常白雪，鄭志軍，趙 凱，何思淵，虞吉林

（1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230026；2.西安交通大學(xué)航天學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；3.東南大學(xué)生物科學(xué)與醫(yī)學(xué)工程學(xué)院生物電子學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096）

多胞材料具有高孔隙率、可變形量大和輕量化特征以及超強(qiáng)的能量吸收能力，廣泛地應(yīng)用于汽車、航空航天和鐵路等領(lǐng)域。在動(dòng)態(tài)壓縮情形下，多胞材料具有明顯的變形局部化特征和應(yīng)力增強(qiáng)現(xiàn)象[1-3]，可以很好地提高結(jié)構(gòu)的耐撞性。如何優(yōu)化設(shè)計(jì)多胞材料以滿足結(jié)構(gòu)耐撞性要求，是近幾年結(jié)構(gòu)沖擊領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

多胞材料的準(zhǔn)靜態(tài)名義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)明顯的三段式特征：彈性段、長(zhǎng)而穩(wěn)定的平臺(tái)段和壓實(shí)段?；诖颂卣?，Reid等[1]提出了剛性-塑性-鎖定（R-PP-L）模型，并發(fā)展了一維沖擊波模型以表征多胞材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為。Gibson等[4]定量化給出了R-PP-L模型中多胞材料的平臺(tái)應(yīng)力和鎖定應(yīng)變與相對(duì)密度和基體材料屈服應(yīng)力的關(guān)系。該理論已被應(yīng)用于研究不同相對(duì)密度和強(qiáng)度分布下梯度多胞材料的吸能能力和峰值應(yīng)力[5-10]。然而，R-PP-L模型只滿足對(duì)多胞材料力學(xué)性能的一階近似，Zheng等[11]提出了更為精確的剛性-塑性硬化（R-PH）模型，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫作

式中：σ0和C分別為初始?jí)簼?yīng)力和應(yīng)變硬化參數(shù)，這兩個(gè)材料參數(shù)與多胞材料的相對(duì)密度相關(guān)[12-13]。Ding等[14]發(fā)現(xiàn)基于R-PH模型可以更好地指導(dǎo)爆炸犧牲層的設(shè)計(jì)。

隨著更為精確的多胞材料本構(gòu)模型的提出，梯度多胞材料的動(dòng)態(tài)變形機(jī)理的研究也趨于完善。但多數(shù)研究停留在討論不同梯度多胞材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能上，分析具有不同密度和強(qiáng)度分布的多胞模型的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能[15-21]。只通過觀察比較其力學(xué)響應(yīng)，選擇滿足耐撞性的要求的梯度模型，無(wú)法直接達(dá)到最優(yōu)化的目的。Yang等[13]首次提出了梯度多胞材料的耐撞性反向設(shè)計(jì)理論，直接設(shè)定物體沖擊力要求，反向設(shè)計(jì)多胞材料的密度分布，并利用三維細(xì)觀有限元模擬驗(yàn)證其有效性。不過，該耐撞性反向設(shè)計(jì)理論無(wú)顯式解，Yang等[13]運(yùn)用四階龍格庫(kù)塔法獲得了數(shù)值解。常白雪等[22]利用該理論對(duì)二維Voronoi模型進(jìn)行耐撞性反向設(shè)計(jì)，并提出了該理論的簡(jiǎn)單而方便的漸近解。由于二維隨機(jī)蜂窩與三維閉孔胞元的結(jié)構(gòu)差異，針對(duì)于二維模型提出的漸近解，無(wú)法適用于三維多胞構(gòu)型的耐撞性設(shè)計(jì)需求，而對(duì)于閉孔多胞構(gòu)型的耐撞性設(shè)計(jì)理論的近似解尚未提出。

本文中進(jìn)一步研究了質(zhì)量塊以特定的初速度撞擊梯度閉孔泡沫金屬桿的理論模型和有限元模擬：通過討論物體沖擊過程中受載恒定的耐撞性要求，對(duì)梯度多胞材料耐撞性反向設(shè)計(jì)理論進(jìn)行簡(jiǎn)化。針對(duì)閉孔泡沫金屬，擬合R-PH模型中初始?jí)簼?yīng)力和應(yīng)變硬化參數(shù)與相對(duì)密度的關(guān)系；運(yùn)用級(jí)數(shù)法，求解耐撞性反向設(shè)計(jì)理論，獲得梯度多胞材料的密度分布；利用變胞元尺寸法和三維隨機(jī)Voronoi技術(shù)，生成特定密度分布的梯度閉孔多胞模型；利用有限元軟件ABAQUS/Explicit模塊計(jì)算，獲取沖擊力結(jié)果驗(yàn)證設(shè)計(jì)的有效性，并與均勻密度分布的多胞材料結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，討論合理的密度分布設(shè)計(jì)的必要性。

