函數(shù)和方程是初等數(shù)學的主要內(nèi)容，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，是解決實際問題的重要工具。

從小學數(shù)學到中學數(shù)學，數(shù)與代數(shù)領域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)主要研究具體的、確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，方程主要研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，函數(shù)主要研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程是立足于“式”的相等關(guān)系，函數(shù)卻是變量間的依賴關(guān)系。

函數(shù)是初等數(shù)學內(nèi)容的主干，主要包括函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，重點介紹了幾類典型的函數(shù)。函數(shù)的思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題。具體來說，就是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，即用函數(shù)的觀點去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，它貫穿于小學、中學數(shù)學的全部內(nèi)容，是在學習正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)的過程中逐漸形成，并為研究這些函數(shù)服務的。在研究方程、不等式、復數(shù)、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容時，函數(shù)思想也起著十分重要的作用。

方程是初中代數(shù)的主要內(nèi)容。初中階段主要學習幾類方程和方程組的解法，但在初中階段很難形成方程的思想。所謂方程的思想，就是分析、研究數(shù)學問題中變量間的關(guān)系，通過設未知數(shù)、列方程（不等式）或方程（不等式）組，解方程（不等式）或方程（不等式）組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決，是對方程概念的本質(zhì)認識。

函數(shù)和方程雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們之間有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如3x-5=7。函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)一定的法則相對應，呈現(xiàn)的形式可以是解析式、圖像和表格等，如集合A為大于等于1、小于等于20的整數(shù)，集合B為小于等于40的正偶數(shù)，那么兩個集合的數(shù)之間的對應關(guān)系可以用y=2x表示，也可以用圖象表示，還可以用表格表示。

函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的。函數(shù)與方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學思想。

對于函數(shù)y=f（x），當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函數(shù)問題（例如：求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點。

函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f（x），當y>0就化為不等式f（x）>0，借助于函數(shù)的圖像與性質(zhì)可解決相關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。

函數(shù)與方程思想在解決問題中的應用，一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的。

函數(shù)與方程的思想是數(shù)學的基本思想，也是數(shù)學教學的重點。教學中，我們可以使用選擇題和填空題訓練函數(shù)與方程思想的基本運用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力的關(guān)系角度進行綜合教學和訓練。

函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等。方程思想的應用可分為逐漸提高的四個層次：（1）解方程或不等式;（2）含參數(shù)的方程或不等式的討論;（3）轉(zhuǎn)化為對方程的研究，如曲線的位置關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)、集合的關(guān)系;（4）構(gòu)造方程或不等式求解。

我們來看看下面兩個問題的教學：

問題1. 若不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈（0，[12]]成立，則a的最小值是（ ）。

A. 0B. -2C. -[52]D. -3

教學中可這樣引導學生分析和思考：

①分離變量，有a≥-（x+[1x]），x∈（0，[12]]恒成立，右端的最大值為-[52]，故選C。

②看成關(guān)于a的不等式，由f（0）≥0，且f（[12]）≥0可求得a的范圍。

③設f（x）=x2+ax+1，結(jié)合二次函數(shù)圖像，分對稱軸在區(qū)間的內(nèi)外三種情況進行討論。

④f（x）=x2+1，g（x）=-ax，則結(jié)合圖形（像）可知原問題等價于f（[12]）≥g（[12]），即a≥-[52]。

⑤利用選項，代入檢驗，D不成立，而C成立，故選C。

不難看出，思路①～④具有函數(shù)觀點，可謂居高臨下，而思路⑤又充分利用了題型特點。

問題2.若拋物線[y=-x2+nx-1]和兩端點為A（0，3），B（3，0）的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍。

教學時先引導學生由方程思想將曲線的交點問題轉(zhuǎn)化成方程的解的問題，再由方程有解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的實根分布問題，最后通過解不等式（組）得到所求范圍。因此，在綜合問題教學中，解決一個問題常常不止需要一種數(shù)學思想，而是兩種數(shù)學思想方法的聯(lián)用。例如，函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用，它們間的相互轉(zhuǎn)換一步步使問題獲得解決，轉(zhuǎn)換的途徑為：函數(shù)→方程→函數(shù)，或方程→函數(shù)→方程。

實際上，函數(shù)與方程是相互聯(lián)系的，在一定條件下，它們可以相互轉(zhuǎn)化。函數(shù)思想在于揭示問題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，運用函數(shù)思想解題，重在對問題中的變量的動態(tài)研究，從變量的運動、變化、聯(lián)系和發(fā)展角度打開思路;而方程思想則是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系。函數(shù)思想與方程思想常常是相輔相成的，函數(shù)的研究離不開方程。列方程（組）、解方程（組）和研究方程（組）的特性，都是應用函數(shù)與方程思想時需要重點考慮的問題。

在函數(shù)與方程思想教學中，應特別注意以下幾點：（1）深刻理解一般函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的具體特征，是應用函數(shù)思想的基礎。（2）在解決非函數(shù)問題時，要仔細觀察和分析問題中的各元素，產(chǎn)生由此及彼的思想，構(gòu)造出相關(guān)的函數(shù)模型，使問題獲得巧妙地解決。（3）許多數(shù)學問題中都含有多元參變量，根據(jù)題目需要變換“主元”往往能出奇制勝，但不要脫離題目本身的條件。（4）函數(shù)方程思想與其他幾種思想融合使用，才能顯示出其強大威力，不要脫離其他思想單獨“鉆題”，浪費時間。

函數(shù)思想，不只是利用函數(shù)的方法技巧來研究和解決有關(guān)函數(shù)自身的問題，更重要的是運用函數(shù)的觀念去分析問題、解決問題，它的精髓是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)建函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題。實際應用時，主要體現(xiàn)在：構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)性質(zhì);選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系;選取輔助變元，確定函數(shù)關(guān)系;利用二項式定理構(gòu)造函數(shù);用函數(shù)的思想解答數(shù)列、解析幾何、立體幾何等問題;建立函數(shù)關(guān)系解答應用問題;等等。

方程思想，說白了就是若變量之間的關(guān)系是通過解析式表示的，則可以把解析式看成一個等式，然后運用方程的理論就可以使問題得到解決。主要體現(xiàn)在：直接解方程、分析方程的解，通過換元構(gòu)成新方程，直接構(gòu)造方程求解。

由此可見，熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應用函數(shù)與方程思想解題的基礎，善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。

高慧明

北京市中學數(shù)學特級教師，現(xiàn)任教于北京市第十二中學;教育部課程改革“全國先進工作者”，教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關(guān)數(shù)學課堂教學、班級管理、教師專業(yè)成長等專題報告多場;在《教育研究》《中國教育學刊》《數(shù)學教育學報》《數(shù)學通報》等學術(shù)期刊上發(fā)表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學復印報刊資料《中學數(shù)學教與學》《中小學教育》全文轉(zhuǎn)載;已出版?zhèn)€人專著《高中數(shù)學思想方法及應用》《高考數(shù)學命題規(guī)律與教學策略》《讓高中生學會學習》《高慧明數(shù)學教學實踐與研究》（叢書）等多部，應邀主編、參編教材和教學著作30余部。