定理：若函數(shù)在上連續(xù)，，

二、“變限法”例證積分證明不等式

所謂“變限法”，就是根據命題不等式，構造適當?shù)妮o助函數(shù)，輔助函數(shù)為積分變限函數(shù)，再利用積分變限函數(shù)的求導及其他數(shù)學知識積分證明不等式。

例1 設、均是上的連續(xù)增函數(shù)，證明：

分析：第一步，作輔助函數(shù)，將證明的結論中的積分上限換成，式中相同的字母也換成，移項使不等式一端為0，則另一端的表達式即為所做的輔助函數(shù)；第二步，求輔助函數(shù)的導數(shù)，并判斷的單調性；第三步，求出在端點的函數(shù)值，進而得出題目的證明。

證明：作積分變限函數(shù)

因為均是上的連續(xù)增函數(shù)，所以

，從而，故在上單調減少。又因為，所以，即：

從而得：。

例2 試證：

分析：類似1從結論出發(fā)將證明的結論中的積分上限換成即作出輔助函數(shù)。

證明：作積分變限函數(shù)

從而在內單調遞增，故，

進而得，

即。

于是根據定積分的性質知：

例3 設在上連續(xù)，且嚴格單調減少，證明：當時，

分析：類似1從結論出發(fā)，以為變量構造輔助

函數(shù)。

證明：作積分變限函數(shù)

因為在上連續(xù)，且單調減少，所以由積分中值定理得：

。當時，，，單調遞增，從而；同理：當時，，，單調遞增，從而。

故：當時，即 。

綜上所述，對于某些積分不等式，我們可以根據積分不等式的特點選擇恰當?shù)姆e分區(qū)間，嘗試在相應區(qū)間上構造出合適的輔助函數(shù)，這些輔助函數(shù)是變上限的定積分形式，借助積分變限的函數(shù)求導，利用單調性、最值，微分中值定理、定積分性質、二重積分等來證明不等式。因此，“變限法”是證明積分不等式一種非常有力的方法。

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]孫振綺.工科數(shù)學分析教程（上）[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.