(山東理工大學交通與車輛工程學院， 山東淄博255091)

0 引言

四輪汽車在低速轉(zhuǎn)向時的橫向加速度很小，可忽略不計，輪胎處于自由狀態(tài)，轉(zhuǎn)向中心位于后車軸的延長線上，為此轉(zhuǎn)向系統(tǒng)被設成滿足阿克曼轉(zhuǎn)向幾何條件[1]。但阿克曼轉(zhuǎn)向所依賴的雙軸汽車模型是平面車輛模型，其雙軸、四輪和質(zhì)心都在平面上，簡化為單軌模型時輪荷變化也會被忽略。但大量研究和實驗表明，汽車實際的轉(zhuǎn)向幾何關系介于平行轉(zhuǎn)向和阿克曼轉(zhuǎn)向之間，尤其在低速轉(zhuǎn)角條件下，其轉(zhuǎn)向梯形所引起的阿克曼轉(zhuǎn)向誤差可造成實際內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角差角遠小于理想的阿克曼轉(zhuǎn)向，使得前后輪轉(zhuǎn)向中心不通過同一點而彼此干涉[2-3]。阿克曼轉(zhuǎn)向誤差人為設置主要考慮到汽車在較高速度轉(zhuǎn)向時離心力會導致載荷轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，此時內(nèi)輪的影響不再那么重要，為了充分利用具有較大輪載的外輪附著力以保持高速穩(wěn)定性，外側(cè)車輪側(cè)偏角應該更大，可行的解決方法是后輪負前束或阿克曼轉(zhuǎn)向誤差，而作為非驅(qū)動輪后輪，在四輪定位中，為保證推力線位于幾何中心線上并減小轉(zhuǎn)彎半徑，一般會設置后輪前束，則人為設置阿克曼轉(zhuǎn)向誤差成為必然，但如果阿克曼轉(zhuǎn)向誤差設置不當，汽車轉(zhuǎn)向盤在接近極限位置還會出現(xiàn)回正困難，甚至產(chǎn)生回正阻力矩。對國產(chǎn)雷丁某款改裝電動車的實驗研究也發(fā)現(xiàn)，一些前驅(qū)電動車在低速勻速轉(zhuǎn)向過程中，當轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)到極限位置回復一定角度時，轉(zhuǎn)向盤會存在向極限位置運動傾向，這與阿克曼轉(zhuǎn)向誤差和阿克曼轉(zhuǎn)向引起的左右輪驅(qū)動回轉(zhuǎn)力矩不平衡密切相關。

目前在研究低速問題時大多只考慮小角度轉(zhuǎn)向情況，對低速大轉(zhuǎn)角研究較少，也未考慮載荷轉(zhuǎn)移和定位參數(shù)的影響，所建立的2自由度模型并不能很好地解決低速大轉(zhuǎn)角問題。本研究針對低速大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向回正性差的，考慮載荷轉(zhuǎn)移和定位參數(shù)變化的影響因素和基于輪胎刷子模型的縱滑側(cè)偏工況，建立了簧上4自由度整車模型，以分析低速大轉(zhuǎn)角時阿克曼轉(zhuǎn)向誤差對驅(qū)動力、側(cè)向力及回正性能的影響，并進一步指導阿克曼轉(zhuǎn)向梯形的優(yōu)化，使得汽車轉(zhuǎn)向更加具有可控性。

1 模型建立

圖1 內(nèi)外側(cè)前輪轉(zhuǎn)角差隨內(nèi)前輪轉(zhuǎn)角的變化Fig.1 Corner angle difference of inner-front and outer-front wheel with inner-front wheel corner angle

1.1 阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率定義

本文以雷丁某款前驅(qū)電動車為研究對象，研究阿克曼轉(zhuǎn)向誤差對轉(zhuǎn)向性能的影響，其內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關系的如圖1所示[4]。實驗車輛采用無助力形式，并引入阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率，假設外輪最大轉(zhuǎn)角一定，則阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率可以表示為：

(1)

式中，εO為阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率；δ1為內(nèi)輪轉(zhuǎn)角(°)；δ2為外輪轉(zhuǎn)角(°)；K為兩主銷接地點距離(m)；L汽車軸距(m)。

