胡 晗，楊 偉，侯冬梅

（長江科學院水力學研究所，武漢 430010）

1 研究背景

近年來，由于氣候變化導致極端洪澇災害頻發(fā)，加之社會經濟的快速發(fā)展，水利工程的泄洪及防洪安全日益成為廣泛關注的重要課題。許多國家，包括國際大壩委員會都在制定新的洪水標準，普遍將原來大壩的洪水標準提高1到2個量級，除了傳統(tǒng)的最大可能洪水（MPF）外，甚至還要考慮極端致災因子如潰壩等的影響，這就使得許多已建工程普遍存在泄洪能力嚴重不足的問題。因此，尋找一種高效、安全、經濟，既可用于新建工程，又可用于已建工程提升改造的泄流設施就成為一個非常迫切的課題。

溢洪道是水庫中用來泄洪、控制水庫水位的建筑物。在洪水發(fā)生時，為了保障水庫安全，溢洪道需要擁有較強的泄流能力，許多水利工程選用自由出流式的溢洪道，而不是閘門控制式的溢洪道。溢流堰通?？梢苑譃橹本€型、曲線型和折疊型。在折疊型的溢流堰中，迷宮堰通過在固定寬度的情況下提供更長的溢流前緣總長，從而達到增強泄流能力的目的。迷宮堰可以建造為不同的形式，其中采用對稱梯形設計的迷宮堰泄流能力要高于矩形設計的泄流能力。

琴鍵堰作為迷宮堰的一種全新形式，平面形狀和傳統(tǒng)迷宮堰類似，但采用向上游和下游懸出的結構（如圖1）。相比于傳統(tǒng)迷宮堰，琴鍵堰得益于向上下游懸出的結構，從而得到更小的生根面積。對大多數(shù)水庫溢洪道來說，受地形等因素限制，單純加寬溢洪道提高泄量一般很難辦到，也不經濟。而琴鍵堰能在較小水頭下顯著提升泄流能力，且改造容易實施，因此被認為是目前水庫大壩溢洪道升級改造最有效的辦法，在病險水庫的除險加固方面有著廣闊的應用前景。

圖1 琴鍵堰Fig．1 Piano key weirs

在進行前期的試驗之后，Lempérière和 Ouamane［1］對琴鍵堰作了如下定義：堰的結構為矩形，和鋼琴的琴鍵類似；進水宮室和出水宮室底部分別向下游和上游傾斜；采用向上下游懸出的結構。圖1為法國電力公司建造的琴鍵堰。

世界上第1個琴鍵堰建造于法國的Goulours大壩［2］，鑒于其良好的實際效果，接下來陸續(xù)建造于St.Marc和Gloriettes大壩［3］。目前世界上已經新建了多座琴鍵堰溢洪道，有法國的Etroit（2009）、Gloriettes（2010）、Escouloubre（2011）、Malarce（2012），瑞士的Emmenau（2012），英國的Black Esk（2013），越南的 Van Pongh dam（2011），斯里蘭卡的 Giritale（2013）等大壩［4］。目前在中國存在大量窄河谷、大泄流量要求的水利工程，在面對超標洪水時存在較大風險，迫切需要琴鍵堰這樣能顯著提高溢洪道泄流能力的工程手段，但國內尚無琴鍵堰的工程應用案例，因此其極具研究價值和應用前景。

近十幾年來，圍繞琴鍵堰的各個方面進行了廣泛的研究。其中，Machiels等［5］通過模型試驗研究了矩形琴鍵堰過流時的流態(tài)特征；Marcelo等［6］研究了琴鍵堰的水力設計；Karaeren和 Bozku［7］，Anderson和Tullis［8］將琴鍵堰和迷宮堰進行了比較，認為琴鍵堰更有優(yōu)勢。中國水利水電科學研究院（以下簡稱中國水科院）耿運生與孫雙科［9］對這種琴鍵堰進行了基本的試驗研究，2014年中國水科院的郭新蕾等［10］在搜集國外試驗數(shù)據的基礎上，給出了琴鍵堰泄流能力的一個擬合公式；2015年，李國棟等［11］通過數(shù)值模擬方法，研究了琴鍵堰不同溢流前緣泄流特性，獲得了琴鍵堰出水口、進水口及側向3個溢流前緣上的泄流量，分析了出水口、進水口及側向泄流在總泄流中所占的比例及泄流效率隨水頭升高的變化規(guī)律。

