胡添翼

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院水利水運(yùn)設(shè)計(jì)研究院，上海 210098）

1 研究背景

為了解混凝土壩變形狀態(tài)，工程人員常在壩體及其周?chē)荚O(shè)變形測(cè)點(diǎn)，定期獲取外觀變形數(shù)據(jù)，從而構(gòu)建混凝土壩的變形場(chǎng)［1-2］。事實(shí)上，混凝土壩變形數(shù)據(jù)來(lái)自不同空間坐標(biāo)的變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)，這些變形數(shù)據(jù)分布在一定的空間區(qū)域中，是典型的時(shí)空數(shù)據(jù)，具有時(shí)間性、空間性、復(fù)雜性、海量性、多維性、不確定性等多種特點(diǎn)，給相應(yīng)的時(shí)空數(shù)據(jù)挖掘帶來(lái)諸多挑戰(zhàn)［3］；同時(shí)，變形數(shù)據(jù)作為時(shí)空數(shù)據(jù)挖掘的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，一般分布在一定尺度的時(shí)間和空間范圍內(nèi)，受到時(shí)空范圍內(nèi)各種因素的綜合影響，因而實(shí)際獲取的數(shù)據(jù)可能存在著各種各樣的潛在問(wèn)題，如數(shù)據(jù)異常、數(shù)據(jù)殘缺等，數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域稱(chēng)這樣的數(shù)據(jù)為“受污染的數(shù)據(jù)”［4］。美國(guó)麻省理工學(xué)院的科研人員在1992年研究發(fā)現(xiàn)，大部分時(shí)空數(shù)據(jù)都存在不同程度的精度問(wèn)題［5］，時(shí)空數(shù)據(jù)污染是一種廣泛存在的現(xiàn)象。

工程實(shí)際中，一般基于固定的時(shí)間間隔收集混凝土壩變形數(shù)據(jù)，例如每日一測(cè)或每周一測(cè)，從而建立每一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形序列，了解其變形狀態(tài)；但是由于人為失誤、儀器損壞、數(shù)據(jù)丟失等不可控原因，往往會(huì)造成變形數(shù)據(jù)的缺失，從而影響變形數(shù)據(jù)的完整性。變形數(shù)據(jù)的缺失可能會(huì)造成非常嚴(yán)重的后果，如無(wú)法獲知該測(cè)點(diǎn)在數(shù)據(jù)缺失期間的變形數(shù)據(jù)，所以無(wú)法獲取該時(shí)段測(cè)點(diǎn)附近區(qū)域的變形大小，難以了解該區(qū)域的變形狀況；如果變形數(shù)據(jù)長(zhǎng)期缺失，此時(shí)一旦發(fā)生異常變形而無(wú)法被及時(shí)發(fā)現(xiàn)，可能造成的后果不堪設(shè)想；此外，由于數(shù)據(jù)缺失，對(duì)于變形分析模型的參數(shù)估計(jì)也會(huì)受到影響，導(dǎo)致分析模型的精度下降。如果能夠采用一定方法對(duì)變形數(shù)據(jù)的缺失信息進(jìn)行有效的估計(jì)或補(bǔ)償，對(duì)了解該測(cè)點(diǎn)某階段的變形情況無(wú)疑非常有幫助［6］。

本文針對(duì)上述問(wèn)題，從空間的角度研究混凝土壩變形監(jiān)測(cè)缺失信息的估計(jì)方法，從而盡可能還原時(shí)空數(shù)據(jù)挖掘的對(duì)象，并通過(guò)工程實(shí)例，驗(yàn)證本文提出的缺失信息估計(jì)方法的有效性。

2 變形缺失信息的傳統(tǒng)處理方法

造成變形時(shí)空數(shù)據(jù)不完整的原因有很多，一方面可能是由于數(shù)據(jù)本身的問(wèn)題，如數(shù)據(jù)本身存在缺失值，序列不完整；另一方面可能是在其他數(shù)據(jù)處理過(guò)程中造成的數(shù)據(jù)缺失，如剔除異?；蚝写植畹谋O(jiān)測(cè)值之后造成變形數(shù)據(jù)不完整。

針對(duì)不完整的時(shí)空數(shù)據(jù)，目前主要有以下2種處理方法：

（1）忽略法。一般情況下，因?yàn)闊o(wú)法完全還原真實(shí)的變形數(shù)據(jù)，針對(duì)缺失值的不合理估計(jì)可能反而會(huì)在分析模型中造成偏誤，所以忽略掉缺失的數(shù)據(jù)，不作處理。

（2）似然值法。在一些特定的情況下，如需要研究某一時(shí)刻變形數(shù)據(jù)的空間分布情況，或者采用的變形分析模型對(duì)原始數(shù)據(jù)有等距性要求（如很多針對(duì)時(shí)間序列的分析方法都要求數(shù)據(jù)是等距的），仍然需要對(duì)缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，用當(dāng)時(shí)最可能的似然值代替缺失值。

