■福建省泉州市第七中學(xué) 彭耿鈴

求解排列、組合問(wèn)題的基本思路有以下幾種：

(1)限制條件,排除法：先求出不考慮限制條件的個(gè)數(shù),然后減去不符合條件的個(gè)數(shù),相當(dāng)于減法原理;

(2)相鄰問(wèn)題,捆綁法：在特定條件下,將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮,待整體排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列,它主要用于解決相鄰問(wèn)題;

(3)插空法：先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它們之間或兩端的空隙中;

(4)特殊元素、位置優(yōu)先安排法：對(duì)問(wèn)題中的特殊元素或位置優(yōu)先排列,然后排列其他一般元素或位置;

(5)多元問(wèn)題,分類法：將符合條件的排列分為幾類,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù);

(6)元素相同,隔板法：若把n個(gè)不加區(qū)分的相同元素分成m組,可把n個(gè)相同元素排成一排,在元素之間插入m-1塊隔板來(lái)完成分組,此法適用于同元素分組問(wèn)題;

(7)“至多”“至少”,間接法：“至多”“至少”的排列、組合問(wèn)題,需分類討論且一般分類的情況較多,所以通常用間接法,它適用于反面明確且易于計(jì)算的問(wèn)題;

(8)選排問(wèn)題,先取再排法：選排問(wèn)題很容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏,因此常先取出元素(組合)再排列,即先取后排;

(9)定序問(wèn)題,消序法：甲、乙、丙順序一定,采用消序法,用總排列數(shù)除以順序一定的排列數(shù);

(10)有序分配,逐分法：有序分配是指把元素按要求分成若干組,常采用逐分的方法求解。

一、特殊元素和特殊位置，優(yōu)先策略

例1由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)?

解析：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,避免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置。

例2(2014年四川卷)六個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )。

A.192種 B.216種

C.240種 D.288種

解析：若最左端排甲,其他位置共有A=120(種)排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個(gè)位置有A=24(種)排法。

所以共有120+4×24=216(種)排法,故選B。

小結(jié)：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法。若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其他元素;若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置。若有多個(gè)約束條件,往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件。

二、相鄰元素，捆綁策略

例37人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法?

解析：可先將甲乙兩元素捆綁,并看成一個(gè)復(fù)合元素,同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素,再與其他元素進(jìn)行排列,同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有AAA=480(種)不同的排法。

例4(2014年北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有__種。

解析：產(chǎn)品A與B相鄰,可把A,B捆綁,有A種方法;然后再與C以外的兩件產(chǎn)品全排列共A種方法;最后把產(chǎn)品C插入,只有3個(gè)空位可選,故不同的擺法有A·A·3=2×6×3=36(種)。

小結(jié)：要求某幾個(gè)元素必須排在一起,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題。只需將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其他元素一起排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

三、不相鄰問(wèn)題，插空策略

例5(2014年重慶卷)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

解析：歌舞類節(jié)目設(shè)為a1,a2,a3,小品類節(jié)目設(shè)為b1,b2,相聲類節(jié)目設(shè)為c,先排a1,a2,a3不相鄰,順序如×b1×b2×c×,共AA種方法,b1b2相鄰前提下×b1b2×c×插空法共AAA種方法,所以同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)為AA-AAA=A·(A-4)=6×20=120,故選B。

例6(2014年遼寧卷)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )。

A.144 B.120 C.72 D.24

解析：先把3把椅子隔開(kāi)擺好,它們之間和兩端有4個(gè)位置,再把3人帶椅子插放在4個(gè)位置,共有A=24(種)方法,故選D。

小結(jié)：元素不相鄰問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì),再把不相鄰元素插入中間或兩端。

四、定序問(wèn)題，倍縮、空位插入策略

例77人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定,共有多少不同的排法?

解析：(縮倍法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是A/A=A=840。

(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的4人就座,共有A種方法,其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1種坐法,則共有A=840(種)方法。

小結(jié)：解決定序問(wèn)題可以用縮倍法,還可以用空位法。

五、重排問(wèn)題，求冪策略

例8把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法?

解析：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間,有7

種分法;把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間,也有7種分法;……依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理知,共有76種不同的分法。

小結(jié)：允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象,元素不受位置的約束,可以逐一安排各個(gè)元素的位置。一般地,n個(gè)不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn。

六、環(huán)排問(wèn)題，線排策略

例98人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解析：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于,坐成圓形沒(méi)有首尾之分,所以固定1人,并從此位置把圓形展成直線,其余7人共有(8-1)!=7!(種)坐法。

小結(jié)：一般地,n個(gè)不同元素進(jìn)行圓形排列,有(n-1)!種排法。如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行圓形排列,共有A種排法。

七、多排問(wèn)題，直排策略

例108人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法?

