劉宏達(dá), 鄭鵬遠(yuǎn)

(上海電力學(xué)院 自動(dòng)化工程學(xué)院, 上海 200090)

DC-DC變換器將直流電轉(zhuǎn)換為另一固定電壓或可調(diào)的直流電,是一個(gè)用開關(guān)調(diào)節(jié)方式控制電能的變換電路,已被廣泛應(yīng)用于各種開關(guān)電源、燃料電池、光伏發(fā)電和分布式電源系統(tǒng)中。隨著其應(yīng)用范圍的增加,對(duì)DC-DC變換器的控制性能要求也逐漸提高,就要求對(duì)DC-DC變換器有更好的控制算法。

近年來,隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,研究者們設(shè)計(jì)了一系列的DC-DC變換器控制方法,進(jìn)一步提高了DC-DC變換器系統(tǒng)的控制性能。文獻(xiàn)[1-3]針對(duì)DC-DC變換器,通過模糊控制規(guī)則對(duì)PID控制器進(jìn)行了增益調(diào)節(jié)。該算法超調(diào)量小,改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)特性,但由于其信息處理簡單且缺乏系統(tǒng)性,導(dǎo)致控制精度降低和動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差,不利于實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略引入DC-DC變換器,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造了一種新型控制方法。該系統(tǒng)具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能,但由于學(xué)習(xí)速率是固定的,所以網(wǎng)絡(luò)收斂速度較慢,需要較長的訓(xùn)練時(shí)間。文獻(xiàn)[5-6]通過建立DC-DC變換器模型,選取線性切換函數(shù)和指數(shù)趨近律,設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器。該控制策略具有良好的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)性能和穩(wěn)態(tài)誤差調(diào)節(jié)特性,但變結(jié)構(gòu)本身存在著抖動(dòng)問題,給實(shí)際應(yīng)用帶來了一大障礙。文獻(xiàn)[7]通過建立DC-DC變換器的歐拉-拉格朗日(Euler-langrange,EL)模型,配置系統(tǒng)能量耗散方程中的無功力迫使系統(tǒng)總能量跟蹤預(yù)期的能量函數(shù),使系統(tǒng)的電壓漸近收斂至參考值,設(shè)計(jì)的一種無源控制器存在穩(wěn)態(tài)直流電壓誤差。文獻(xiàn)[8]針對(duì)Buck型DC-DC變換器,利用采樣降維觀測器,設(shè)計(jì)了采樣輸出反饋控制器,可以控制輸出電壓收斂至期望值,取得了比PID方法更快的跟蹤速度。但該方法的設(shè)計(jì)目標(biāo)只是將系統(tǒng)電壓輸出跟蹤并穩(wěn)定至期望值,沒有顯式包含“以盡可能快的速度驅(qū)動(dòng)Buck型DC-DC變換器電壓輸出跟蹤期望值”這一速度要求。如果能以電壓輸出盡快到達(dá)期望值為設(shè)計(jì)目標(biāo),將有效提升Buck變換器輸出的控制性能,因此該方法的控制效果還有進(jìn)一步提升的空間。本文選擇以驅(qū)動(dòng)電壓輸出盡快到達(dá)期望值作為優(yōu)化目標(biāo),將從優(yōu)化角度出發(fā),設(shè)計(jì)算法來優(yōu)化電壓輸出的收斂速度,以期進(jìn)一步有效改善電壓輸出控制效果。

由于預(yù)測控制可以方便地處理各種約束問題,因此從問世以來就受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的關(guān)注,并在工業(yè)過程控制中得到了廣泛應(yīng)用和推廣。本文針對(duì)Buck型DC-DC變換器對(duì)象,引入預(yù)測控制優(yōu)化思想,基于線性矩陣不等式技術(shù)(Linear Matrix Inequalities,LMIs),通過半正定規(guī)劃方法優(yōu)化Buck變換器的無窮時(shí)域性能,以提高Buck變換器的系統(tǒng)控制性能。

1 Buck變換器建模及優(yōu)化問題描述

在電流連續(xù)型(Continuous Conduction Mode,CCM)工作模式下,通過機(jī)理建模建立連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

Buck變換器在CCM工作模式時(shí),有兩種工作模態(tài)。如圖1所示,開關(guān)S導(dǎo)通時(shí),電源Ui向負(fù)載供電,二極管D承受反向電壓而截至,電感L充電,電流持續(xù)增加;開關(guān)管S關(guān)斷時(shí),二極管D導(dǎo)通續(xù)流,電感L放電,電流減小,直到一個(gè)開關(guān)周期結(jié)束為止。

圖1 Buck變換器原理

本文選取控制性能指標(biāo):

(1)

式中:Uo,Us——輸出電壓和期望輸出電壓;

u,us——占空比和期望占空比;

