陳德強

【摘要】針對文科高等院校學生數(shù)學課程教學的實際情況，積極探索將數(shù)學建模與教學改革相結(jié)合的教學模式，通過改進教學方法和教學模式，不斷提高文科生數(shù)學建模的應用能力與學術(shù)創(chuàng)新能力，試點并實踐了文科大學本科生參與美國國際數(shù)學建模競賽的組織、教學、培訓、參賽等整個流程并取得了階段性的成果.

【關(guān)鍵詞】美國國際數(shù)學建模競賽;文科院校;教學方法改革

【基金項目】2017年度華東政法大學校級教改項目（A-0316-17-00304），文伯書院《高等數(shù)學》通識課項目（A-0312-18-174796）.

一、文科院校大學數(shù)學課程的現(xiàn)狀及改革的必要性

一直以來，雖然筆者所在學校作為一個以文科為主的大學，但依然有大量的數(shù)學文化基礎(chǔ)課程，這些課程的考核如果僅以試卷上的數(shù)學試題作為評價學生的主要依據(jù)是片面的，這不利于培養(yǎng)本科生對數(shù)學的實際應用以及學術(shù)能力還遠遠不夠.這些課程包括各學院開展的“高等數(shù)學”“線性代數(shù)”“離散數(shù)學”“概率統(tǒng)計”“數(shù)理邏輯”等課程，很多學生僅僅為了考個高分，通過大量刷題的方式應付數(shù)學考試，卻無法將所學的數(shù)學知識真正融會貫通，應用于具體的學術(shù)研究中.

針對這個問題，美國的韋恩州立大學表示，大學就是要培養(yǎng)大學生在實踐中的定量推理能力和批判性思維能力.不僅僅是培養(yǎng)理工科學生具有這種能力，更要讓藝術(shù)、人文、法學和社會科學領(lǐng)域?qū)I(yè)的學生在數(shù)學學習上獲得同等能力.他們通過鼓勵學生參與對數(shù)學模型和數(shù)學問題的定量和定性分析提高相關(guān)能力.美國的密歇根州立大學也積極鼓勵學生用公式、圖形、表格和圖表的形式解釋數(shù)學模型：比如，能夠通過不同的方式（如視覺的、文字的、數(shù)字的等）呈現(xiàn)數(shù)學信息;可以通過運用概率、代數(shù)、幾何和統(tǒng)計方法去解決問題;能夠借助定量數(shù)據(jù)分析，清晰地表達自己對一個社會科學問題的觀點和認知等.在相關(guān)的課程中，鼓勵大學生探索具體環(huán)境下的人口爆炸式增長統(tǒng)計（包括嬰兒出生率、家庭收入、教育程度等）、病毒的傳播、醫(yī)學檢驗中的貝葉斯模型、經(jīng)濟中的博弈等.這讓數(shù)學不再只是課上簡單的“公式”，而是成為可以在現(xiàn)實世界中真真正正應用的優(yōu)秀工具.

為了建設中國的雙一流高校和專業(yè)，國內(nèi)的文科院校也不能駐足不前，一直停留在老套的教學大綱里，美國國際大學生數(shù)學建模競賽就是一個很好的契機，它給我們更新文科的數(shù)學課程的教學大綱提供了一個很好的范例[1].因此，應該加快推進文科院校數(shù)學課程的改革，結(jié)合國際數(shù)學建模競賽，使得學生在充分學習課程的基礎(chǔ)上，參與國際大賽，設計數(shù)學模型，應用算法和編程解決實際問題，撰寫學術(shù)論文，這個機遇為教學改革提供了一條嶄新的途徑.

二、文科院校大學數(shù)學課程提升學生學術(shù)能力的措施和方法

大學生運用數(shù)學建模解決實際問題的能力提升，不是一朝一夕的事情.這需要把數(shù)學建模的意識始終貫穿于數(shù)學教學過程之中，也就是要不斷地引導大學生用數(shù)學思維的觀點和眼光去觀察、分析和解釋各種對象之間的關(guān)系，從復雜紛繁的具體問題出發(fā)，逐步抽象出一些課程中介紹的數(shù)學模型，進而逐步達到利用數(shù)學模型來解決實際的數(shù)學問題，使得數(shù)學模型的觀念成為文科大學生定量思考問題的第一方法和習慣[2].

