邱 龑, 楊新安, 黃德中, 徐前衛(wèi)

(1.上海隧道工程有限公司，上海 200232; 2.同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804; 3.同濟(jì)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海 201804)

珠三角地區(qū)的地層為軟硬不均地層，在采用盾構(gòu)法修建城市地鐵隧道時，常遇到巖性變化較大的地層，其中以上軟下硬現(xiàn)象居多，致使盾構(gòu)開挖面穩(wěn)定難以控制。而盾構(gòu)施工中一旦出現(xiàn)開挖面失穩(wěn)，會不可避免地導(dǎo)致地表產(chǎn)生過大的變形，進(jìn)而使地面建筑物或路面出現(xiàn)不可控的破壞，造成巨大損失。

為了研究確保開挖面穩(wěn)定的支護(hù)壓力上下限，基于塑性力學(xué)上限定理的極限分析方法被引入到開挖面穩(wěn)定性分析中。Broms & Benermark[1]研究了黏性土不排水條件下的開挖面穩(wěn)定性問題，并提出了開挖面穩(wěn)定系數(shù)的概念。Davis[2]基于此概念，提出了圓柱體和球形體的破壞模型，利用塑性極限分析上限法研究了開挖面坍塌和隆起的破壞機(jī)理。Leca-Dormieux[3]提出用1個或2個圓錐形塊體圓弧滑動的上限解，還將理論計(jì)算結(jié)果與Chambon[4]離心機(jī)試驗(yàn)得到結(jié)果進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)二者具有較好的一致性。A. H. Soubra[5-7]先后提出數(shù)種多塊體模型，其破壞面更加平滑，且得到的數(shù)值結(jié)果也比前人模型的分析結(jié)果要好。G. Mollon[8-10]進(jìn)一步優(yōu)化了多圓錐形塊體模型，同樣提出了數(shù)個不同的上限解。Subrin & Wong[11]提出了一種三維旋轉(zhuǎn)坍塌破壞模型，該模型的破壞面完全由對數(shù)螺旋線表達(dá)，與之前的理論結(jié)果相比，其結(jié)果更優(yōu)。國內(nèi)許多學(xué)者[12-23]也相繼對盾構(gòu)開挖面穩(wěn)定性問題提出了自己的研究成果。

通過對前人成果的研究發(fā)現(xiàn)，塑性極限分析理論的失穩(wěn)模型在盾構(gòu)隧道圓形斷面上均為內(nèi)切橢圓，沒有包括整個圓形開挖面區(qū)域，且極少提及穿越軟硬不均地層時的上限解。受限于塑性極限分析理論基本假定，計(jì)算支護(hù)壓力為均布力，使得極限分析僅適用于壓氣法盾構(gòu)隧道。

本文以穿越分層地層土壓平衡盾構(gòu)為研究對象，利用塑性理論極限分析上限法，基于空間離散化技術(shù)，生成穿越分層地層的盾構(gòu)開挖面三維破壞機(jī)構(gòu)，進(jìn)而確定極限支護(hù)壓力，為盾構(gòu)設(shè)計(jì)和施工過程中合理控制開挖面支護(hù)壓力提供理論依據(jù)，以期保證盾構(gòu)在施工過程中的安全性與可靠性。

1 速度場的建立

圖1 盾構(gòu)隧道螺旋破壞模式在平面YZ的斷面圖

3條對數(shù)螺旋線的極坐標(biāo)表達(dá)式分別為

r1=rAexp[(β-βA)tanφu]

(1)

r2=rIexp[(βI-β)tanφu]

(2)

r3=rBexp[(βB-β)tanφd]

(3)

其中，

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

由于點(diǎn)F是起始于A和I兩點(diǎn)的2條對數(shù)螺旋線的交點(diǎn)，所以F點(diǎn)的極坐標(biāo)rF和βF的表達(dá)式為

(12)

rF=rAexp[(βA-βF)tanφ]

=rBexp[(βF-βB)tanφ]

(13)

其中由式(13)可進(jìn)一步求得rF，即

(14)

而I點(diǎn)的極坐標(biāo)rI和βI則可由牛頓解方程法求得。

2 三維破壞機(jī)構(gòu)的逐點(diǎn)生成

2.1 離散化原則

(15)

圖2 破壞機(jī)構(gòu)離散示意圖

(16)

(17)

在第1部分和第2部分中的每個徑向平面中，分別建立局部坐標(biāo)系Cjxjyj，其中，Cj為平面Πj與以O(shè)為圓心、以rF為半徑的圓的交點(diǎn)。注意到y(tǒng)j指向O點(diǎn)，xj與X軸同向。點(diǎn)Cj在XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(18)