W,M——性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣。

經(jīng)分析可知,當(dāng)電壓輸出達(dá)到期望值,即Uo=Us時(shí),則有:電感電流iL=Us/R;us=Us/Ui(Ui為輸入電壓)。

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律得到系統(tǒng)的iL和Uo滿足以下關(guān)系

(2)

選取狀態(tài)變量x1為電感電流,x2為輸出電壓,u為輸入變量,則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(3)

占空比輸入量的約束條件為0≤u≤1。

根據(jù)式(3)的解析表達(dá)式

(4)

式中:eA(t-τ)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

對(duì)式(3)進(jìn)行精確離散化處理,得到

x((k+1)Ts)=G(Ts)x(kTs)+

H(Ts)u(kTs)

(5)

式中:Ts——采樣周期;

u(kTs)——系統(tǒng)第k時(shí)刻的占空比,且滿足

0≤u(kTs)≤1;

G(Ts)=eATs;

(6)

將式(6)代入式(5)中,經(jīng)變換后,得到一個(gè)以原點(diǎn)為平衡點(diǎn)的狀態(tài)方程

(7)

進(jìn)一步簡記為

ξ(k+1)=G(Ts)ξ(k)+H(Ts)v(k)

(8)

-us≤v(k+i|k)≤1-us

(9)

構(gòu)建Buck變換器的優(yōu)化問題,具體描述為

(10)

2 基于不變集方法的Buck變換器預(yù)測控制優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對(duì)Buck變換器,設(shè)計(jì)預(yù)測控制優(yōu)化算法,對(duì)受控系統(tǒng)的控制性能進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化,從而優(yōu)選出Buck變換器的占空比輸入量,驅(qū)動(dòng)Buck變換器輸出量快速地收斂至其期望輸出值,進(jìn)而有效提高Buck變換器的電壓輸出質(zhì)量。

2.1 控制方案設(shè)計(jì)

對(duì)于優(yōu)化問題,其控制輸入序列為

V(k)[v(k|k),v(k+1|k),…,v(∞|k)]T

考慮Buck變換器系統(tǒng)式(8),將式(9)進(jìn)一步收縮為如下關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的約束條件:

|v(k+i)|≤min{us,1-us},

i=1,2,3,…,∞

(11)

通常無窮時(shí)域預(yù)測控制在線優(yōu)化問題可表示為

(12)

由于式(12)涉及到求解未來無窮多時(shí)刻的控制變量v(k+i|k),i=1,2,3,…,∞,將導(dǎo)致尋優(yōu)計(jì)算量繁重,難以實(shí)現(xiàn)。為了解決這一問題,本文針對(duì)Buck變換器系統(tǒng),引入控制不變集優(yōu)化技術(shù)[9-10]構(gòu)造并優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J(k)上界來優(yōu)選出占空比輸入量,進(jìn)而將原來的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題,具體如下。

對(duì)于式(8),首先定義二次函數(shù)Ψ(i,k)=ζ(k+i|k)TP(k)ζ(k+i|k),P(k)>0,且強(qiáng)制要求其滿足如下穩(wěn)定性約束

Ψ(i+1,k)-Ψ(i,k)≤

(13)

在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下,ζ(∞|k)=0,Ψ(∞,k)=0。將式(13)從i=0疊加到i=∞,可得其無窮時(shí)域性能指標(biāo)上界:J∞(k) ≤Ψ(0,k),定義矩陣P=γQ-1,其中標(biāo)量γ>0為尋優(yōu)變量,則

J∞(k)≤Ψ(0,k)≤γ

(14)

令矩陣X∈R2×2,Y∈R2為LMIs變量,記F=YQ-1,利用LMIs的Schur補(bǔ)性質(zhì),可將式(13)和式(14)轉(zhuǎn)化為如下LMIs[9]

(15)

(16)

輸入約束同樣可以轉(zhuǎn)化為如下LMIs

j=1,2,3,…,m

(17)

因此將式(11)轉(zhuǎn)化為下列LMIs求解問題

(18)

s.t.(15)～(17)

集合ε(Q)={ξ∈R2|ξTQ-1ξ≤1,Q>0}即為式(8)的橢圓不變集,其對(duì)應(yīng)的反饋控制律為v(k)=F(k)ζ(k)。

綜上所述,Buck變換器的預(yù)測控制問題已被轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題,可將Buck變換器的預(yù)測控制優(yōu)化算法歸納如下。

