劉海平　杜中華　李鵬　吳大林

摘 要：高速自轉的陀螺其軸線不翻倒的物理原因是教學過程中的難點，同時也是理解章動和進動原理的理論基礎，如果不能深刻理解陀螺力矩產生原因和特點，將嚴重影響后續(xù)陀螺穩(wěn)定和追隨穩(wěn)定等課程的教學效果。本文結合作者多年教學實踐，按照逐層遞進的方法，針對如何講好陀螺力矩進行探討分析。

關鍵詞：陀螺力矩 慣性力 教學心得

一、翻轉力矩的產生及特點

為使問題簡化，假設陀螺是理想的回轉體，回轉軸通過質心。由于眾多客觀原因，陀螺回轉軸ζ與通過陀螺頂點的鉛垂線OY并不重合，其所夾角度用α表示。以旋轉頂點O為坐標原點，建立坐標系如圖1。

由于夾角α的存在，陀螺質心所受重力將對頂點O產生力矩。根據右手定則，該力矩方向為OZ的反方向，用Mg表示。力矩Mg使得陀螺回轉軸ζ沿圖1所示擺動方向1，繞O點在平面XOY內擺動，α逐漸增大，從而使回轉軸發(fā)生翻倒。因此，力矩Mg稱為翻轉力矩。該力矩具有如下特點：

1.翻轉力矩Mg的方向始終垂直于由鉛垂線OY和回轉軸ζ所構成的平面XOY。

2.翻轉力矩Mg使回轉軸ζ在平面XOY內加速擺動，并最終使回轉軸ζ在平面XOY內翻倒。

3.翻轉力矩Mg與夾角α的大小有關，當陀螺高速旋轉時，α變化范圍極小，翻轉力矩Mg可近似認為是常數。

二、陀螺力矩的產生及特點

當陀螺不自轉時，在翻轉力矩Mg作用下，α逐漸增大，回轉軸§將在平面XOY內翻倒。若陀螺高速自轉，情況將完全不同?？杉僭O陀螺高速順時針自轉（右旋），此時陀螺上的每個質點都圍繞回轉軸ζ作圓周運動。為使分析具有普遍意義，任取陀螺垂直于回轉軸ζ的一個切面進行分析，如圖2所示。

由于陀螺高速自轉，回轉軸§在平面XOY內擺動過程中，切面上質點的速度必將發(fā)生變化。如圖2所示，當僅考慮由于自轉帶來的速度變化時，可將切面上任一質點速度分解為兩個分速度：平行于平面XOY且垂直于回轉軸ζ的分速度V⊥ζ（B、D兩點僅有該方向分速度）和垂直于平面XOY的分速度Vz（A、C兩點僅有該方向分速度）。在翻轉力矩Mg作用下，α逐漸增大，在回轉軸ζ擺動過程中，切面上任一質點的分速度Vz大小和方向都不發(fā)生變化，而分速度V⊥§的大小不變，方向發(fā)生變化，產生了速度增量。由圖2可知，在切面內半圓任一質點產生平行于回轉軸ζ指向下方的速度增量，在外半圓相反，產生平行于回轉軸ζ指向上方的速度增量。根據牛頓第二運動定律，若讓質點產生速度增量，則需提供相應的外力，即在內半圓任一質點需提供平行于回轉軸ζ指向下方的外力，其合力用F內表示，同理，在外半圓任一質點需提供平行于回轉軸ζ指向上方的外力，其合力用F外表示，F內與F外大小相等，方向相反，構成一對力偶，方向與回轉軸ζ在平面XOY內擺動的方向相反。因此，若使高速旋轉的陀螺與不旋轉陀螺一樣，仍然保持在平面XOY內擺動，需提供與擺動方向相反的外力矩。然而，陀螺高速自轉時并沒有此外力矩，陀螺就“好像”受到了與此外力矩方向相反的力矩M1（如圖1所示）作用，顯然，M1是由于自轉慣性產生的力矩，是一種慣性力矩，也稱為陀螺力矩，在陀螺力矩M1作用下，回轉軸ζ將向垂直于平面XOY的方向（Z軸正方向）擺動。

由于陀螺的高速自轉，在陀螺回轉軸ζ擺動過程中，陀螺上的任一質點產生了速度增量，這些速度增量所產生的慣性力合力形成了陀螺力矩M1。在陀螺力矩M1的作用下，回轉軸在垂直于XOY平面方向（Z軸正方向）亦產生擺動，在Z方向上又產生新的陀螺力矩M2，陀螺力矩M2與翻轉力矩Mg反向，使回轉軸ζ在XOY平面內的擺動速度減小。在M2與Mg共同作用下，回轉軸在XOY平面內的擺動角不再無限增大，而是周期性往復擺動，最終使得陀螺回轉軸ζ不發(fā)生翻倒現象。

三、慣性力和慣性力矩對運動的影響對比

陀螺力矩本質是慣性力矩，其在產生原理和特點上與慣性力有相似之處。慣性力和慣性力矩與參考坐標系速度變化有關，為便于對照理解，下表1對兩種典型情況慣性力和慣性力矩的產生進行比較。

當參考坐標系加速直線運動時（速度大小發(fā)生改變，線加速度），在參考坐標系中物體會產生慣性力，使參考坐標系中的物體加速直線運動；而當參考坐標系勻速轉動時（速度方向發(fā)生變化，角加速度），在參考坐標系中的物體產生了慣性力矩，使參考坐標系中的物體產生加速轉動。

結語

陀螺自轉產生慣性力矩使得回轉軸在兩個方向上擺動，在陀螺力矩M1、M2和翻轉力矩Mg的共同作用下，回轉軸在高速自轉的同時，還要作章動和進動。掌握了陀螺力矩產生的原因及其特點，將為章動和運動的后續(xù)講解打好基礎。