楊渭革

[摘? ?要]高中數(shù)學題型越來越抽象，學生在解題過程中分析題干信息不全面導致問題頻出，而應用數(shù)形結(jié)合思想，有助于學生將抽象問題直觀化，從而有效解決問題.教師可從繪制圖形、構(gòu)造圖形、轉(zhuǎn)化圖形和觀察圖形四個方面引導學生應用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合思想;數(shù)學解題;高中數(shù)學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0035-02

“數(shù)”和“形”是數(shù)學研究的兩個主要方面，這兩個方面相輔相成，通過彼此之間的轉(zhuǎn)換和建構(gòu)，以“形”代“數(shù)”，則可以使原本抽象的數(shù)學等式、題干立意在圖形的表示中一目了然，尋找到數(shù)量關(guān)系，進而有效解決問題.數(shù)形結(jié)合對學生解題能力和解題效率的提升都有很大的幫助.因此，筆者從以下四個方面就如何應用數(shù)形結(jié)合思想指導學生解決問題展開論述.

一、繪制圖形，化靜為動

高中數(shù)學習題中，常有求值域、取值范圍等題型，尤其在處理有某種函數(shù)關(guān)系的取值范圍時，學生常存在分析不清楚題干或分析問題不全面等問題.筆者認為，在處理這些問題時，應通過建立坐標系，化靜態(tài)為動態(tài)，在變化中求解問題.這樣的方式既便捷又全面.

例如，在求解函數(shù)中未知項的取值范圍時，如有向線段PQ，P的坐標為（-1，1），Q的坐標為（2，2），已知一條直線l：x+my+m=0與有向線段PQ的延長線相交，試求l中m的取值范圍.筆者在指導學生解決此題時，首先做的就是引導學生全面分析題意，如抓住“有向”等關(guān)鍵字眼，這個是解決本題的關(guān)鍵點.之后便引導學生采用數(shù)形結(jié)合的方式來解決問題.第一步就是將l的表達式換為點斜式，即y+1=-1/m·x，則可得出l的斜率為-1/m，且直線l恒過定點A（0，-1），在求有向線段PQ所在直線的斜率kPQ=1/3，A與Q連線斜率為kAQ=3/2，則之后繪制坐標圖，在圖中分析，當斜率-1/m取最小值時，即直線l與PQ所在直線趨于平行時，即-1/m[>]1/3，而直線l的斜率取最大值時，則是l的斜率趨近于kAQ，即-1/m[<]3/2，在這樣一個范圍內(nèi)，直線l都可以與PQ延長線相交，則1/3[<] -1/m[<]3/2.因此，通過解答，學生便得出了m的取值范圍為-3[<]m[<]-2/3.

上述教學中，通過轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，繪制圖形，化靜態(tài)為動態(tài)，在動態(tài)中分析問題，使學生可以迅速理解和掌握此類題目的解題方法，并在日后遇到此類問題時能高效解決.

二、構(gòu)造圖形，凸顯關(guān)鍵

在高中數(shù)學中，最值問題是學生感到最頭疼的內(nèi)容，究其原因是抓不住題中的關(guān)鍵點.筆者認為，通過構(gòu)造圖形，凸顯關(guān)鍵節(jié)點，是最為簡單有效的解題方法.

例如，在求最值問題時，筆者通過以下問題指導學生進行解題，如已知關(guān)系式y(tǒng) = cosθ-31/2/sinθ+1，求y的最小值.筆者會先引導學生尋找題干中的關(guān)鍵點，如該關(guān)系式恒過定點A（sinθ，cosθ），B（-1，31/2），這是學生可以從題干中分析出來的，而A是圓x2+y2=1上的點，B則是定點，對此可以利用已知構(gòu)造圖形，通過在坐標系中表示各數(shù)據(jù)，連接BO、AO之后，再尋找它們的關(guān)系，分析判斷之后便可以得出AO=1，而通過B的坐標點得出BO=2，DO=AO=1，根據(jù)學過的三角形知識可知∠ABO=∠DBO=30°，則關(guān)系式y(tǒng) = cosθ-31/2/sinθ+1的最小值就為tan150°的值，即為-31/2/3，至此問題迎刃而解.