(1) 測量當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)ζ(k)=ζ(k|k)。

(2) 適當(dāng)選擇對(duì)稱正定加權(quán)矩陣W和M。

(3) 求解具有LMIs約束的優(yōu)化問題式(17),得到最優(yōu)解γ,Q,X,Y。

(4) 計(jì)算得到狀態(tài)反饋預(yù)測控制器增益矩陣F(k)=YQ-1。

(5) 通過計(jì)算得到k時(shí)刻的控制反饋律u(k)=F(k)ζ(k|k)+us,并將其施加于被控系統(tǒng)。

(6) 令k=k+1,返回(1),重復(fù)優(yōu)化過程。

2.2 穩(wěn)定性分析

定 理對(duì)于式(8),如果在k時(shí)刻,對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)ζ(k|k),本文算法有可行解,則本文算法所設(shè)計(jì)的預(yù)測控制算法可以使該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證 明設(shè)k時(shí)刻本文算法是可行的,優(yōu)化問題的最優(yōu)解為

Γ*(k)=[γ*,Q*,X*,Y*]

其中,F(k)=Y*(Q*)-1。

首先證明可行性。需要證明在k+1時(shí)刻,對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)ζ(k+1)=ζ(k+1|k+1),式(15)～(17)仍然可行,即可證明可行性。為證明可行性,需構(gòu)造k+1時(shí)刻優(yōu)化問題的可行解,即Г(k+1)=[αγ*,αQ*,αX*,αY*]。

其中

(19)

并且F(k+1)=αY*(αQ*)-1,即F(k+1)=Y*(Q*)-1,可推出Γ(k+1)滿足式(15)和式(17)。

由式(16)可推得

Ψ(k+1)≤γ*(k)

(20)

進(jìn)而推得0<α≤1。由式(19)可得

ζ(k+1)T(αQ*(k))-1ζ(k+1)=1

(21)

所以Γ(k+1)滿足式(16)。

綜上,αγ*,αQ*,αX*,αY*滿足式(15)～(17),因此Γ(k+1)是k+1時(shí)刻的可行解。

由于0<α≤1,可推得

γ*(k+1)≤γ(k+1)=αγ*(k)≤γ*(k)

(22)

因此,閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 系統(tǒng)仿真

3.1 系統(tǒng)模型參數(shù)

仿真驗(yàn)證控制算法的有效性,考慮如下系統(tǒng):

系統(tǒng)參數(shù)如下:輸入電壓Ui=30 V,輸出電壓Uo=15 V,負(fù)載R=10 Ω,電感L=4.7 mH,電容C=1 000 μF;并且,輸入約束|u|≤1,選取控制性能指標(biāo)如式(10)所示,其中加權(quán)矩陣W=diag(1,1),M=1,初始狀態(tài)x(0)=[0,0]T,分別基于Ts=0.05 ms,Ts=0.25 ms,Ts=0.5 ms 3個(gè)不同的采樣周期對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真,并與文獻(xiàn)[8]方法進(jìn)行仿真效果對(duì)比。

3.2 仿真結(jié)果比較

采用本文算法和文獻(xiàn)[8]方法,基于3個(gè)采樣周期進(jìn)行仿真,得到的系統(tǒng)輸出電壓波形分別如圖2～圖4所示。由圖2～圖4可知,與文獻(xiàn)[8]方法相比,本文算法可以驅(qū)動(dòng)Buck型變換器電壓輸出以更快的速度收斂于期望值。

圖2 Ts=0.05 ms時(shí)的輸出電壓波形

圖3 Ts=0.25 ms時(shí)的輸出電壓波形

圖4 Ts=0.5 ms時(shí)的輸出電壓波形

本文算法和文獻(xiàn)[8]方法的控制性能和收斂時(shí)間如表1所示。

由表1可知,本文算法取得了比文獻(xiàn)[8]更優(yōu)的控制性能和更快的收斂速度。

表1 文獻(xiàn)[8]與本文算法的控制性能指標(biāo)和收斂時(shí)間對(duì)比

4 結(jié) 語

本文針對(duì)Buck型DC-DC變換器系統(tǒng)電壓跟蹤問題,通過將Buck變換器連續(xù)模型轉(zhuǎn)化為離散模型,引入不變集方法將Buck變換器的跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題,設(shè)計(jì)了預(yù)測控制算法。仿真結(jié)果表明,在該預(yù)測控制算法下,Buck變換器電壓輸出以更快的速度收斂于期望值,獲得了更優(yōu)的控制性能。

本文方法在取得優(yōu)異控制效果的同時(shí),也存在在線計(jì)算負(fù)擔(dān)較重的缺點(diǎn)。后期研究將采取“離線設(shè)計(jì)、在線綜合”的設(shè)計(jì)方法來加以改進(jìn),通過將部

分在線優(yōu)化計(jì)算量轉(zhuǎn)移至離線設(shè)計(jì),以期進(jìn)一步降低在線計(jì)算負(fù)擔(dān)。