1 理論與方法

1.1 R-PH模型的材料參數(shù)

式中：ρ為相對(duì)密度，σys為基體材料的屈服應(yīng)力，k1和k2為擬合參數(shù)，分別為1.166和0.115。

圖1(a) 不同相對(duì)密度下閉孔泡沫模型的準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.1(a) Nominal stress-strain relations of closed-cell foam models with different relative densities

圖1(b) 無(wú)量綱初始?jí)簼?yīng)力和應(yīng)變硬化參數(shù)與多胞模型相對(duì)密度的冪律關(guān)系[13]Fig.1(b) Power-law fitting of material parameters of the R-PH idealization with relative density[13]

1.2 耐撞性設(shè)計(jì)模型及其漸近解

在質(zhì)量塊初速度沖擊梯度泡沫金屬材料的過程中，為保護(hù)物體安全，且平穩(wěn)減速，須控制物體在沖擊過程中受沖擊載荷恒定且低于物體耐受載荷。因而，梯度泡沫金屬桿需根據(jù)耐撞性要求進(jìn)行特定的相對(duì)密度分布設(shè)計(jì)。針對(duì)二維隨機(jī)蜂窩模型的耐撞性反向設(shè)計(jì)中，常白雪等[22]提出了控制質(zhì)量塊沖擊梯度多胞金屬桿過程中受載恒定的相對(duì)密度分布漸近解，通過二維細(xì)觀有限元模擬驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的有效性，并指出特定的相對(duì)密度分布只適用于特定的沖擊情形。對(duì)于閉孔梯度泡沫材料，Yang等[13]提出了耐撞性反向設(shè)計(jì)理論，通過四階龍格庫(kù)塔法，針對(duì)于控制沖擊過程中質(zhì)量塊受載恒定、線性遞增和線性遞減的耐撞性要求，獲得了相對(duì)密度分布的數(shù)值解，但未給出可方便實(shí)際工程應(yīng)用的公式解。本文中針對(duì)物體受載恒定的耐撞性要求，對(duì)耐撞性反向設(shè)計(jì)理論進(jìn)行簡(jiǎn)化，運(yùn)用級(jí)數(shù)法，求得相對(duì)密度分布的漸近解。

考慮一質(zhì)量為M的物塊以沖擊速度ν0撞擊橫截面面積為A0的閉孔泡沫金屬桿，被保護(hù)質(zhì)量塊在整個(gè)沖擊過程中受載恒定，額定受載力為F0。沖擊過程中質(zhì)量塊的速度為ν=ν0-a0t，其中a0=F0/M為沖擊物體的加速度，t為沖擊時(shí)間。沖擊的總時(shí)間T0=Mν0/F0，特征長(zhǎng)度L0=Mν02/F0。根據(jù)Yang等[13]的耐撞性反向設(shè)計(jì)理論，當(dāng)沖擊載荷為恒定值時(shí)，該理論可以簡(jiǎn)化為

式中：ρ為泡沫金屬材料相對(duì)密度，ρs為基體材料密度，Φ為沖擊波陣面位置，撇號(hào)表示對(duì)ρ的導(dǎo)數(shù)，考慮到相對(duì)密度、長(zhǎng)度、沖擊速度和時(shí)間的特征量，定義無(wú)量綱量：

式中：ρ0為沖擊端的相對(duì)密度。此時(shí)，式(3)可以進(jìn)一步寫作：

式中利用級(jí)數(shù)法，可以求得漸近解：

式中：一階系數(shù)和二階系數(shù)分別為：

和

我們不難得到，在點(diǎn)A和點(diǎn)B的共同作用下，動(dòng)線段上的點(diǎn)C、D、E均作直線型運(yùn)動(dòng)，且可以根據(jù)相關(guān)的比例關(guān)系及A、B的狀態(tài)來(lái)確定它們的運(yùn)動(dòng)速度和方向.