琴鍵堰過流時，部分水流越過側堰進入出水宮室，與出水宮室的水流發(fā)生碰撞，流場復雜，呈現(xiàn)出明顯的三維特性。因此其流量計算無法直接套用經典的堰流流量計算公式。

多名研究者在琴鍵堰流量計算方面進行了探索。Leite等［12］通過定義琴鍵堰的流量比系數(shù)r來描述琴鍵堰的泄流能力。Abdorreza等［13］提供了琴鍵堰在自由出流和淹沒出流工況下的流量系數(shù)。Machiels等［14］通過一系列的試驗，研究了單個參數(shù)對琴鍵堰水力特性的影響。琴鍵堰的單寬流量被分為了3部分分別計算，有明確的物理意義。然而，公式中由于未考慮到進水宮室內的水頭損失，其計算結果與 Lempérière的試驗結果［1］相差較大。

在之前的研究與應用中，最初琴鍵堰的設計方法是基于現(xiàn)有的從縮小比例模型的理想化試驗結果得出的，其主要幾何參數(shù)由對比例模型的幾何尺寸外推放大確定。根據這個幾何形狀，對縮小尺寸的模型進行測試，以確認它的效率。琴鍵堰的結構從最初的幾何結構經過工程師們一步一步修改之后最終設計成形。直到目前，綜合各方面因素進行的琴鍵堰優(yōu)化設計工作還處在探索階段，且尚無從機理上分析影響琴鍵堰的泄流效率的研究。本文作者篩選出了對琴鍵堰泄流效率產生顯著影響的幾何特征，并提出了物理意義明確且精度高的琴鍵堰流量計算方法，以期為琴鍵堰的設計提供可靠的依據。

2 琴鍵堰的結構

琴鍵堰的幾何結構可以看作不同結構單元的結合：基本結構、護墻和上游端導流結構。進水宮室是一個琴鍵堰單元中開口朝向上游方向的“鍵”，由2個側堰和下游端堰頂限定。出水宮室是一個琴鍵堰單元中開口朝向下游方向的“鍵”，由2個側堰和上游堰頂限定。琴鍵堰的基本結構由若干個“琴鍵堰單元”組成。由給定的基本結構可以確定的參數(shù)有：溢流前緣總長度L、琴鍵堰總寬度W和琴鍵堰單元數(shù)目Nu。

琴鍵堰單元代表完整的最小琴鍵堰結構，由一個完整的進水宮室、2個側堰和位于兩側各一半的出水宮室組成。為了使表達更直觀，給琴鍵堰單元中進水宮室的各個參數(shù)定義下標“i”；出水宮室的各個參數(shù)定義下標“o”；側堰的各個參數(shù)定義下標“s”。

定義琴鍵堰單元幾何形狀的結構參數(shù)有單位寬Wu，進／出水宮室寬度 Wi和 Wo，琴鍵堰堰高 P，進／出水宮室坡度Si和So，向上游和下游方向懸出結構的長度Bo和Bi，側堰長度B。

由于琴鍵堰主要建于大壩壩頂，琴鍵堰以下大壩的高度定義為Pd。

圖2 琴鍵堰結構Fig．2 Structure of piano key weir

Lempérière和 Ouamane［1］指出相對溢流前緣長度L／W是影響琴鍵堰泄流能力最主要的幾何參數(shù)，該觀點也被 Marcelo等［6］所證實。而 Lempérière指出，L／W的值等于5時，琴鍵堰的泄流能力和其工程造價能達到最佳的平衡。本文在系統(tǒng)研究其他幾何參數(shù)造成的影響時，相對溢流前緣長度L／W的值取為由 Lempérière等［15］提出的最佳值“5”。

3 數(shù)值模擬方法及其驗證

3.1 數(shù)學模型及邊界條件

本文以Flow-3D軟件為計算工具，選用VOF模型對琴鍵堰的三維流場進行模擬。其控制方程如下。

連續(xù)性方程：

動量方程：

式中：u，v，w分別為 x，y，z方向的流速分量；Ax，Ay，Az分別為計算單元x，y，z3個方向上可流動的面積分數(shù)；t為時間；VF為各計算單元內液體的體積分數(shù)；ρ為液體密度；p為作用在流體微元上的壓力；Gx，Gy，Gz分別為 x，y，z方向上的重力加速度；fx，fy，fz分別為x，y，z3個方向的黏滯力。選擇標準k-ε模型封閉方程。