1.2 整車模型

對于平面大轉(zhuǎn)角運動的車輛，相對于固定于地面的坐標系，車輛的縱向和側(cè)向是持續(xù)變化的。為了分析方便，本文中假設：

①把轉(zhuǎn)向梯形對轉(zhuǎn)角的影響統(tǒng)一到阿克曼轉(zhuǎn)向誤差對轉(zhuǎn)向性能的影響。

②不考慮輪胎寬度。

③不考慮懸架變形轉(zhuǎn)向，即認為左右主銷軸線相對位置保持不變，主銷接地點相對位置不變[5]。

④汽車質(zhì)量左右對稱分布。

⑤假設所有車輪初始前束和外傾為零。

為了進一步分析阿克曼轉(zhuǎn)向誤差的影響，建立基于地面O的固定于地面的平面坐標系X0-Y0，以及固定于簧載質(zhì)心S處車輛坐標系x0-y0，同時，在S點建立X軸始終指向速度方向的坐標系X-Y，如圖2所示。

圖2 低速大轉(zhuǎn)角前驅(qū)車運動模型Fig.2 Motion model of low-speed large-angle front-drive vehicle

圖2中，運動的x0軸相對于靜止的X0軸的航向角為ψ，而繞側(cè)傾軸的側(cè)傾角為φ，X-Y坐標系與x0-y0坐標系具有相同的原點，區(qū)別在于x0指向車身縱向速度方向，而X指向車輛速度方向，S為簧載質(zhì)心。圖中所示出的各運動量和力均代表了在該坐標系中的正方向，則坐標系中的變量滿足式(2)，即：

(2)

式中，u、v、r分別為車身質(zhì)心縱向速度、側(cè)向速度及橫擺角速度。

在車輛坐標系x0-y0中，車輛質(zhì)心處合外力滿足式(3)，即：

(3)

式中，i=1、2、3、4代表內(nèi)前輪、外前輪、內(nèi)后輪和外后輪；δi表示各輪轉(zhuǎn)角(°)；Fxi為各輪的縱向力(kN)；Fyi分別表示各輪側(cè)向力(kN)。

考慮側(cè)傾對輪荷的影響時需要簧載質(zhì)心位置、側(cè)傾力臂和側(cè)傾軸等參數(shù)，各參數(shù)取值見表1。無側(cè)傾時汽車側(cè)向示意圖如圖3所示。其中，hRC為車輛質(zhì)心的垂線與側(cè)傾軸的交點P點離地高度，θ為簧載質(zhì)心位置側(cè)傾軸傾斜角，hCG為簧載質(zhì)心高度，hs為側(cè)傾力臂長度。

圖3 無側(cè)傾時汽車側(cè)向圖Fig.3 Vehicle side view without roll

不考慮車身上下運動、側(cè)傾和俯仰瞬時運動對轉(zhuǎn)向性能的影響[6]，根據(jù)質(zhì)心運動定理，則汽車低速轉(zhuǎn)向時平移運動、側(cè)傾運動、俯仰運動和橫擺運動的力矩關系如式(4)～(7)所示，即：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，ms簧載質(zhì)量(kg)；hf、hr分別為前、后側(cè)傾中心離地距離(m)。

若將模型各分量換算到X-Y坐標系下，可得：

(8)

進一步求得平衡方程：

(9)

(10)

(11)

∑N=0，

(12)

式中，V為車速(m/s)；R轉(zhuǎn)彎半徑(m)；β為質(zhì)心側(cè)偏角(°)；∑FX為質(zhì)心軌跡切線方向合外力(kN)；∑FY為質(zhì)心法線方向合外力(kN)。

2 模型參數(shù)計算

2.1 質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度和側(cè)傾角計算

mVr=(kf1+kf2)αf+(kr1+kr2)φαr，

(13)

(kf1+kf2)αfa-(kr1+kr2)αrb=0，

(14)

式中，kf=kf1=kf2、kr=kr1=kr2，且αf、αr滿足以下關系：

(15)

(16)

則可得質(zhì)心側(cè)偏角β和橫擺角速度r分別為：

(17)

(18)

圖4 側(cè)傾運動示意圖Fig.4 Schematic diagram of the roll motion

由簧載質(zhì)心S上作用離心力產(chǎn)生的繞瞬時軸線的力矩，以及車身繞瞬時軸線轉(zhuǎn)動質(zhì)心的側(cè)向位移產(chǎn)生側(cè)傾角φ(如圖4所示)共同形成的側(cè)傾力矩Mφ為：

(19)

該力矩需要通過車身彈簧由車軸產(chǎn)生的力矩平衡，因此有：

Mφ=(kφf+kφr+ksa)φ，

(20)

圖4中，OR為側(cè)傾軸線與后軸線交點，S為簧載質(zhì)心，hr后側(cè)傾中心離地距離，由式(19)和式(20)可解得側(cè)傾角為：

(21)