梯度泡沫金屬桿沖擊端的初始相對(duì)密度ρ0可以由一維塑性沖擊波模型給出：

在質(zhì)量塊沖擊過程中，相對(duì)密度單調(diào)遞增變化的梯度泡沫金屬桿中塑性壓潰波的傳播滿足一維沖擊波假設(shè)，且質(zhì)量塊隨波后壓實(shí)區(qū)同步運(yùn)動(dòng)，即速度一致[13,22]，波后壓實(shí)區(qū)應(yīng)力記為σB。根據(jù)應(yīng)力波理論和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，如文獻(xiàn)[22]，可以獲得：

根據(jù)漸近求解的相對(duì)密度分布和對(duì)應(yīng)的沖擊情形代入上式，可以獲得沖擊力等參量隨時(shí)間的變化。

1.3 梯度泡沫金屬材料的數(shù)值建模

變胞元尺寸法可用于生成壁厚均一且密度分布連續(xù)變化的二維或三維的隨機(jī)Voronoi細(xì)觀有限元模型[6-7,13]。與基于六角蜂窩構(gòu)型的二維多胞模型的撒點(diǎn)規(guī)則不同，三維多胞結(jié)構(gòu)的撒點(diǎn)規(guī)則是基于卡爾文十四面體提出的。Yang等[13]基于均勻三維Voronoi結(jié)構(gòu)引入了新的撒點(diǎn)規(guī)則，在一定區(qū)域內(nèi)隨機(jī)撒點(diǎn)，通過已知的相對(duì)密度分布和壁厚，控制任意兩個(gè)相鄰成核點(diǎn)i和j之間的間距不小于當(dāng)前位置的最小許可間距，記為

式中：h為胞元胞壁厚度，k為胞元不規(guī)則度，ρ（xij，yij，zij）為i和j兩核點(diǎn)連線中點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的相對(duì)密度。本文中只考慮x方向上的相對(duì)密度分布，xij=（xi+xj）/2，其他兩個(gè)方向相對(duì)密度均勻分布。

梯度泡沫金屬的基體材料模型和參數(shù)與文獻(xiàn)[13]一致。基體材料假設(shè)為彈性-理想塑性，其密度ρs=2 700 kg/m3，楊氏模量Es=69 GPa，泊松比ν=0.3，屈服應(yīng)力σys=165 MPa。采用殼單元S3R劃分胞壁網(wǎng)格，通過網(wǎng)格收斂性分析[11]，其殼單元的特征尺寸大小為約0.3 mm。梯度泡沫材料細(xì)觀有限元模型的橫截面為正方形，其面積A0=30×30 mm2。模型中所有可能的接觸設(shè)置為摩擦因數(shù)為0.02的通用接觸，沖擊加載示例見圖2。

圖2 質(zhì)量塊沖擊梯度多胞桿Fig.2 A diagram of 3D graded Voronoi models under mass impact

2 結(jié)果與討論

2.1 梯度泡沫金屬材料相對(duì)密度分布的設(shè)計(jì)

上文已經(jīng)給出了恒定沖擊力耐撞性反向設(shè)計(jì)理論的一階和二階近似解，本文中采用與Yang等[13]沖擊情形一致：沖擊物體質(zhì)量M=50 g，初始沖擊速度ν0=100 m/s，額定受力為F0=7.5 kN。由此可得，特征時(shí)間T0=66.7 ms，特征長(zhǎng)度L0=66.7 mm。沖擊端相對(duì)密度為0.086 9。參數(shù)則有漸近解中的系數(shù)為a1=0.570和a2=0.191。

通過已獲得的上述參數(shù)表征相對(duì)密度分布，并與Yang等[13]的結(jié)果進(jìn)行比較驗(yàn)證。根據(jù)初始?jí)簼?yīng)力與相對(duì)密度的關(guān)系，獲得相對(duì)密度梯度分布的漸近解，將Yang等[13]的數(shù)值結(jié)果作為精確解進(jìn)行對(duì)比，如圖3(a)所示。漸近解與精確解在沖擊端的相對(duì)密度有小量差距。漸近解的結(jié)果0.086 9與精確解的結(jié)果0.085 0相比，相對(duì)誤差約為2%，可以忽略。比較漸近解與精確解給出的相對(duì)密度分布表明，一階近似解只是線性近似，沖擊端附近差異較小，越靠近遠(yuǎn)端與精確解差異越大；二階近似解的整體差異相比較小，沖擊端附近稍大于精確解，遠(yuǎn)端附近稍小于精確解。