圖3 隧道開挖面上離散點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下的角度

(19)

其中，

(ZCj-ZNj)sinβj

(20)

(21)

2.2 速度場的生成

如圖4和圖5所示，破壞機(jī)構(gòu)面上離散出的任一點(diǎn)均可由Pi,j表示，其中，下標(biāo)i表示該點(diǎn)是其所在徑向平面的上第幾個點(diǎn)，下標(biāo)j表示該點(diǎn)處于第幾個平面。通過已知平面Πj上2個點(diǎn)Pi,j和Pi+1,j

圖4 由Pi,j和Pi,j+1生成Pi+1,j示意圖

圖5 Πj和Πj+1平面圖

的坐標(biāo)計(jì)算生成平面Πj+1上任一新點(diǎn)Pi,j+1的坐標(biāo)。

1) 第1部分中新點(diǎn)的生成方法

(22)

(23)

2) 第2部分中新點(diǎn)的生成方法

3) 由已知2個點(diǎn)生成1個新點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Xnax+Ynay+Znaz=0

(31)

(32)

需要注意的是，式(30)中的φ為地層的內(nèi)摩擦角，計(jì)算過程中，以圖2中的βI為界，當(dāng)任一角βJ小于βI時，φ取下層土的內(nèi)摩擦角φd，反之，φ取上層土的內(nèi)摩擦角φu。

為了得到平面Πj+1上點(diǎn)Pi,j+1的位置，可得

(33)

(34)

為獲得點(diǎn)Pi,j+1的坐標(biāo)，采用下列計(jì)算：

(35)

其中，

(36)

可以推導(dǎo)出ri,j+1的表達(dá)式為

(37)

最終，得出點(diǎn)Pi,j+1在XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(38)

各點(diǎn)位置與破壞機(jī)構(gòu)線之間的位置關(guān)系如圖6所示。

圖6 各點(diǎn)位置關(guān)系

2.3 生成破壞機(jī)構(gòu)

速度場的生成在滿足以下2個條件其中之一時終止：①從圖1和圖2中可清晰地看出，F(xiàn)點(diǎn)為速度場的收斂點(diǎn)，所以最新生成的夾角βj+1≤βF；②生成的ri,j+1<0，同樣由圖6可知，第1部分新生成的平面Πj+1面積應(yīng)小于平面Πj，如果ri,j+1≥0，會出現(xiàn)平面Πj+1面積大于平面Πj面積，進(jìn)而導(dǎo)致速度場不收斂。

通過上述“逐點(diǎn)生成法”，可生成圖7所示的破壞機(jī)構(gòu)，其中2種不同地層在豎直方向上各占開挖斷面的一半。

3 開挖面極限支護(hù)壓力的計(jì)算方法

圖7 破壞機(jī)構(gòu)

圖8 開挖面支護(hù)壓力做功示意圖

根據(jù)圖8和圖9，極限支護(hù)壓力做功功率為

(39)

土體自重做功功率為

(40)

圖9 單位體積和表面積滑塊做功示意圖

考慮到研究對象為剛性體，內(nèi)力耗散功的唯一來源是土體沿著速度不連續(xù)面產(chǎn)生的塑性變形。內(nèi)力耗散功功率沿速度間斷面的單位功率是cδu，其中δu是沿速度間斷面速度的正切。內(nèi)力耗散功功率為沿不同單元面的單元內(nèi)力耗散功功率之和，即

(41)

外力做功等于內(nèi)力耗散功，即

(42)

將式(39)—式(41)代入式(42)并通過一定簡化，可得開挖面失穩(wěn)條件下的極限支護(hù)壓力計(jì)算公式為

σc=γDNγ-cNc

(43)

其中，

(44)

(45)

4 單一地層各參數(shù)對極限支護(hù)壓力的影響分析

為了驗(yàn)證本文所提方法的準(zhǔn)確性，分別選取有、無黏聚力的單一地層，將本文提出的三維破壞機(jī)構(gòu)對應(yīng)的解分別與Mollon(2009)&(2010)提出的2種多塊體模型和Leca&Dormieux(1990)提出的多塊體模型對應(yīng)的解進(jìn)行比較。

假設(shè)隧道直徑D=10 m，選取無黏聚力地層，土體容重γ=18 kN·m-3，黏聚力c=0，內(nèi)摩擦角φ=20°，40°。采用本文提出的三維破壞機(jī)構(gòu)和上述3種多塊體模型分別求解無黏聚力地層不同覆跨比時的極限支護(hù)壓力σc，計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