式中，kφf、kφr為前后軸側(cè)傾剛度(N·m /rad)。其中，kφ=kφf+kφr；ksa為橫向穩(wěn)定桿側(cè)傾剛度(N·m /rad)。

2.2 各輪垂直載荷計算

假定只有前橫向穩(wěn)定桿且前后軸沒有載荷轉(zhuǎn)移，則前后軸左右輪載荷轉(zhuǎn)移量為：

(22)

(23)

側(cè)向載荷轉(zhuǎn)移后的各輪垂直載荷分別為[7]:

Fz1=Fz10-ΔFzf，

(24)

Fz2=Fz20+ΔFzf，

(25)

Fz3=Fz30-ΔFzr，

(26)

Fz4=Fz40+ΔFzr，

(27)

2.3 側(cè)偏角計算

輪胎側(cè)偏角與轉(zhuǎn)角滿足以下關系[8]：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中，δ1、δ2、δ3、δ4為各車輪轉(zhuǎn)角(°)。

2.4 附加力矩計算

式(7)中∑Mz0i是各輪附加力矩Mzi作用在車輛質(zhì)心處合力矩，即：

∑Mz0i=∑Mzi，

(32)

式中，附加力矩Mzi是各輪自回正力矩、外傾側(cè)向力回正力矩、驅(qū)動力回正力矩以及側(cè)向力回正力矩之和的反作用力矩(N·m)。

3 示例計算

附加力矩的計算需要主銷后傾距和主銷偏移距等初始定位參數(shù)，主要計算參數(shù)及其取值如表1所示。

表1 主要計算參數(shù)及取值
Tab.1 Main calculation parameters and values

參數(shù)參數(shù)值參數(shù)參數(shù)值初始主銷后傾距 rτ/m0.015整車質(zhì)量m/kg1 207初始主銷偏移距rσ/m0.013簧載質(zhì)量ms/ kg1082車輪中心主銷拖距 nτ/m-0.004前側(cè)傾中心離地距離hf/m0.093主銷接地點距離 K/m1.333后側(cè)傾中心離地距離hr/ m0.247初始主銷內(nèi)傾角σ/(°)11.3輪胎滾動半徑r/m0.247初始主銷后傾角τ/(°)4.33軸距L/m2.26后輪距B/m1.36簧載質(zhì)心高度hCG/m0.497接地印跡長度c/m0.09側(cè)傾力臂hs/ m0.323輪胎拖距t/mc/6初始附著系數(shù)μ00.8前輪側(cè)偏剛度ka1、ka2/(N·rad-1)41 500質(zhì)心距前軸距a/m1.185后輪側(cè)偏剛度ka3、ka4/(N·rad-1)41 500質(zhì)心距后軸距b/m1.075穩(wěn)定桿側(cè)傾剛度ksa /(N·rad-1)12 500前懸側(cè)傾剛度kφf/(N·rad-1)25 700外傾角剛度 kγ/(N·rad-1)1 306后懸側(cè)傾剛度kφr/(N·rad-1)17 000

3.1 實驗車輛側(cè)偏角及各輪中心速度計算

假設四輪初始前束和外傾角都設為零，后輪無轉(zhuǎn)角，即δ3=δ4=0，以圖3所示的側(cè)偏角為正，在接近極限位置進行轉(zhuǎn)向，選取幾個速度時刻，如2、4、6、…、12 km/h(該速度可認為是汽車質(zhì)心處的水平速度，由于穩(wěn)態(tài)圓周運動對應唯一的速度，故縱滑和側(cè)滑都是唯一的)，根據(jù)質(zhì)心側(cè)偏角β、橫擺角速度r和式(28)～(31)可擬合出汽車不同速度下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向四輪側(cè)偏角曲線，結(jié)果如圖5所示。

根據(jù)質(zhì)心側(cè)偏角β、橫擺角速度r以及式(33)、(34)、(35)、(36)，得：

(33)

(34)

(35)

(36)

低速極限位置以不同車速進行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，各輪行駛速度隨車身質(zhì)心S處車速的關系如圖6所示。

圖5 不同速度下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時四輪側(cè)偏角
Fig.5 Four tire slip angles at different of speedswith an error rate of 20% during steady state steering

圖6 各輪行駛速度與車速關系
Fig.6 Relationship between driving speedvaries with vehicle speed

由圖5可知，車速為5 km/h，汽車在接近極限位置處穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率為55 %，各輪的側(cè)偏角分別為內(nèi)前輪-0.54°，外前輪7.6°，內(nèi)后輪0.56°、外后輪0.38°，且在一定速度范圍下，在不同車速下進行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，隨著速度的增加，內(nèi)前輪側(cè)偏角由負值變?yōu)檎?，其他車輪始終為正值。由圖6可知，車速為5 km/h且接近極限位置處進行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，各輪中心行駛速度分別為內(nèi)前輪4.9 km/h、外前輪6.8 km/h、內(nèi)后輪4.54 km/h和外后輪5.05 km/h。