結(jié)合應(yīng)力波理論和牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，理論預(yù)測(cè)特定密度分布的梯度泡沫金屬材料的力學(xué)行為。將相對(duì)密度分布和特定沖擊情形代入公式進(jìn)行理論預(yù)測(cè)，運(yùn)用四階龍格庫(kù)塔法求解，可以獲得沖擊力、速度和波陣面位置隨時(shí)間的演化過程。通過觀察沖擊力隨時(shí)間的演化過程，二階近似和精確解模型的結(jié)果與耐撞性額定沖擊力值非常吻合，而一階近似模型結(jié)果初期吻合較好，后期差別較大，如圖3(b)所示。通過沖擊速度降為0時(shí)確定波陣面?zhèn)鞑ネＶ沟奈恢?，獲得梯度泡沫金屬桿的長(zhǎng)度分別為：69.4 mm（一階近似模型）和65.9 mm（二階近似模型）。精確解給出的梯度泡沫金屬桿的長(zhǎng)度為66.3 mm，如圖4(b)所示。通過理論預(yù)測(cè)，二階近似解具有足夠的精度，可用于設(shè)計(jì)具有恒定沖擊載荷的梯度泡沫金屬材料細(xì)觀有限元模型的相對(duì)密度分布。

圖3 相對(duì)密度分布的漸近解和沖擊載荷歷程的理論預(yù)測(cè)值Fig.3 Theoretical predictions of asymptotic solutions of relative density distribution and the history curves of impact force

圖4 沖擊速度與沖擊波波陣面位置的歷史曲線Fig.4 Evolution history of impact velocity and location of shock front

2.2 有限元模擬結(jié)果

基于已獲得的相對(duì)密度梯度分布，利用變胞元尺寸法，生成梯度泡沫金屬桿的細(xì)觀有限元模型，并生成均勻密度分布的泡沫金屬細(xì)觀有限元模型作對(duì)比。均勻密度模型與二階近似密度梯度模型的整體尺寸一致，平均相對(duì)密度一致，相對(duì)密度為0.117，三維Voronoi模型如圖5所示。取中軸面x=15mm處剖面圖觀察其變形過程，可以發(fā)現(xiàn)一階近似和二階近似模型在剛性板的沖擊過程中，以逐層壓潰變形模式為主，在密度較小端胞元開始發(fā)生壓潰，并形成一道較為穩(wěn)定的塑性沖擊波向遠(yuǎn)端傳播，如圖6(a)～(b)。而對(duì)于均勻密度分布的細(xì)觀有限元模型，其撞擊初始變形以沖擊端胞元壓潰為主，形成一道向遠(yuǎn)端傳播的沖擊波。隨著剛性板的繼續(xù)推進(jìn)，由于端部效應(yīng)，桿內(nèi)應(yīng)力波在固支端反射加強(qiáng)，其應(yīng)力超過了支撐端部分胞元的初始?jí)簼?yīng)力，隨即發(fā)生壓潰變形。由于沖擊情形為質(zhì)量塊初速度撞擊，沖擊能量有限，端部反射波只能使得少量胞元發(fā)生壓潰，并不能使得該壓潰波傳播很遠(yuǎn)，最終壓潰帶寬度約為3～4個(gè)胞元直徑，如圖6(c)。比較密度均勻和梯度分布多胞模型變形圖，發(fā)現(xiàn)合理地設(shè)計(jì)相對(duì)密度分布，可以有效地控制壓潰波的形成和傳播。

圖5 密度梯度多胞桿細(xì)觀有限元模型Fig.5 Cell-based finite element models of density gradient cellular rods

圖6 梯度多胞細(xì)觀有限元模型中軸剖面變形圖Fig.6 Deformation patterns of cell-based finite element models in the middle section of the density gradient cellular rods perpendicular to x-axis