3 基于空間分布的缺失信息估計(jì)方法

混凝土壩作為一種典型的大型空間結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)在不同尺度上都具有一定的整體性，如混凝土重力壩的單個(gè)壩段以及混凝土拱壩的整個(gè)壩體等；同時(shí)，因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)的整體性，其變形值的分布在空間上也具有一定的連續(xù)性?；谶@種空間連續(xù)性假設(shè)，本文提出對(duì)某些缺失的變形值進(jìn)行估計(jì)的方法。

3.1 空間鄰近點(diǎn)回歸插值法

假設(shè)某混凝土壩壩體結(jié)構(gòu)完整，不存在明顯的結(jié)構(gòu)缺陷，有3個(gè)在空間上鄰近且結(jié)構(gòu)上相關(guān)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，B，C，如圖1所示，虛線表示變形后的壩體。

圖1 混凝土壩測(cè)點(diǎn)變形示意圖Fig．1 Demonstration of deformation at monitoring points of concrete dam

其中，測(cè)點(diǎn)A和C的數(shù)據(jù)是完整的，但是測(cè)點(diǎn)B有一段數(shù)據(jù)是缺失的，具體如圖2所示。

圖2 部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失示意圖Fig．2 Partial data missing

如果同時(shí)考慮測(cè)點(diǎn)A，B，C的空間鄰近性，那么測(cè)點(diǎn)B的缺失值應(yīng)該與測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)C在缺失時(shí)段的變形值有關(guān)，因此可以以測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)C所提供的變形信息作為依據(jù)，將測(cè)點(diǎn)B的變形序列δB表示為測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)C變形值的函數(shù)，則有如下表達(dá)式。

式中：g（δA）和g（δC）分別表示測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)C的變形值關(guān)于δB的函數(shù)；ε表示殘差。但因?yàn)榇髩谓Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，并不能直接判斷變形值之間是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)，這里采用多項(xiàng)式的形式對(duì)δA和δB、δB和δC之間的關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，借助散點(diǎn)圖對(duì)模型的次數(shù)進(jìn)行估計(jì)，則有

式中：αA和αC分別為含有δA和δC的多項(xiàng)式的系數(shù)；KA和KC為多項(xiàng)式的最高次數(shù)，該值可以通過(guò)繪制δB與δA，δB與δC的相關(guān)關(guān)系散點(diǎn)圖進(jìn)行確定；λ為回歸系數(shù)；βB為平移項(xiàng)。

進(jìn)一步，如果考慮更加普遍的情況，針對(duì)任一有缺失數(shù)據(jù)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)i的變形序列δit，則有

式中：δjt表示與δit相鄰測(cè)點(diǎn)的變形序列；L表示和測(cè)點(diǎn)i相鄰近的測(cè)點(diǎn)的數(shù)量（可以設(shè)置一定的臨界距離，判斷點(diǎn)與點(diǎn)之間的鄰近關(guān)系）；g（δjt）表示δit和δjt之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)（這里采用多項(xiàng)式進(jìn)行表達(dá)）；αij表示回歸系數(shù)；βi表示測(cè)點(diǎn)i的平移項(xiàng)。

根據(jù)δit和鄰近測(cè)點(diǎn)已有的變形數(shù)據(jù)用最小二乘法可對(duì)αij的數(shù)值進(jìn)行估計(jì)，從而最終確定模型的表達(dá)式。為了衡量模型的有效性，可計(jì)算模型的決定系數(shù)；決定系數(shù)越大，自變量對(duì)因變量的解釋程度越高。

3.2 空間反距離加權(quán)插值法

如果采用最小二乘法估計(jì)的效果不佳或者缺失的數(shù)據(jù)較多，可以采用反距離加權(quán)空間插值方法［7-9］對(duì)變形數(shù)值進(jìn)行估計(jì)，即認(rèn)為缺失測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)是鄰近測(cè)點(diǎn)加權(quán)平均的結(jié)果，此時(shí)鄰近測(cè)點(diǎn)變形值的權(quán)重之和為1，即有：

式中αij的取值和測(cè)點(diǎn)i和周?chē)鷾y(cè)點(diǎn)的空間距離有關(guān)。根據(jù)“地理學(xué)第一定律”［10-11］，空間距離越近的兩個(gè)點(diǎn)，其相關(guān)性越強(qiáng)，因此可以?。?/p>

式中：dij表示測(cè)點(diǎn)i和測(cè)點(diǎn)j之間的空間距離；系數(shù)γ一般取1或2。

相較于式（3），式（5）雖然有一定的近似，但其優(yōu)點(diǎn)在于變形的估計(jì)值僅僅和估計(jì)點(diǎn)的空間位置有關(guān)，因此可以估計(jì)一定空間范圍內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)的變形值大??；同時(shí)，因?yàn)閷?duì)系數(shù)的估計(jì)不需要借助于最小二乘回歸，其對(duì)缺失數(shù)據(jù)的數(shù)量沒(méi)有要求。