3.2 穩(wěn)態(tài)縱滑側(cè)偏聯(lián)合工況

汽車勻速圓周運動時，即使車輪發(fā)生縱滑，車速也保持恒定，故滑移率也可以唯一確定。各輪胎上的縱向力、側(cè)向力與車速、輪荷、側(cè)偏角及滑移率有關，可由基于輪胎刷子模型的穩(wěn)態(tài)縱滑側(cè)偏聯(lián)合工況模型法表示[9-10]。在該工況下將接觸區(qū)分為附著區(qū)和滑動區(qū)，則附著區(qū)和滑動區(qū)的邊界點可表示：

(37)

當存在驅(qū)動力時，ξi>0，有：

(38)

(39)

當ξi=0，有：

Fxi=-μFzicosεi，

(40)

Fyi=-μFzisinεi，

(41)

根據(jù)經(jīng)驗公式，滑動速度為：

(42)

最終得:

Fxi=Fxi(si,αi,uti,Fzi)，

(43)

Fyi=Fyi(si,αi,uti,Fzi)，

(44)

式中，si為各輪縱向滑移率；αi為輪側(cè)偏角(°)；uti為各輪中心處行駛速度(m/s)；Fzi為各輪載荷(kN)。

在車速保持5 km/h，在接近極限位置處穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向且發(fā)生側(cè)向載荷轉(zhuǎn)移時，各輪縱向力和側(cè)向力隨縱向滑移率變化的情況，通過聯(lián)立式(37)～(44)，可得到各輪縱滑側(cè)偏關系如圖7～10所示。

3.3 自回正力矩計算

輪胎的自回正力矩主要包括側(cè)向力與縱向力引起的回正力矩[11]，同樣可以用輪胎刷子模型的穩(wěn)態(tài)縱滑側(cè)偏聯(lián)合工況模型法表示，則各輪在不同側(cè)偏角下驅(qū)動力與自回正力矩關系如圖11～14所示，可通過以下公式得到各輪自回正力矩，即：

(45)

式中，ti側(cè)偏角為零時的輪胎拖距(m)；kyi為輪胎單位寬度的側(cè)向剛度(N/m)。

圖7 內(nèi)前輪縱向力和側(cè)向力隨縱向滑移率變化
Fig.7 Longitudinal and lateral forces of inner-frontwheel vary with longitudinal slip ratio

圖8 外前輪縱向力和側(cè)向力隨縱向滑移率變化
Fig.8 Longitudinal and lateral forces ofouter-front wheel vary with longitudinal slip ratio

圖9 內(nèi)后輪縱向力和側(cè)向力隨縱向滑移率變化
Fig.9 Longitudinal and lateral forces of inner-rearwheelvary with longitudinal slip ratio

圖10 外后輪縱向力和側(cè)向力隨縱向滑移率變化
Fig.10 Longitudinal and lateral forces of outer-rearwheel vary with longitudinal slip ratio

圖11 內(nèi)前輪自回正力矩隨驅(qū)動力變化
Fig.11 Self aligning torque of inner-frontwheelvaries with driving force

圖12 外前輪自回正力矩隨驅(qū)動力變化
Fig.12 Self aligning torque of outer-frontwheel varies with driving force

圖13 內(nèi)后輪自回正力矩隨驅(qū)動力變化
Fig.13 Self aligning torque of inner-rear wheelvarieswith driving force

圖14 外后輪自回正力矩隨驅(qū)動力變化
Fig.14 Self aligning torque of outer-rearvaries with driving force

圖11～14表示車速5 km/h且發(fā)生側(cè)向載荷轉(zhuǎn)移時側(cè)向力和縱向力對自回正力矩的影響。由于外前輪受力最大，最先發(fā)生滑動，故可假設兩后輪無縱向滑移，即Fx3=Fx4=0，則內(nèi)后輪自回正力矩 5.4 N·m，外后輪自回正力矩為3.8 N·m。

3.4 前輪外傾側(cè)向力回正力矩計算

由圖形變換原理和文獻[12]所述的計算方法，以轉(zhuǎn)向中心內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向為正方向，計算獲得外傾角、主銷偏移距和主銷后傾距隨車輪轉(zhuǎn)角的變化，結(jié)果如圖15、圖16所示。