圖10 無黏聚力地層覆跨比對極限支護(hù)壓力的影響

由圖10可知：針對無黏聚力地層，當(dāng)覆跨比h/D≥1時，極限支護(hù)壓力隨覆跨比的增加保持為1個常數(shù)，這是由于開挖面前方土體的拱效應(yīng)會阻止破壞面延伸至地表；在φ=20°，40°時，本文解與Mollon解(2010)相比分別提高了5.8%和10.5%；與Mollon解(2009)相比分別提高了13.5%和19.5%；與Leca&Dormieux解(1990)相比分別提高了30.4%和25.7%。

假設(shè)隧道直徑D=10 m，土體容重γ=18 kN·m-3。定義2種黏性土：軟黏土c=7 kPa，φ=17°，硬黏土c=10 kPa，φ=25°。采用本文提出的三維破壞機(jī)構(gòu)和上述3種多塊體模型分別求解極限支護(hù)壓力σc，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

由圖11可知：h/D≥1時，極限支護(hù)壓力σc保持不變；在軟、硬黏土中，本文解與Mollon解(2010)相比分別提高了12.4%和34.9%；與Mollon解(2009)相比分別提高了36.5%和88.9%；與Leca&Dormieux解(1990)相比分別提高了62.3%和154.8%。

圖11 黏性地層覆跨比對極限支護(hù)壓力的影響

圖12 地層黏聚力和內(nèi)摩擦角對極限支護(hù)壓力的影響

5 盾構(gòu)開挖面極限支護(hù)壓力計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果對比驗(yàn)證

以國內(nèi)地鐵常用直徑D=6 m的盾構(gòu)隧道為例，不考慮地表超載，研究盾構(gòu)隧道穿越2種地質(zhì)強(qiáng)度差異較明顯地層時的開挖面穩(wěn)定性。定義盾構(gòu)隧道穿越2種地質(zhì)強(qiáng)度差異較大地層時，上部地層在開挖斷面豎直方向上的厚度占開挖斷面總高度的比例為η，即η=H/D。取η=1/6，1/3，1/2，2/3，5/6，研究η對開挖面穩(wěn)定性的影響。同時研究2種地層的強(qiáng)度參數(shù)cu，φu和cd，φd對開挖面穩(wěn)定性的影響。

考慮到盾構(gòu)隧道開挖問題的對稱性，為了提高數(shù)值模擬的計(jì)算速度，計(jì)算模型選取盾構(gòu)隧道半對稱模型。考慮盾構(gòu)隧道開挖對周圍地層的影響，要求計(jì)算模型的邊界到隧道的距離不小于隧道開挖直徑的3倍。三維模型邊界范圍：盾構(gòu)直徑為D，以隧道水平方向?yàn)閄方向，取3.5D；以隧道掘進(jìn)方向?yàn)閅方向，取9D；以隧道豎直方向?yàn)閆方向，隧道下部取D，上部覆土厚度h根據(jù)計(jì)算要求取2D。由此建立的考慮盾構(gòu)隧道與土體相互作用的三維整體有限元模型如圖13所示。

圖13 三維整體有限元模型

計(jì)算采用的邊界條件：模型上表面模擬地表，為無約束的自由邊界，底部施加Z向豎直約束；模型關(guān)于YZ面對稱，在模型的左右邊界施加X向約束；在模型隧道開挖的前后邊界施加Y向位移約束。

采用摩爾—庫倫彈塑性模型模擬巖土體材料，采用結(jié)構(gòu)單元?dú)卧M盾殼，采用各向同性彈性模型模擬管片及注漿體的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系。

隧道埋深h=12 m，管片為C50鋼筋混凝土材料，厚度0.3 m，注漿層為水泥砂漿，厚度0.14 m，盾體長9 m，盾殼厚度0.04 m。土體的物理力學(xué)參數(shù)、盾構(gòu)盾殼、管片、注漿層的基本參數(shù)見表1。

表1 材料參數(shù)

5.1 內(nèi)摩擦角差異對極限支護(hù)壓力的影響

隧道穿越內(nèi)摩擦角不同的2種砂性地層，上層砂土內(nèi)摩擦角分別取φu=25°，30°，35°，下層砂土內(nèi)摩擦角分別取φd=30°，35°，40°，理想的純砂地層其黏聚力c=0，土體容重均取γ=20 kN·m-3，η=0.5。分別采用本文提出的理論計(jì)算方法和數(shù)值模擬方法進(jìn)行求解，不同的φu，φd及η對σc影響的理論解與數(shù)值解對比如圖14所示。

