王建民 李德俊

摘 要：《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的課程目標中明確指出，要提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).本文基于二項式定理第一課時的課堂教學，以“魚”與“漁”兩種不同的教學設(shè)計理念，展示了兩種不同的教學設(shè)計，揭示了通過加強過程教學促進學生思維發(fā)展的實踐價值，提出了要關(guān)注真實教學情境、提升數(shù)學核心素養(yǎng)開展教學設(shè)計的觀點。

關(guān)鍵詞：數(shù)學課堂教學；魚與漁；二項式定理；數(shù)學核心素養(yǎng)

一、 貫穿數(shù)學“魚”的二項式定理教學設(shè)計

【問題1】請同學們利用多項式乘法的運算法則（多項式乘法公式）將下列各式展開并觀察每一項是由哪幾個字母組成？

（1）（a1+b1）（a2+b2） （2）（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3） （3）（a+b）2 （4）（a+b）3

【預(yù)設(shè)回答】（1）原式=a1a2+a1b2+b1a2+b1b2

（2）原式=a1a2a3+a1a2b3+a1b2a3+a1b2b3+b1a2a3+b1a2b3+b1b2a3+b1b2b3

（3）原式=a2+2ab+b2

（4）原式=a3+3a2b+3ab2+b3

歸納后提出下面的問題

【問題2】猜想（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）（a4+b4）運算后每一項由幾個字母相乘？有多少項？猜想（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）…（an+bn）運算后每一項由幾個字母相乘？會有多少項？

【預(yù)設(shè)回答】每一項由4個字母相乘，利用列舉的方式將（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）（a4+b4）展開后每一項表達出來。

歸納出（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）…（an+bn）的乘法運算是將每一個因式中分別取出一個字母相乘，每一個因式都有2種取法，取完所有字母需要分成n個步驟，所以共有2n項。

【問題3】猜想（a+b）4展開后有多少項？每一項是如何構(gòu)成的？

【預(yù)設(shè)回答】（a+b）4展開后有5項，由a4、a3b、a2b2、ab3、b4構(gòu)成。

【問題4】（a+b）4展開式中的各項系數(shù)又是如何呢？

于是教師引導學生類比問題2的解答過程看看有何發(fā)現(xiàn)？此時不少學生開始動手計算并陸續(xù)獲得啟發(fā)。學生歸納出（a+b）4展開式的各項系數(shù)。但是，并沒有發(fā)現(xiàn)其中的組合數(shù)原理。課堂中遇到了學生難以突破的問題。

教師進一步引導（a+b）3的展開式中a3b這一項的系數(shù)是由（a+b）3的3個因式中取1個b其余因式取a得到，即C13

【問題5】（a+b）n展開式如何？

【預(yù)設(shè)回答】（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn

二、 基于數(shù)學“漁”的二項式定理教學設(shè)計

【課前導語】今天我們來學習二項式定理。什么是二項式定理呢？即：（a+b）n=……的展開式。（a+b）n=……的展開式是一個等式，到底是一個什么樣的等式？這節(jié)課我們主要就是研究這個等式是什么。如何去研究這樣的等式呢？你又有怎樣的經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

（學生經(jīng)過思考，小聲議論著可以將（a+b）n中的n進行賦值可將n=2這樣就可以研究（a+b）2，然而（a+b）2=a2+2ab+b2即為一個等式）

【問題1】你能證明等式（a+b）2=a2+2ab+b2成立嗎？

（有些疑惑……這是常用的完全平方公式還需要證明嗎？會有學生想起來初中學過的利用矩形的面積證明完全平方公式成立）

【問題2】要是當n=3時，利用矩形的面積還能證明（a+b）3成立嗎？那么，這種方法只能證明（a+b）2=a2+2ab+b2等式成立，我們要實現(xiàn)（a+b）n=……這個等式就無法達成。（學生表示認同，但是，不太知道該如何解決，陷入沉思……）

（a+b）2可以看成（a+b）（a+b），在2個因式（括號）中各取一個字母相乘得到等式右邊的一項，其中第一個因式中取a，第二因式中取b得到因式ab，另外，第一個因式取b，第二個因式取a得到因式ba，ab與ba屬于同類項，合并之后得到2ab這一項。換言之，從兩個因式中各取一個字母，取到一個a，一個b有C12=2種取法，所以，（a+b）2=a2+2ab+b2的等式右邊ab的系數(shù)為2。

（同學們的想法非常好！不僅說明了等式的成立，而且運用了我們剛剛學習過的組合數(shù)計數(shù)模型）

【問題3】請同學們猜想一下（a+b）3展開式中a2b這一項的系數(shù)應(yīng)該是什么？對于（a+b）3看以看成3個（a+b）相乘，每個因式中取一個字母，而a2b相當于3個（a+b）因式中有一個因式取b，剩余兩個因式取a，哪個因式取b有C13=3種不同的取法。

【問題4】請同學們根據(jù)前面學習的經(jīng)驗猜想一下（a+b）n的展開式的右邊應(yīng)該是什么樣？（學生先自己獨立思考，然后進行交流）

得出（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn

這樣的課堂教學凸顯了數(shù)學課堂的“漁”。首先，課前導入直接明確二項式定理展開為一個等式，明確了本節(jié)課是研究代數(shù)式的等量關(guān)系。其次通過對n的賦值以及（a+b）3中a2b的系數(shù)探究，是利用特殊到一般的推理過程，也是落實邏輯推理學科素養(yǎng)的體現(xiàn)。并且在應(yīng)用已學過的數(shù)學知識（完全平方公式）演繹推理要學習的知識恰好是數(shù)學的應(yīng)用。體現(xiàn)了在學習數(shù)學中應(yīng)用數(shù)學完成數(shù)學學科素養(yǎng)的落實。最后，在二項式定理證明過程中應(yīng)用了計數(shù)原理的組合數(shù)模型，更是滲透數(shù)學建模的學科素養(yǎng)。數(shù)學中的“漁”是新課堂教學改革所提倡的，數(shù)學中的“魚”更是解決問題所需要的。數(shù)學課堂教學中不能只關(guān)注“魚”不關(guān)注“漁”，更不能注關(guān)注“漁”不關(guān)注“魚”，二者必須兼得。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準[S].北京，人民教育出版社，2017.

作者簡介：

王建民，李德俊，北京市，北京市延慶區(qū)教育科學研究中心。