（一）以數(shù)學基礎(chǔ)課程為平臺，在教學過程中增強學生的數(shù)學建模意識

在“高等數(shù)學”的教學中，有很多可以和數(shù)學建模相結(jié)合的知識點展開[3]，在講課的過程中，注意延展學生的思維和拓展舉例的廣泛性.不要拘泥于教材上的幾個例題，可以以課外閱讀或者書寫讀書筆記的形式培養(yǎng)學生數(shù)學建模意識.例如，高數(shù)課上有一章專門學習微分方程的求解，但是課內(nèi)所學的一階線性微分方程，伯努利方程可以求解的范圍都十分有限.在課堂拓展中首先介紹如何將一個連續(xù)的函數(shù)離散化，以便于取點分析.常見的利用Taylor多項式近似離散的方法不但可以得出數(shù)值解還便于進行誤差分析.進一步可以介紹歐拉方法求解微分方程并利用泰勒展開式進行2階精度的誤差分析，為提高精度，繼續(xù)研究歐拉方法的改進，通過積分的梯形公式進一步縮小誤差，最終得出改進二階法.就這樣一步步引導學生的思路，逐步深入，并演示如何用MATLAB軟件求解微分方程.

（二）分小組進行討論，在解決數(shù)學建模問題過程中增強學生的學術(shù)寫作水平

文科院校的數(shù)學課程的許多知識點和建模大賽等結(jié)合緊密，因此，需要選好教學內(nèi)容，提高學生學習和參與競賽的積極性.我們根據(jù)教學情況，選取一些實際問題讓學生討論，既能結(jié)合學生自身的文科專業(yè)背景提高學生的問題分析能力，又能反映最新的科學技術(shù)思想.通過采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學方法，通過提出一些實際問題，讓學生充分思考、展開討論，甚至讓他們上講臺展示自己的處理方法、見解，既活躍了課堂氣氛，又達到了引導學生學習運用工具分析、解決實際問題的目的.在課程講授過程中，除了正常的作業(yè)外，還適當給出一些實際問題讓學生自己建立數(shù)學模型，并根據(jù)建立模型的基本步驟，要求完成包括建模假設、建模過程、模型求解、模型優(yōu)缺點及局限性的討論等，最后形成小論文[4].例如，“概率統(tǒng)計”課程有一些內(nèi)容涉及預測模型，我們引導介紹馬爾可夫鏈通常用來解決排隊理論和統(tǒng)計學中的問題.我們試圖讓學生根據(jù)這個模型進行創(chuàng)新性思維，解決一個實際問題：

為適應日益擴大的社會共享經(jīng)濟發(fā)展的需要，大學城的甲、乙、丙三個高校校區(qū)成立了一個自行車租賃聯(lián)合項目，聯(lián)合租賃大學生騎行自行車的業(yè)務.大學生可由甲、乙、丙三處任何一處租出自行車，用完后在三處中任意一處進行歸還即可.估計其轉(zhuǎn)移概率如表1所示.今欲選擇其中之一開設自行車維修點，問該維修點設在哪一個學校校區(qū)最好？

經(jīng)過引導學生計算馬爾可夫鏈模型，得出結(jié)論.由于還到甲校區(qū)的自行車較多，因此，維修點設在甲校區(qū)較好.但由于還到乙校區(qū)的自行車與還到甲校區(qū)的相差不多，若是乙校區(qū)的其他因素更為便利，如交通比甲校區(qū)更方便，便于自行車零配件的運輸，電力供應穩(wěn)定便于充氣等等，亦可考慮設在乙校區(qū).

這就激發(fā)了學生學習知識的動力，并且用于解決實際問題，為以后進行畢業(yè)設計或者學術(shù)論文研究打下堅實的數(shù)學模型基礎(chǔ).

（三）積極開展大學數(shù)學實驗第二課堂，將數(shù)學建模與實驗有機結(jié)合

在實驗實踐中，我們就在創(chuàng)新實驗室安裝相應環(huán)境，引導學生通過實驗，開展模型計算和優(yōu)化活動.