梯度泡沫金屬桿沖擊端發(fā)生局部化壓潰，產(chǎn)生塑性沖擊波向遠(yuǎn)端傳播。波前未壓實(shí)區(qū)應(yīng)力和速度分別為為σ0和0，其中初始?jí)簼?yīng)力為σ0(ρ(Φ(t)))=s0ρ3/2，即當(dāng)前t時(shí)刻波陣面位置處對(duì)應(yīng)的初始?jí)簼?yīng)力，則支撐端力Fsup=A0σ0。有限元計(jì)算的支撐端和沖擊端力的結(jié)果與相對(duì)密度分布精確解模型的理論預(yù)測(cè)結(jié)果比較見圖7。有限元計(jì)算的結(jié)果出現(xiàn)震蕩，其原因?yàn)椋簞傂园宄跏冀佑|階段，試件和剛性板間的罰函數(shù)接觸算法會(huì)導(dǎo)致震蕩；后期頻率較高的震蕩為胞壁內(nèi)部的彈性波來(lái)回傳播及交互作用導(dǎo)致的；后期低頻且幅值較大的震蕩是由于胞元的失穩(wěn)壓潰產(chǎn)生的。一階近似下的有限元模型的計(jì)算結(jié)果與理論預(yù)測(cè)值比較：初始階段有限元計(jì)算的沖擊力結(jié)果偏高于額定沖擊力，后逐漸趨于額定值并重合；有限元計(jì)算的支撐端力結(jié)果與理論預(yù)測(cè)結(jié)果初期呈遞增趨勢(shì)，初始階段有限元計(jì)算的結(jié)果高于理論預(yù)測(cè)值，上升斜率較小，后逐漸低于理論預(yù)測(cè)值，整體相比差異明顯。二階近似下的有限元模型的計(jì)算結(jié)果與理論預(yù)測(cè)值比較表明，沖擊力結(jié)果整體維持較為穩(wěn)定的狀態(tài)，在某一恒定值附近震蕩，其值稍大于額定設(shè)計(jì)值；支撐端力結(jié)果與理論預(yù)測(cè)值初期都呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，初始階段有限元計(jì)算結(jié)果稍高于理論預(yù)測(cè)值，后逐漸趨于理論預(yù)測(cè)值，整體偏高。二階近似模型相比于一階近似模型可以很好地控制沖擊力在某一恒定值附近震蕩，其值偏高于額定值，與Yang等[13]的結(jié)果基本一致，如圖8(a)所示。這表明二階近似解可以很好地表征精確解，而一階近似解的精度不夠。初始?jí)簼?yīng)力與相對(duì)密度3/2次冪的關(guān)系可以應(yīng)用于指導(dǎo)梯度泡沫材料的耐撞性設(shè)計(jì)。

與二階近似模型結(jié)果對(duì)比，均勻密度分布的泡沫金屬模型的沖擊力結(jié)果具有明顯的峰值且高于額定載荷，后隨時(shí)間衰減。由于沖擊初期，質(zhì)量塊沖擊速度最高，沖擊端相對(duì)密度（0.117）大于二階近似模型（0.086 9），其初始?jí)簼?yīng)力和應(yīng)變硬化參數(shù)較高，使得初期沖擊力明顯高于二階近似模型，如圖8(a)所示。隨沖擊速度的降低，其對(duì)應(yīng)的沖擊力也相應(yīng)減小，出現(xiàn)明顯的沖擊力峰值后衰減，而二階近似模型相對(duì)密度單調(diào)遞增，補(bǔ)償了因速度衰減對(duì)沖擊力的影響，很好地控制了沖擊力的穩(wěn)定演化。觀察物體沖擊速度隨時(shí)間的衰減過程發(fā)現(xiàn)，有限元模擬結(jié)果要比理論預(yù)測(cè)衰減偏快，用時(shí)稍短。以沖擊速度降為0時(shí)表征沖擊結(jié)束，一階和二階近似模型實(shí)際沖擊時(shí)間分別為0.64 ms和0.62 ms，而均勻密度分布模型速度衰減得最快且不穩(wěn)定，沖擊時(shí)間為0.56 ms，耗時(shí)最短，如圖8(b)所示。合理地優(yōu)化梯度泡沫金屬材料相對(duì)密度的分布，對(duì)于控制質(zhì)量塊沖擊力是必要的。

圖7 沖擊端和支撐端載荷理論預(yù)測(cè)與有限元計(jì)算結(jié)果的比較Fig.7 Comparisons of impact force and support force curves history between theoretical predictions and finite element (FE) results

