■安徽省利辛高級中學(xué) 胡 彬

數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：數(shù)學(xué)是一個原則,無數(shù)內(nèi)容,一種方法,到處可用。數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)的靈魂,也是數(shù)學(xué)知識的精髓。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程中,同學(xué)們?nèi)裟莒`活運用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想,往往能迅速、準確地找到解題思路,從而獲解。

一、函數(shù)思想

函數(shù)思想是用運動和變化的觀點去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系,是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識。它是先建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),再運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,最后使問題獲得解決的一種數(shù)學(xué)思想。導(dǎo)數(shù)問題蘊含著函數(shù)思想,解題時若能靈活運用這種思想,就能使問題順利解決。

例1設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f'(x)+,則x＞0時,f(x)( )。

A.有極大值,無極小值

B.有極小值,無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也無極小值

解析：由題意知令g(x)=ex-2x2f(x),則g'(x)=ex-2x2f'(x)-4xf(x)=ex-由g'(x)=0,得x=2。當0＜x＜2時,g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;當x＞2時,g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增。故g(x)min=g(2)=0。則當x＞0時,f'(x)≥0,故f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,既無極大值也無極小值,應(yīng)選D。

評注：通過構(gòu)造函數(shù)g(x),運用函數(shù)g(x)的函數(shù)性質(zhì),從而得到x＞0時,f(x)單調(diào)遞增。

二、方程思想

方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或構(gòu)造方程,再通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決。

例2若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex,則有( )。

A.f(2)＜f(3)＜g(0)

B.g(0)＜f(3)＜f(2)

C.f(2)＜g(0)＜f(3)

D.g(0)＜f(2)＜f(3)

解析：對于f(x)-g(x)=ex,以-x代替x得到f(-x)-g(-x)=e-x。又f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),所以上式可化為-f(x)-g(x)=e-x,從而則0恒成立,所以f(x)在定義域R上為增函數(shù),0=f(0)＜f(2)＜f(3)。又g(0)=-1＜0,所以g(0)＜f(2)＜f(3),應(yīng)選D。

評注：先挖掘條件,再建立方程。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法,許多導(dǎo)數(shù)問題可借助于平面直角坐標系,將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題,從而借助于形的優(yōu)勢,使問題獲解。

例3已知函數(shù)若函數(shù)g(x)=f(x)-a有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

解析：當x＜0時,f(x)=-(x+1)ex。f'(x)=-(2+x)ex,由f'(x)＞0,得x＜-2;由f'(x)＜0,得x＞-2。所以f(x)在(-∞,-2)上遞增,在(-2,0)上遞減,故且x＜-1時,f(x)＞0,畫出y=f(x)的圖像如圖1所示。由圖知當時,y=f(x)與y=a的圖像有3個交點,即g(x)有3個零點,所以實數(shù)a的取值范圍是,應(yīng)選A。

評注：形如f(x)=h(x)-g(x)的零點問題常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=h(x)與y=g(x)的圖像交點問題,然后利用數(shù)形結(jié)合求解。

圖1

四、分類討論思想

分類討論就是將數(shù)學(xué)對象劃分為不同種類,再分別進行研究或求解的一種數(shù)學(xué)思想。通過合理的分類討論,可以使較復(fù)雜的問題簡單化。

例4設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a＞0。

(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;

(2)當x∈[0,1]時,求f(x)分別取得最大值和最小值時對應(yīng)的x的值。

解析：(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),f'(x)=1+a-2x-3x2,令f'(x)=0,得x1

所以f'(x)=-3(x-x1)(x-x2)。

當x＜x1或x＞x2時,f'(x)＜0;

當x1＜x＜x2時,f'(x)＞0。

故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增。

(2)因為a＞0,所以x1＜0,x2＞0。

①當a≥4時,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值。

②當0＜a＜4時,x2＜1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上單調(diào)遞增,在[x2,1]上單調(diào)遞減,因此f(x)在處取得最大值。

又f(0)=1,f(1)=a,所以當0＜a＜1時,f(x)在x=1處取得最小值;當a=1時,f(x)在x=0和x=1處同時取得最小值;當1＜a＜4時,f(x)在x=0處取得最小值。

評注：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大(小)值,同時考查分類討論的思想,分類討論的關(guān)鍵是確定分類的標準。

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,在研究、解決數(shù)學(xué)問題時,當思維受阻或遇到困難的問題時,要善于轉(zhuǎn)化問題,化難為易,化繁為簡,化陌生為熟悉,即轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決,這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略。

例5設(shè)x3-x2-3。

(1)如果存在x1、x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;

解析：(1)存在x1、x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等價于[g(x1)-g(x2)]max≥M。因為g(x)=x3-x2-3,所以。由g'(x)＞0,得x＜0或;由g'(x)＜0,得0＜x＜。又x∈[0,2],所以g(x)在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù)。解得所以=1。故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-所以滿足條件的最大整數(shù)M=4。

min≥g(x)max。由(1)可知在上,g(x)max=g(2)=1。在≥1恒成立,等價于a≥x-x2lnx恒成立。

設(shè)h(x)=x-x2lnx,則h'(x)=1-2xlnx-x,可知h'(x)在上為單調(diào)減函數(shù)。

因此,函數(shù)h(x)=x-x2lnx在上單調(diào)遞增,在[1,2]上單調(diào)遞減。

所以h(x)max=h(1)=1,即a∈[1,+∞)。

評注：審題時需要深刻理解題意,對問題作等價轉(zhuǎn)化,即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值。