首先按照 Lempérière的試驗［1］建立了相同尺寸的琴鍵堰數(shù)值模型，其幾何參數(shù)如表1所示。在計算模型中的琴鍵堰上游方向設置了10 m的行進段，以確保琴鍵堰中水流的流態(tài)不會受到上游邊界條件的影響。

表1 Lempérière琴鍵堰試驗模型尺寸Table 1 Geometrical parameters of the piano key weir from Lempérière’s experiment

在設置計算網格時，垂直于固體表面的網格間距，為保證數(shù)值計算的精度，要求在貼近固體表面的層流中必須有至少一個計算網格節(jié)點?？傮w選擇10 cm的均勻網格進行計算，網格形狀為立方體，x＝y(tǒng)＝z，對關鍵的結構特征處進行網格加密處理。

進口邊界條件設置為固定水面高度的邊界條件；上部邊界條件設置壓力為0的壓力邊界條件；琴鍵堰結構的表面設置為無滑移的固體邊界條件；在兩側，即進水宮室和出水宮室中間，采用對稱邊界條件。為了確保琴鍵堰中的流態(tài)區(qū)域達到穩(wěn)定，每個數(shù)值模擬工況運行時間設置為30 s。

3.2 數(shù)學模型的驗證

Lempérière等人提供了很大水頭范圍的單寬流量試驗數(shù)據（表2），可以供本研究的數(shù)值計算結果進行對比。琴鍵堰的運行效率可以定義為，在給定上游水位的情況下，通過琴鍵堰排向下游的總單寬流量q，即單位堰寬的泄流量。

表2 數(shù)值計算誤差分析Table 2 Comparison of specific discharge between physical and numerical model

與試驗結果比較發(fā)現(xiàn)，數(shù)值計算結果平均相對誤差為2.22%，最大相對誤差為5.71%。證明采用VOF模型的計算結果是可靠的，能準確反映琴鍵堰內的流動特性。

4 溢流前緣流量分布

由于本研究采用數(shù)值模擬的方法，因此可以將流過琴鍵堰溢流前緣的流量分為幾個部分，進行精細化分析。為了定量分析琴鍵堰溢流前緣各部位在不同上游水頭工況下流量分布情況，本文用曲線坐標s來標識半個琴鍵堰單元的溢流前緣。

由于琴鍵堰為對稱結構，半個單元的琴鍵堰中的流態(tài)就可代表整個琴鍵堰中的流態(tài)。本研究將半個單元的琴鍵堰的堰頂分為3段（見圖3和圖4）：出水宮室上游端堰頂（AB）、側堰（BC）和入水宮室下游端堰頂（CD）。這3部分堰頂?shù)倪^流量之和即為半個琴鍵堰單元的總泄流量。

圖3 琴鍵堰單元的堰頂劃分Fig．3 Division of the crest of piano key weirs

圖4 曲線坐標s平面圖Fig．4 Curvilinear abscissas

出水宮室上游端堰頂（AB）、側堰（BC）和進水宮室下游端堰頂（CD）的過堰流量分別為

式中：u為出水宮室上游端堰頂（AB）上方垂直于上游堰頂?shù)牧魉俜至浚瑯哟怪庇谶M水宮室下游端堰頂（CD）；v為側堰（BC）上方垂直于側堰的流速分量。

本研究對按照Lempérière的試驗同尺寸的琴鍵堰數(shù)值模型在不同的上游水頭工況進行了模擬。得出了不同上游水頭工況下 （0.5，1.0，2.0，3.0，4.0 m），琴鍵堰溢流前緣各部位的單寬流量分布曲線，如圖5所示。

圖5 琴鍵堰溢流前緣各部位的單寬流量分布曲線Fig．5 Discharge per unit width at the crest of a piano key weir unit for various H values