例如，在介紹電腦鼠走迷宮搜索算法模型的時候，一位文科的本科學生在查閱走迷宮算法的基本資料后寫下讀后感：“閱讀完本算法，我發(fā)現(xiàn)想要分析這個算法不是很容易.小小的電腦鼠走迷宮需要那么多算法的步驟，首先從電腦鼠方向確立、迷宮坐標以及墻壁的建立，隨后再進行迷宮路徑的搜索.在搜索完畢之后，再對迷宮的地圖做一次最優(yōu)路徑的選擇并且制作等高圖，最后對電腦鼠整個進行軟件構(gòu)架.而整個算法中最難、最復雜的是等高圖的制作算法，這張圖是電腦鼠最快走完迷宮的保障，若是等高圖的制作算法有微小的差異，那將會給電腦鼠搜索迷宮最優(yōu)路徑的選擇造成很大的影響，可謂相當艱難.在了解了本算法之后，深深感覺自己的算法功底還是很薄弱的，在以后的學習中，加強對算法的研究，畢竟算法是所有程序的基礎(chǔ).程序沒有了算法，就沒有了靈魂”.

三、文科院校建模實踐小組如何組織、篩選、培訓活動及參加比賽

第一階段：人員篩選，圖書和實驗室配備.

初選隊員：來自歷屆參賽老隊員、高數(shù)競賽獲獎學生、任課教師推薦的優(yōu)秀學生，考慮到中途會有參加培訓隊員中途退出或加入，為保證最終參賽隊員質(zhì)量，初選隊員規(guī)?？刂圃?0人左右.通過QQ群召集初選的隊員，對數(shù)學建模競賽培訓進行動員，并由參加歷年數(shù)學建模競賽獲獎的同學為大家介紹經(jīng)驗.在確定總的參加人員后，將參賽學生分組，三人一組，根據(jù)以往經(jīng)驗，每組最好一名負責計算機算法的學生，一人負責翻譯和論文排版，另外一人負責數(shù)據(jù)收集和模型分析，三人選出一個組長.由于培訓的人數(shù)較多，紀律方面必須嚴格，管理需有序安排，為此制訂了相關(guān)的實驗室守則，并配置好實驗環(huán)境.

第二階段：中期培訓指導和優(yōu)秀論文討論[5].每周講座時間要保證4個學時，然后分組討論一對一指導參見表2.

四、總結(jié)以及展望

經(jīng)過全組教師同學的不懈努力，歷時96小時.筆者所在學校6支代表隊伍、共18名學生參加比賽.筆者所在學校本科生在去年獲獎的基礎(chǔ)上，今年再次獲得1個二等獎，5個三等獎.其中獲得二等獎的同學挑戰(zhàn)了難度較大的E題，建立了一個城市可持續(xù)發(fā)展和智能評價指標體系模型，并進行了模擬仿真評估，給出了城市未來幾十年內(nèi)的可行性增長計劃.通過比賽，提升了文科大學本科生運用所學數(shù)學知識，結(jié)合自己的文科背景特長，解決學科交叉領(lǐng)域前沿實際問題的能力，激勵與提高了學生應用所學的數(shù)學模型和計算機算法解決實際問題的科研能力，促進了本科生學術(shù)水平和創(chuàng)新能力的提高.我們將不斷總結(jié)經(jīng)驗，為培養(yǎng)更多的高層次的文理兼?zhèn)涞膹秃闲腿瞬哦?

【參考文獻】

[1]王茂芝，郭科，徐文皙，等.數(shù)學建模中的創(chuàng)新意識培養(yǎng)[J].大學數(shù)學，2009（1）：126-129.

[2]樂勵華，戴立輝，劉龍章.數(shù)學建模教學模式的研究與實踐[J].工科數(shù)學，2002（6）：9-12.

[3]張勇，黃廷祝，傅英定.數(shù)學建模思想融入微積分課程教學初探[J].大學數(shù)學，2010（2）：158-160.

[4]姜啟源.數(shù)學實驗與數(shù)學建模[J].數(shù)學的實踐與認識，2001（5）：613-617.

[5]王茂芝，徐文皙，郭科.數(shù)學建模培訓課程體系設計探討[J].數(shù)學教育學報，2005（1）：79-81.