4 工程實(shí)例

為驗(yàn)證本文提出的變形缺失信息估計(jì)方法的有效性，以某混凝土重力壩的變形數(shù)據(jù)為例進(jìn)行實(shí)例分析。

4.1 工程概況

某混凝土重力壩最大壩高為185 m，壩體根據(jù)功能被分為左非、航運(yùn)、左廠、泄水和右非等多個(gè)壩段。其中，泄水壩段為重點(diǎn)監(jiān)測(cè)壩段，有4個(gè)重點(diǎn)監(jiān)測(cè)斷面，這里簡(jiǎn)記為1—4號(hào)斷面。為監(jiān)測(cè)壩體水平位移，4個(gè)斷面均布置有正、倒垂線組。

以斷面1為例，上面7個(gè)測(cè)點(diǎn)的變形過(guò)程線如圖3所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，這些測(cè)點(diǎn)的變形過(guò)程線具有比較強(qiáng)的相關(guān)性。

圖3 斷面1測(cè)點(diǎn)變形過(guò)程線Fig．3 Process lines of deformation at monitoring points in section 1

4.2 變形缺失信息估計(jì)

下面討論變形缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)問(wèn)題，以圖3中的測(cè)點(diǎn)PL5-4為例，人為構(gòu)造長(zhǎng)達(dá)2個(gè)月（2014年7—8月）的缺失段，為便于估算，也列出其他2個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)過(guò)程線，具體如圖4所示。

圖4 測(cè)點(diǎn)PL5-4數(shù)據(jù)缺失過(guò)程線Fig．4 Process lines of missing data at monitoring point PL5-4

將PL5-4和另外2個(gè)測(cè)點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系用相關(guān)圖的形式表達(dá)出來(lái)，具體如圖5所示。

圖5 3個(gè)測(cè)點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系分布Fig．5 Correlation of deformation between monitoring points

根據(jù)圖5的結(jié)果可以看出，測(cè)點(diǎn)PL5-4和鄰近測(cè)點(diǎn)呈現(xiàn)很明顯的線性相關(guān)。分別采用式（3）、式（5）以及傳統(tǒng)的線性插值對(duì)缺失段進(jìn)行估計(jì)。其中，根據(jù)式（3）得到的估計(jì)公式為

根據(jù)式（5）得到的估計(jì)公式為

根據(jù)式（8）和式（9）可以得到缺失值的估計(jì)序列，將原序列以及傳統(tǒng)的線性插值序列共同繪制于圖6。這幾種估計(jì)方法的估計(jì)精度如表1所示。

圖6 測(cè)點(diǎn)PL5-4數(shù)據(jù)缺失值估計(jì)過(guò)程線Fig．6 Process lines of estimated missing values for monitoring point PL5-4

表1 測(cè)點(diǎn)PL5-4數(shù)據(jù)缺失值估計(jì)精度Table 1 Accuracy of estimated missing values for monitoring point PL5-4

根據(jù)圖6和表1可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的缺失值估計(jì)方法具有較高的估計(jì)精度，其中空間鄰近點(diǎn)插值方法的估計(jì)效果最佳，決定系數(shù)和均方根誤差都是最優(yōu)的；空間反距離加權(quán)插值法的估計(jì)效果次之，但是它的優(yōu)勢(shì)在于可以估計(jì)一定空間內(nèi)任意測(cè)點(diǎn)的變形值；線性插值的效果最差，尤其是本例這種長(zhǎng)時(shí)間段數(shù)據(jù)缺失的情況下，其估計(jì)結(jié)果的誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前面2種方法。

5 結(jié) 語(yǔ)

為解決混凝土壩變形數(shù)據(jù)缺失的問(wèn)題，本文基于空間分布提出了相應(yīng)的缺失信息估計(jì)方法，具體為空間鄰近點(diǎn)插值法和空間反距離加權(quán)插值法。工程實(shí)例表明，本文提出的這2種方法計(jì)算簡(jiǎn)單明了，且都具有一定的有效性和精確性，可以較好地估計(jì)變形序列中的缺失信息；其中空間鄰近點(diǎn)插值方法的估計(jì)精度最高，而空間反距離加權(quán)插值法的優(yōu)勢(shì)在于可以估計(jì)一定空間內(nèi)任意測(cè)點(diǎn)的變形值。

但是，該方法目前仍有以下幾點(diǎn)值得改進(jìn)：①該方法主要針對(duì)空間中某一個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)缺失，而周?chē)鷾y(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)完整的情況，如果大范圍測(cè)點(diǎn)出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失，本文方法的適用性會(huì)受到影響；②由于假設(shè)條件多，空間反距離插值法對(duì)于邊緣測(cè)點(diǎn)的估計(jì)精度不高，需要進(jìn)一步改進(jìn)；③在本文中，空間測(cè)點(diǎn)變形值之間的函數(shù)關(guān)系是通過(guò)散點(diǎn)圖進(jìn)行確定的，如果能夠從力學(xué)角度對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步分析，模型的精度會(huì)進(jìn)一步提高。