解析：8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排。前排2個(gè)位置上的特殊元素甲乙有A種排法,后排4個(gè)位置上的特殊元素有A種排法,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有A種排法,則共有AAA種排法。

故障樹(shù)方法使用時(shí)間序列圖和簡(jiǎn)化的故障樹(shù)，并且可以集成其他任何有效可靠的方法來(lái)幫助調(diào)查人員對(duì)事故分析進(jìn)入較深的程度，避免過(guò)早地停止于表面顯而易見(jiàn)的因素。構(gòu)建故障樹(shù)時(shí)首先選擇頂上事件，然后確定頂上事件發(fā)生的前提條件或事件，以火災(zāi)事故為例，前提條件就是點(diǎn)火源、可燃物和助燃物三者同時(shí)存在，它們之間的邏輯關(guān)系是與門關(guān)系。然后繼續(xù)分析事件，通過(guò)邏輯關(guān)系推導(dǎo)直到發(fā)現(xiàn)基本事件，基本事件就是事故的根本原因。

小結(jié)：一般地,元素排成幾排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分排研究。

八、排列組合混合問(wèn)題，先選后排策略

例11有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝1個(gè)球,共有多少不同的裝法?

解析：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元素,共有C=10(種)方法;再把4個(gè)元素(包含1個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),有A=24(種)方法。由分步計(jì)數(shù)原理知,裝球的方法共有CA=240(種)。

小結(jié)：解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想,此法與相鄰元素捆綁策略相似。

九、小集團(tuán)問(wèn)題，先整體后局部策略

例12用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中恰有2個(gè)偶數(shù)夾在1,5這2個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)?

解析：把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有A=2(種)排法,再排小集團(tuán)內(nèi)部共有AA=4(種)排法。由分步計(jì)數(shù)原理知,共有AAA=8(種)排法。

小結(jié)：小集團(tuán)排列問(wèn)題中,先整體后局部,再結(jié)合其他策略進(jìn)行處理。

十、元素相同問(wèn)題，隔板策略

解析：10個(gè)名額沒(méi)有差別,把它們排成一排,相鄰名額之間形成9個(gè)空隙,在9個(gè)空隙中選6個(gè)位置插個(gè)隔板,可把名額分成7份,對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí),每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法,共有C=84(種)分法。

例14(2015年北京海淀區(qū)二模)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì),每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛?，F(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車,并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛,那么共有__種不同的抽調(diào)方法。

解析：由于每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛,只需將10個(gè)份額分成7份。相當(dāng)于,將10個(gè)小球排成一排,在相互之間的9個(gè)空當(dāng)中插入6個(gè)隔板,即將小球分成7份,故共有C=84(種)抽調(diào)方法。

小結(jié)：將n個(gè)相同的元素分成m份(n,m為正整數(shù)),每份至少1個(gè)元素,可以用m-1塊隔板,插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中,所有分法數(shù)為

十一、正難則反，總體淘汰策略

例15(2013年四川卷)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中,每次取出2個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個(gè)數(shù)是( )。

A.9 B.10 C.18 D.20

解析：lga-lgb=lg,從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)分別記為a,b,共有A=20(種)結(jié)果,其中,故共可得到不同值的個(gè)數(shù)為20-2=18。應(yīng)選C。

例16某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁4位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,要求每位同學(xué)僅報(bào)一科,每科至少有一位同學(xué)參加,且甲、乙不能參加同一學(xué)科,則不同的安排方法有__種。

解析：把四位同學(xué)分成3組,有C=6(種)分法,然后進(jìn)行全排列,即CA=36,去掉甲、乙在同一組的情況。當(dāng)甲、乙在一個(gè)組時(shí),參加的方式有A=6(種),故符合題意的安排方法為36-6=30(種)。

小結(jié)：有些排列、組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰。

十二、平均分組問(wèn)題，除法策略

例176本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本,共有多少種分法?

解析：分三堆,有CCC種方法。但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,該分法記為(AB,CD,EF),則有CCC種分法。但(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有CCC/A=15(種)分法。

例18將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組,若甲小組至少2人,乙、丙組至少1人,則不同的分配方案種數(shù)為( )。

A.80 B.120 C.140 D.50

解析：先將5名同學(xué)分成3組,有兩種分配方案：一是3組人數(shù)分別為2,2,1,分組方法有=15(種),然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙,分配方法是15×(A+A)=60(種);二是3組人數(shù)分別為3,1,1,分組方法有=10(種),然后將1人的兩組分給乙、丙兩組,分配方法是10×A=20(種)。故共有60+20=80(種),選A。

小結(jié)：平均分組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以A(n為均分的組數(shù)),避免重復(fù)計(jì)數(shù)。

十三、合理分類與分步策略

例19(2012年陜西卷)兩人進(jìn)行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負(fù)為止,則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )。

A.10種 B.15種

C.20種 D.30種

解析：由題意知比賽局?jǐn)?shù)至少為3局,至多為5局。當(dāng)局?jǐn)?shù)為3局時(shí),情況為甲或乙連贏3局,有2種情況;當(dāng)局?jǐn)?shù)為4局時(shí),若甲贏,則前3局中甲贏2局,最后一局甲贏,共有C=3(種)情況,同理,若乙贏,也有3種情況,共有3+3=6(種)情況;當(dāng)局?jǐn)?shù)為5局時(shí),前4局,甲、乙各贏2局,最后1局勝出的人贏,共有2C=12(種)情況。