這樣的教學，使學生學會通過構(gòu)造圖形尋找最小值時所對應的三角函數(shù)關(guān)系，則在解決問題時，便凸顯出了關(guān)鍵點，為學生分析難題提供了行之有效的方法.

三、轉(zhuǎn)化圖形，尋求正解

利用習題中的條件尋找某種關(guān)系，然后將其轉(zhuǎn)化為圖形，再分析圖中蘊含的條件，可以有效地提升學生的解題效率.筆者認為，在解題時，還可根據(jù)題意轉(zhuǎn)化圖形，在轉(zhuǎn)化圖形的過程中，尋求題目的正確解答.這樣的方式，可以幫助學生全面分析問題，防止遺漏.

例如，已知A集合為[x|-2≤x≤a]，B集合為[z|z=2x+3，x∈A]，C集合為[y|y=x2，x∈A]，且C屬于A，求a的取值范圍.在這種題型中，有4種情況出現(xiàn)，且4種情況缺一不可，雖然有時不會影響到最后取值，但在解題過程中也應注明，這樣才可以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)慕忸}思路.如z =2x+3，在A集合范圍中是遞增函數(shù)，因此，學生可以得出B集合為[z-1≤z≤2a+3]，到這步時，學生基本是可以掌握的.而在分析C集合時，則會有多種情況出現(xiàn).筆者引導學生通過繪制圖形及轉(zhuǎn)換圖形，分[-2≤a≤0]、[0≤a≤2]、[a>2]、[a≤-2]四種情況進行分析，根據(jù)C [∈] B的條件，則分析轉(zhuǎn)換圖形中發(fā)現(xiàn)，第一種情況，當a[∈][-2，0]時，a2 ≤ z ≤ 4，則2a+3 ≥ 4，解得a ≥1/2，則與前提條件-2 ≤ a ≤ 0相矛盾，所以第一種情況是矛盾的，則需要將其排除.同樣的，利用這種方式，分析其他三種情況，符合條件的留下，不符合的排除，最后便總結(jié)得出a的取值范圍為（-∞，-2）∪[1/2，3].

在不停地轉(zhuǎn)化圖形的過程中，則可以全面地分析出題意包含的各種情況，可以達到精準求解的目的，在解決選擇題和填空題時應用這種方式，可以有效提升解題效率.因此，筆者在指導學生進行數(shù)學解題時經(jīng)常采用這種方法，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想.

四、觀察圖形，判斷驗證

在解決完問題之后，可通過觀察解題的圖形進行判斷和驗證，來確定自我求解過程是否正確，因為在求解一些問題時，在高中數(shù)學范圍內(nèi)，所求值可能是位于交點處.因此，可通過觀察解題的圖形，判斷驗證求值是否正確.

例如，在解決“根據(jù)以下三個不等式x ≥1，x-y ≤ 0，x+2y-9 ≤ 0，求出x+y的最大值”這道題時，學生通常會將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，然后讓其相等，建立方程，求出交點值，至此便認為可以求出x+y的最大值.筆者發(fā)現(xiàn)學生的這種問題后，便在指導解題時，偏向引導學生畫出線性規(guī)劃的坐標圖，標注出其中的陰影部分，然后再分析最值.筆者認為這樣更為嚴謹且不容易出錯，即y=x，y=-1/2x+9/2，然后求解最值，在求各個交點值之后，得出最大值點是（3，3），即x+y的最大值為6，便可結(jié)合圖形判斷原求值是否正確.在圖形中，可以按照分析斜率的大小關(guān)系，判斷出最大值應該出現(xiàn)在何處;同樣的，還可以通過圖形判斷最小值和計算最小值等問題.

通過觀察圖形這種方式，可使學生快速找到思路，判斷驗證求解過程，同時培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想.

總之，在教學中，利用數(shù)形結(jié)合思想指導學生解決數(shù)學問題，有助于學生高效解題和理解掌握知識點.高中數(shù)學相比于初中數(shù)學和小學數(shù)學更加抽象，因此教師必須在解題過程中，引導學生打破抽象的表象，利用圖形分析出它的本質(zhì)內(nèi)容，從而有效提升學生的解題能力.

（特約編輯 安? ?平）