圖5 清楚地表明各流量工況下，出水宮室上游端堰頂（AB段）的過堰單寬流量分布均勻，并接近于同等水頭下薄壁堰的單寬流量；由于受到側堰和出水宮室上游端堰頂（AB段和BC段）過堰水流交匯影響，在出水宮室上游堰頂靠近側堰處（B點附近）單寬流量顯著減??；側堰（BC段）過堰單寬流量小于出水宮室上游端堰頂（AB段），同樣受到過堰水流交匯影響，而且靠近兩端的部位（B點和C點附近）單寬流量顯著減??；進水宮室下游端堰頂（CD段）的過堰單寬流量大小介于出水宮室上游端堰頂（AB段）和側堰（BC段）之間，在進水宮室下游端堰頂靠近側堰處（C點附近）單寬流量顯著減小。

表3概括了琴鍵堰過堰總流量中溢流前緣各部位流量的占比。

表3 一個琴鍵堰單元中溢流前緣各部位單寬流量分布Table 3 Distribution of discharge per unit width along the crest of a piano key weir unit

從以上分析可以發(fā)現(xiàn)，在較低上游水頭的工況下，琴鍵堰進水宮室內主流方向的流速較小，自由水面趨于水平，各部分堰頂?shù)牧鲬B(tài)都接近于薄壁堰，琴鍵堰主要的泄流量由側堰提供（在0.5 m水頭工況下占總體流量的82.00%），此時琴鍵堰通過較大的相對溢流前緣長度L／W來提高泄流量的優(yōu)勢得以充分發(fā)揮。隨著上游水頭的提高，琴鍵堰上游端堰頂?shù)牧鲬B(tài)由于不受其他因素干擾幾乎保持不變。而側堰過堰水流由于會受到進水宮室中主流流速和出水宮室另一側過堰水流的正向干擾這2個因素的影響，導致側堰過堰流量占比相對下降。琴鍵堰下游端堰頂?shù)牧髁?，由于進水宮室中不斷增大的水頭損失，其占比也相對下降。在4 m上游水頭的高水頭工況下側堰流量只占整體泄流量的一半左右，因此琴鍵堰通過較大的相對溢流前緣長度L／W來提高泄流量的優(yōu)勢被大幅削弱。

5 流量計算方法

5.1 總流量分析

琴鍵堰的泄流能力定義為某一水頭工況下的單寬流量，其表達式為

式中：Q為一個琴鍵堰單元的總流量；Wu為一個琴鍵堰單元的寬度。

一個琴鍵堰單元的總流量可以被看作由3部分構成：出水宮室上游端堰頂流量Qu、側堰堰頂流量Qs和入水宮室下游端堰頂流量Qd，即

結合琴鍵堰的結構（圖2），出水宮室上游端堰頂，側堰堰頂和入水宮室下游端堰頂?shù)钠骄鶈螌捔髁糠謩e為

于是琴鍵堰在某一上游水頭工況下的單寬流量為

接下來本研究將分別討論出水宮室上游端堰頂，入水宮室下游端堰頂和側堰堰頂?shù)钠骄鶈螌捔髁浚╭u，qd，qs）的計算方法。

qu，qd，qs的值都與上游水頭H和琴鍵堰的結構參數(shù)相關。為了找出影響琴鍵堰堰頂各部分的單寬流量（qu，qd，qs）的主要影響因素，本研究采取了正交試驗的研究方法。

在琴鍵堰中，對出水宮室上游端堰頂，入水宮室下游端堰頂和側堰的平均單寬流量（qu，qd，qs）產生影響的因素一共有2方面：一方面是上游水頭H；另一方面是琴鍵堰的結構參數(shù)，包括 Wu，Wi，Wo，P，B，Bo，Bi。這7個結構特征參數(shù)能夠確定琴鍵堰單元的結構。

為了讓研究更具一般性，本研究對琴鍵堰的結構參數(shù)和上游水頭作了無量綱化處理。固定琴鍵堰單元寬度Wu＝4.8 m，其他幾個參數(shù)取為和琴鍵堰單元寬度的相對值。

式中Lu為1個琴鍵堰單元的溢流前緣總長。

在此條件下描述琴鍵堰結構參數(shù)和運行工況的一共有4個因素：相對堰高、進／出水宮室寬度比上／下游懸出長度比相對上游水頭

表4 不同工況下的琴鍵堰結構參數(shù)Table 4 Geometric parameters of piano key weirs simulated under different conditions