由于后輪無外傾角變化，故只有前輪存在外傾角變化引起的側(cè)向力回正力矩，可求得各輪外傾回力矩分別為內(nèi)前輪約13 N·m、外前輪約為1 N·m。

圖15 前輪外傾角隨轉(zhuǎn)角車輪變化關系
Fig.15 Camber of front wheel varies withwheel angle of rotation

圖16 前輪主銷偏移距和主銷后傾距隨車輪轉(zhuǎn)角關系
Fig.16 Kingpin offset at ground and castor trailvary with wheel rotation angle

3.5 側(cè)向力與驅(qū)動力計算

由實驗車輛驅(qū)動特性可認為轉(zhuǎn)向時驅(qū)動力大致相等，即Fx1=Fx2，可以利用反證法計算得知。若四輪縱向滑移率為零時，根據(jù)式(9)～(12)，各輪側(cè)向力分別為內(nèi)前輪為-0.393 kN，外前輪2.295 kN，內(nèi)后輪為0.408 kN，外后輪為0.278 kN，然而，在地面附著系數(shù)0.8路面上，地面很難提供外前輪側(cè)向力需求，故汽車外前輪必定存在滑移現(xiàn)象，前輪所需側(cè)向力需重新校正計算，即采用縱滑側(cè)偏工況計算。

由刷子模型的穩(wěn)態(tài)縱滑側(cè)偏聯(lián)合工況模型，并根據(jù)式(9)～(12)可求得各輪驅(qū)動力和側(cè)向力，得到內(nèi)前輪和外前輪驅(qū)動力均為0.796 kN，內(nèi)前輪側(cè)向力為 -0.2 kN，外前輪側(cè)向力為2.045 kN，內(nèi)后輪、外后輪側(cè)向力不變，分別為0.408 kN和0.278 kN。

由圖8、圖9對比可知，在車速5 km/h以及方向盤接近極限位置轉(zhuǎn)向時，內(nèi)前輪與外前輪均存在縱向滑移，但滑移率均小于5 %。與無縱滑分析的側(cè)向力相比，內(nèi)前輪、外前輪側(cè)向力絕對值均得到一定程度的減小。

4 阿克曼轉(zhuǎn)向誤差驗證

阿克曼轉(zhuǎn)向誤差也是輪胎低速側(cè)滑的主要原因，而輪胎的側(cè)滑主要與側(cè)向力和回正力矩有關，為了進一步分析阿克曼轉(zhuǎn)向誤差對低速側(cè)偏特性和回正性能的影響，設定阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率εO在20 %和80 %兩種情況下進行討論，在接近極限位置進行轉(zhuǎn)向，選取幾個速度，如2、4、6、…、12 km/h，根據(jù)質(zhì)心側(cè)偏角β、橫擺角速度r和式(28)～(31)可擬合出汽車不同速度下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向四輪側(cè)偏角曲線，結(jié)果如17～18所示。

對比圖17、圖18與圖5可見，相比原車阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率55 %的情況，阿克曼轉(zhuǎn)向誤差率為80 %、汽車方向盤接近極限位置且在5 km/h穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，汽車方向盤向極限位置運動傾向更為明顯，而當誤差率為20 %時，該影響大大減小。

圖17 誤差率為20%時不同速度下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向四輪側(cè)偏角
Fig.17 Four tire slip angles at different of speeds withan error rate of 20% during Steady state steering

圖18 誤差率為80%時不同速度下穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向四輪側(cè)偏角
Fig.18 Four tire slip angle at different of speeds withan error rate of 80% during Steady state steering

5 結(jié)論

①在縱滑側(cè)偏工況下，內(nèi)前輪和外前輪驅(qū)動力均為0.796 kN，內(nèi)前輪側(cè)向力為 -0.2 kN，外前輪側(cè)向力為2.045 kN，內(nèi)后輪、外后輪側(cè)向力不變，分別為0.408 kN和0.278 kN。與無縱滑時的側(cè)向力相比，內(nèi)前輪、外前輪側(cè)向力絕對值均得到一定程度的減小，更接近實際觀測值。

②汽車方向盤接近極限位置且在5 km/h穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時，汽車方向盤向極限位置運動傾向更為明顯，當誤差率為20 %時，該影響大大減小。因此，在保證較高速轉(zhuǎn)向側(cè)向力需求的同時盡量減小阿克曼轉(zhuǎn)向誤差，可以避免極低速轉(zhuǎn)向時方向盤向極限位置運動傾向，防止低速大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向時方向盤難以控制的現(xiàn)象。

③考慮了載荷轉(zhuǎn)移和定位參數(shù)等影響因素和基于輪胎刷子模型的縱滑側(cè)偏工況，能夠較好地解決低速大轉(zhuǎn)角問題，可為高速大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向研究提供參考。