綜上可知,共有2+6+12=20(種)情況,選C。

例20(2015年天津五區(qū)縣一模)如圖1,用4種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法有( )。

A.288種 B.264種

C.240種 D.168種

解析：方法一,先涂A,D,E三個(gè)點(diǎn),共有4×3×2=24(種)涂法,然后再按B,C,F的順序涂色,分為兩類：一類是B與E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8(種)涂法;另一類是B與E或D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3(種)涂法。

圖1

所以涂色方法共有24×(8+3)=264(種),選B。

方法二,按使用顏色種數(shù)分類：

①三色涂完,必然兩兩同色,即A與C,B與E,D與F或A與F,B與D,C與E,有2A=48(種)涂法;

綜上,涂色方法共有48+216=264(種),選B。

小結(jié)：解含有約束條件的排列、組合問(wèn)題,可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事件發(fā)生的過(guò)程分步,做到標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿解題過(guò)程的始終。

十四、構(gòu)造模型策略

例21馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種。

解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型,在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈,有C=10(種)關(guān)法。

小結(jié)：一些不易理解的排列組合題,如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊(duì)模型,裝盒模型等,就可使問(wèn)題直觀解決。

十五、實(shí)際操作窮舉對(duì)應(yīng)策略

例22設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的5個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的5個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這5個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放1個(gè)球,并且恰好有2個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法?

解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有C=10(種)方法。還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng),利用實(shí)際操作法,如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒,3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí),則4,5號(hào)球有只有1種裝法,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2C=20(種)裝法。

小結(jié)：對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題,不易用公式進(jìn)行運(yùn)算,可利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖,會(huì)收到意想不到的結(jié)果。

十六、分解與合成策略

例2330030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除?

解析：把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13。

依題意可知,偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積,所有的偶因數(shù)為：C+C+C+C+C=31。

例24正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線?

解析：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四面體,共有C-12=58(種)方法。每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3×58=174(對(duì))異面直線。

例25(2014年安徽卷)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為1對(duì),其中所成的角為60°的共有( )。

A.24對(duì) B.30對(duì)

C.48對(duì) D.60對(duì)

解析：方法一：與正方體的一個(gè)面上的一條對(duì)角線成60°角的對(duì)角線有8條,故共有8對(duì),正方體的12條面對(duì)角線共有8×12=96(對(duì)),且每對(duì)均重復(fù)計(jì)算一次,故有=48(對(duì))對(duì)角線滿足題意。

方法二：正方體的面對(duì)角線共有12條,兩條為一對(duì),共有12×11÷2=66(對(duì))。同一面上的對(duì)角線不滿足題意,對(duì)面的面對(duì)角線也不滿足題意,一組平行平面共有6對(duì)不滿足題意的對(duì)角線對(duì)數(shù),所以不滿足題意的共有3×6=18(對(duì))。從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60°的共有66-18=48(對(duì))。

小結(jié)：分解與合成策略是排列、組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略。

十七、化歸策略

例2625人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種?

解析：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法?這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉,如此繼續(xù)下去。從3×3方隊(duì)中選3人的方法有CCC=6(種)。再?gòu)?×5方陣選出3×3方陣便可解決問(wèn)題,從5×5方隊(duì)中選取3行3列有CC=100(種)選法,所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有CCCCC=600(種)選法。

例27(2016年新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖2,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )。

圖2

A.24 B.18 C.12 D.9

解析：由題意知,從E到F的最短路徑走4步,其中必須向右2步,故從E到F的最短路徑有C=6(條),從F到G的最短路徑走3步,其中必須向右2步,故從F到G的最短路徑有C=3(條),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有6×3=18(條)最短路徑,選B。

小結(jié)：處理復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題時(shí),可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題,通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題的解決找到解題方法,從而進(jìn)一步解決原來(lái)的問(wèn)題。

十八、數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略

例28(2015年四川卷)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有( )。

A.144個(gè) B.120個(gè)

C.96個(gè) D.72個(gè)

解析：首位是4時(shí),比40000大的偶數(shù)有2×4×3×2=48(個(gè));首位是5時(shí),比40000大的偶數(shù)有3×4×3×2=72(個(gè))。

綜上,共有48+72=120(個(gè))滿足題意的數(shù),選B。

小結(jié)：數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。

十九、住店法策略

例297名同學(xué)爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍,每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得,獲得冠軍的可能的種數(shù)為_(kāi)_。

解析：因同一同學(xué)可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍,故同學(xué)可重復(fù)排列,將7名學(xué)生看作7家“店”,五項(xiàng)冠軍看作5名“客”,每個(gè)“客”有7種住宿法,由乘法原理知,有75種可能。

小結(jié)：解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù),另一類不能重復(fù),把不能重復(fù)的元素看作“客”,能重復(fù)的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。

排列、組合是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),同學(xué)們只要對(duì)基本的解題策略熟練掌握,就可以選取不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題。對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來(lái)應(yīng)用,把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。請(qǐng)對(duì)以上排列、組合的幾種常見(jiàn)的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固,做到舉一反三,觸類旁通,進(jìn)而為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

注：本文為泉州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃(第二批)課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐研究》(課題編號(hào)：QG1352-111)的研究成果。