本研究考慮以薄壁堰單寬流量的計算公式為基礎來確定 qu，qd，qs的計算方法。

5.2 上游端堰頂流量

由于過堰水流存在相互干擾現(xiàn)象，因此在同樣上游水頭工況下，和普通向上游端傾斜的薄壁堰相比，琴鍵堰的上游端堰頂?shù)牧魉僭趦啥丝拷鼈妊咧髁鞣较虻牧魉倬兴鶞p小。因此琴鍵堰上游端堰頂?shù)膯螌捔髁縬u略小于薄壁堰在同樣工況下的單寬流量qsharp-crested。

假設：

式中Ku為比例系數(shù)。

薄壁堰的流量計算公式為

其中，薄壁堰的流量系數(shù)Cs為

在這里為了計算堰高PT，必須考慮琴鍵堰下方的水壩高度Pd。則有

因此，

正交試驗結果顯示任意體型的琴鍵堰在不同水頭工況下 qu／qsharp-crested的值都接近于常數(shù) 0.932。因此，有

5.3 下游端堰頂流量

由于總水頭在進口處的局部損失和在進水宮室內的沿程損失，如果將琴鍵堰下游端堰頂看作一個向下游傾斜的薄壁堰，則在同樣上游水頭的工況下，琴鍵堰下游端堰頂單寬流量qd小于向下游方向傾斜的薄壁堰的單寬流量q′sharp-crested。

假設：

式中Kd為比例系數(shù)。

因此，

本研究采用由Boussinesq［16］提出的計算方法，來計算傾斜薄壁堰的單寬流量。即在薄壁堰的流量計算公式中加入坡度修正系數(shù)Ki。

式中i為薄壁堰的傾斜角度。

在琴鍵堰中Ki為

代入普通薄壁堰計算公式可得

根據數(shù)值模擬結果可得知Kd是上游水頭和琴鍵堰體型參數(shù)的函數(shù)。正交分析的結果顯示的值只與相對堰高和相對上游水頭著相關。

通過最小二乘法得出了Kd為

5.4 側堰流量

同樣假設：

式中：Ks為側堰流速修正系數(shù)，用于考慮相對堰高和相對上游水頭對側堰單寬流量q產生的影響；KW為堰寬修正系數(shù)，用于考慮進／出水宮室寬度比對側堰單寬流量q產生的影響。

代入普通薄壁堰計算公式可得

式中Pe為琴鍵堰側堰的平均堰高。由琴鍵堰的結構可知

通過最小二乘法得出了Ks和KW的計算式為：

5.5 誤差分析

為了驗證式（7）的計算精度，本研究將式（7）的計算結果與Lempérière的試驗成果進行了對比，并將Machiels公式和Kabiri-Samani公式的結果一同進行了對比，如圖6所示。

圖6 琴鍵堰單寬流量計算值與試驗結果的對比Fig．6 Comparison between experimental and calculated discharge per unit width of piano key weir

在不同工況下用式（7）計算的最大相對誤差為6.7%，平均相對誤差為3.7%。而Kabiri-Samani公式的計算結果最大相對誤差為23.6%，平均相對誤差為11.9%；Machiels公式的計算結果最大相對誤差為16.3%，平均相對誤差為10.1%。因此，式（7）的計算結果能夠滿足設計參考和進行優(yōu)化設計時的流量計算精度要求。

6 結 論

通過對不同幾何結構的琴鍵堰進行的正交數(shù)值試驗，確定了影響琴鍵堰泄流效率的主要幾何參數(shù)對水力特性的影響：相對上游水頭H／Wu對琴鍵堰上游端堰頂?shù)膯螌捔髁縬u產生顯著影響；相對堰高P／Wu和相對上游水頭H／Wu對琴鍵堰下游端堰頂?shù)膯螌捔髁?qd產生顯著影響；相對堰高 P／Wu、進／出水宮室寬度比 Wi／Wo和相對上游水頭H／Wu對側堰堰頂單寬流量qs產生顯著影響。針對影響琴鍵堰泄流效率的主要幾何參數(shù)，進行了數(shù)值仿真計算，基于水力學理論，推導了琴鍵堰的流量計算公式，并驗證了流量計算公式的精度較高。