圖14 不同的φu，φd及η對σc影響的理論解與數(shù)值解對比

由圖14可知：不同的φu，φd及η條件下，極限支護(hù)壓力的數(shù)值解與理論解在數(shù)值上有很好的吻合，差異在0.4%～1.45%之間，驗(yàn)證了本文提出的理論計(jì)算方法的準(zhǔn)確性；隧道穿越下部地層內(nèi)摩擦角φd不變，σc隨上部地層內(nèi)摩擦角φu的增大而減小，且上部地層在豎向占隧道斷面比例越大，σc減小的趨勢越明顯；隧道穿越上部地層內(nèi)摩擦角φu不變，σc隨下部地層內(nèi)摩擦角φd的增大而減小，且η越小，σc減小的趨勢越大；σc隨η的增大而增大，σc增大趨勢隨地層φu，φd差異及η的增大而增大。

5.2 黏聚力差異對極限支護(hù)壓力的影響

隧道穿越黏聚力不同的2種黏性地層，上層黏土的黏聚力分別取cu=6，8，10 kPa，下層黏土的黏聚力分別取cd=8，10，12 kPa，假定2層土的內(nèi)摩擦角均為φ=18°，土體重度均取γ=20 kN·m-3，η=0.5。分別采用本文提出的理論計(jì)算方法和數(shù)值模擬方法進(jìn)行求解，不同的φu，φd及η對σc影響的理論解與數(shù)值解對比如圖15所示。

由圖15可知：不同的cu，cd及η條件下，極限支護(hù)壓力的數(shù)值解與理論解在數(shù)值上有很好的吻合，差異在0.09%～8%之間，驗(yàn)證了本文提出的理論計(jì)算方法的準(zhǔn)確性；而與圖12結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，黏性地層中的理論解與數(shù)值解之間的離散性更大，對比Mollon[13]在單一地層中的研究成果顯示，本文的理論解在無黏性地層中比黏性地層中更準(zhǔn)確適用；隧道穿越下部地層黏聚力cd不變時，σc隨上部地層黏聚力cu的增大而減小，且上部地層在豎向占隧道斷面比例越大，σc減小的趨勢越大；隧道穿越上部地層黏聚力cu不變，σc隨下部地層黏聚力cd的增大而減小，且η越小，σc減小的趨勢越大；σc隨η的增大而增大，σc的增大趨勢隨地層cu，cd差異及η的增大而增大。

圖15 不同的cu，cd及η對σc影響的理論解與數(shù)值解對比

對比圖14和圖15可知：內(nèi)摩擦角、黏聚力差異對極限支護(hù)壓力的影響，文中推導(dǎo)出的破壞機(jī)構(gòu)主要受內(nèi)摩擦角影響，而受黏聚力影響較??；文中推導(dǎo)出的極限支護(hù)壓力受黏聚力影響較大。

6 結(jié) 論

(1) 通過極限分析上限法，對穿越分層地層盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定性計(jì)算方法進(jìn)行了研究，建立了圓形盾構(gòu)隧道穿越分層地層時開挖面失穩(wěn)的三維破壞機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)了開挖面極限支護(hù)壓力的計(jì)算方法。

(2) 利用本文得出的極限支護(hù)壓力計(jì)算方法，分析了覆跨比h/D、地層黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ對單一地層開挖面極限支護(hù)壓力的影響，并分別與前人提出的方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

(3) 定義了η為盾構(gòu)隧道穿越2種地質(zhì)強(qiáng)度差異較大地層時，上部地層在開挖斷面高度豎直方向上的厚度占開挖斷面總高度的比例。僅考慮黏聚力及η差異時，極限支護(hù)壓力σc隨η的增大而增大，隨著黏聚力差異增大而增大；僅考慮內(nèi)摩擦角及η差異時，極限支護(hù)壓力σc隨η的增大而增大，隨著內(nèi)摩擦角差異增大而增大。并通過與數(shù)值模擬的極限支護(hù)壓力對比，兩者擬合度較高。

(4) 對比內(nèi)摩擦角、黏聚力差異對極限支護(hù)壓力的影響可知，本文推導(dǎo)出破壞機(jī)構(gòu)的幾何形態(tài)主要受內(nèi)摩擦角影響，受黏聚力影響較小，本文推導(dǎo)出的極限支護(hù)壓力受黏聚力影響較大。