向興河

一個較為復雜的構圖往往是以“基本圖形”為核心，用基本圖形做“底”，將三角形、四邊形、圓等基本圖形充實豐富，然后研究所構圖形內在的因果邏輯關系，把因果聯(lián)系設置為“條件”和“結論”，并將其“數學化”，就成為一個數學問題。平面幾何的教學，從某種意義上講就是教會學生認識基本圖形，抓住基本圖形分析和解決問題，并使之成為一種解決問題的思路。

一、立足基本圖形，夯實圖形基礎

關于基本圖形的定義，學界并沒有一個統(tǒng)一的界定，它不像一些基本的數學概念那樣嚴謹、清晰。華中師范大學教育學院劉輝老師認為，基本圖形可分為三類：概念型基本圖形，定理型基本圖形，經驗型基本圖形。

如：平面幾何當中的平行線、直角、等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等幾何概念，都對應著一個基本圖形，我們稱之為概念型基本圖形。

平面幾何中，每一個公理、定理及推論都對應著一個圖形，在這個圖形當中都包涵著命題的題設和結論，如：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（如圖1）;等腰三角形頂角角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（如圖2）等，我們稱之為定理型基本圖形。

還有一類基本圖形，就是我們在教學中，通過例題、習題的經驗積累，把一些有代表性的圖形歸納為基本圖形，作為思考其他綜合圖形的基礎圖形。如：直角三角形斜邊上高（如圖3）;一個平角被任意一條射線分成的兩個角的角平分線互相垂直（如圖4）等。

二、抓住問題核心，分離基本圖形

從復雜的圖形中分離出基本圖形是一種有效的幾何思維方式，它能夠抓住問題的核心，擺脫復雜圖形對思維的干擾，分解問題難點，化難為易，找出解決問題的途徑。

1.從復雜的幾何圖形中分離出基本圖形

例1 如圖5，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合。

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF;

（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化。如果不變，求出這個定值;如果變化，求出最大（或最小）值。

分析：連接AC以后，只要抓住等邊三角形ABC和等邊三角形AEF這兩個基本圖形即可解決問題（如圖6）。因為四邊形AECF的面積就是等邊三角形ABC的面積，△CEF的最大面積就是當△AEF面積最小時的面積，所以只需求當等邊三角形AEF的邊AE⊥BC時，求出其面積即可。

2.從函數圖像與幾何圖形的綜合圖形中分離出基本圖形

例2 如圖7，已知直線[y=ax+k]經過拋物線[y=ax2-4ax]的頂點A，且與x軸的交點為B。

（1）求k與a的關系式;

（2）∠OAB有沒有可能為銳角？如果有，求出a的取值范圍。若沒有，說明理由。

分析：求出頂點A（2，-4a），則直線的關系可表示為[y=ax-6a]，則B（6，0）。去掉坐標系，去掉拋物線和直線，分離出△OAB即可（如圖8）。“∠OAB有沒有可能為銳角”轉化為“∠OAB有沒有可能為直角”的問題，在“直角三角形斜邊上的高”這一基本圖形中求AC即可。

三、構造基本圖形，突破問題關鍵

1.添加輔助線，將基本圖形補充完整

例3 如圖9，在△ABC中，AB=12，AC=18，E是BC的中點，AD平分△ABC的外角∠FAB，且BD⊥AD，垂足為D，連接DE，求DE的長。

分析：抓住圖9中“AD平分∠FAB，AD⊥BD”這一條件，聯(lián)想到基本圖形“一個三角形的角平分線與對邊上的高互相重合”，于是延長BD交AF于G，就構造了“等腰三角形ABG”（如圖10），實際上就是將等腰三角形ABG補充完整，即可得出D是BG的中點，DE則是△GBC的中位線，這樣就可求出DE的長。

2.添加輔助線，構造基本圖形

例4 如圖11，BD是□ABCD的對角線，AE⊥CD于E，交BD于F，BF=2AD，∠ADE=75°，求∠AFB的度數。

分析：由條件“BF=2AD”，和“∠BAE=90°”，可聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線”這一基本圖形，于是作△ABF斜邊BF上的中線（如圖12），即構造了基本圖形“△ABF的斜邊BF上的中線AG”（如圖13），問題會迎刃而解。

總之，在平時的教學中，要立足基本圖形，夯實圖形基礎，熟練掌握各個概念型基本圖形的性質與判定，熟練掌握各個定理型基本圖形的題設與結論，熟練運用經驗型基本圖形，使學生依托于基本圖形，學會簡單思考，簡單分析，實現(xiàn)圖形的題設與結論的相互轉化，把學生的合情推理和演繹推理能力的培養(yǎng)放在問題探究過程中的重要位置。