圖8 有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparisons of finite element (FE) results

圖7和圖8中有限元模擬的結(jié)果偏高于理論預(yù)測(cè)值，可能原因是本文中采用的沖擊波模型未考慮多胞材料的率敏感性影響，初始?jí)簼?yīng)力和應(yīng)變硬化參數(shù)均使用準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系擬合得到，導(dǎo)致理論值低估有限元模擬的結(jié)果。已有研究表明，即使在未考慮基體材料應(yīng)變率效應(yīng)的影響下，多胞材料的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與準(zhǔn)靜態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有明顯的不同。Zheng等[11]發(fā)現(xiàn)了泡沫金屬一種特有的率敏感性——“沖擊速率敏感性”，即多胞材料動(dòng)態(tài)壓實(shí)區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)對(duì)應(yīng)于特定的沖擊速度，不同沖擊速度下的狀態(tài)點(diǎn)可以用一條曲線描述，該曲線可用于表征多胞材料動(dòng)態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。通過比較動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和準(zhǔn)靜態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系發(fā)現(xiàn)，動(dòng)態(tài)初始?jí)簼?yīng)力高于準(zhǔn)靜態(tài)初始?jí)簼?yīng)力，而動(dòng)態(tài)應(yīng)變硬化參數(shù)小于準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變硬化參數(shù)。Ding等[23]和Wang等[24]進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)了泡沫金屬的初始?jí)簼?yīng)力具有應(yīng)變率敏感性，在應(yīng)變率高到一定程度后二者有冪率關(guān)系。因而，后期研究中可以考慮泡沫金屬材料率敏感性的影響，以提高設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確度。在實(shí)驗(yàn)研究方面，He等[25]提出了通過控制水冷前發(fā)泡時(shí)間可以制備連續(xù)密度梯度變化的閉孔泡沫金屬，將有助于后期耐撞性反向設(shè)計(jì)理論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

3 結(jié) 論

本文中基于一維率無(wú)關(guān)剛性-塑性硬化（R-PH）模型，獲得了泡沫金屬的初始?jí)簼?yīng)力和應(yīng)變硬化參數(shù)與相對(duì)密度呈3/2次冪的關(guān)系。針對(duì)于恒定沖擊力的耐撞性要求，對(duì)梯度泡沫金屬的耐撞性反向設(shè)計(jì)理論進(jìn)行簡(jiǎn)化，運(yùn)用級(jí)數(shù)法，獲得了閉孔梯度泡沫金屬材料相對(duì)密度分布的漸近解，與Yang等[13]的精確解進(jìn)行了比較。通過理論結(jié)果的比較發(fā)現(xiàn)：兩者初始相對(duì)密度具有微小差異，但可以忽略；一階近似解是對(duì)精確解的線性近似，誤差較大；二階近似與精確解吻合較好。通過沖擊力理論預(yù)測(cè)判斷，二階近似密度分布可以達(dá)到恒定沖擊力要求，而一階近似結(jié)果在后期無(wú)法確保沖擊力維持恒值。根據(jù)相對(duì)密度分布的漸近解，設(shè)計(jì)三維梯度細(xì)觀有限元模型并進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。通過與數(shù)值模擬結(jié)果的比較發(fā)現(xiàn)：二階近似模型沖擊力一直維持較為穩(wěn)定的恒定沖擊力，很好地滿足了恒定沖擊載荷的耐撞性要求；一階近似模型沖擊力無(wú)法維持較為穩(wěn)定的載荷；均勻密度分布的多胞模型沖擊力具有明顯的峰值，后隨時(shí)間衰減。相比均勻密度多胞材料，單調(diào)遞增的二階近似密度梯度設(shè)計(jì)，合理地分配密度的強(qiáng)弱，控制載荷穩(wěn)定演化，使得速度平穩(wěn)降低，提高了撞擊過程物體的穩(wěn)定性。綜上所述，耐撞性反向設(shè)計(jì)理論簡(jiǎn)化模型的漸近解對(duì)于梯度閉孔泡沫材料的耐撞性設(shè)計(jì)是有效的，所提出的耐撞性設(shè)計(jì)方法在控制沖擊吸能過程和沖擊物受載方面具有指導(dǎo)意義。