張子璠，李 強(qiáng)，陳曉潔，吳宇星

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

車軸是軌道車輛承載的關(guān)鍵部位，直接起到軌道與構(gòu)架載荷的傳遞作用[1]。隨著車輛運(yùn)行速度的不斷加快，車軸與軌道之間產(chǎn)生的相互作用力呈指數(shù)型增長，因此實(shí)現(xiàn)車軸受力的精確測量進(jìn)而編制高置信度的車軸載荷譜是車軸結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。但在實(shí)際線路測試中，車軸應(yīng)變信號(hào)會(huì)受到外界因素的干擾從而產(chǎn)生噪聲，因此需要在保證信號(hào)能真實(shí)反映車軸受力狀態(tài)的前提下，盡可能排除噪聲對(duì)其干擾[2]。

工程信號(hào)處理方法得到了大力發(fā)展，例如小波變換、希爾伯特黃變換和雙樹復(fù)小波變換[3]，這些方法基于不同的中心頻率和帶寬分解信號(hào)。然而，車軸應(yīng)變信號(hào)及其干擾信號(hào)可能擁有相似的中心頻率及重疊的帶寬，因此上述辦法不適用于車軸應(yīng)變信號(hào)噪聲的去除。

為此，Stark等人[4]提出了形態(tài)分量分析(Morphological Component Analysis, MCA)方法。在MCA方法中，Stark采用了迭代軟閾值算法(Iterative Soft Thresholding Algorithm, ISTA)獲得最優(yōu)解，但I(xiàn)STA缺點(diǎn)在于只有線性收斂速度，效率低。因此，學(xué)者們相繼提出了不同的改進(jìn)算法。Bioucas-Dias等人[5]提出了二階段軟閾值算法(Two-Step Iterative Shrinkage/Thresholding Algorithm，TwIST)，并證明了TwIST擁有比ISTA更快的收斂速度。Beck等人[6]提出了快速迭代軟閾值算法(Fast Iterative Soft Thresholding Algorithm, FISTA)，該算法不但保持了ISTA的簡潔性，并且擁有高階全局收斂速度，數(shù)值模擬結(jié)果也充分證明了算法在降噪效果上的優(yōu)越性。Goldstein等人[7]在FISTA的基礎(chǔ)上提出了快速自適應(yīng)收縮閾值算法(Fast Adaptive Shrinkage Thresholding Algorithm, FASTA)，該算法在FISTA的基礎(chǔ)上引進(jìn)了自適應(yīng)步長策略，大幅度提高了計(jì)算效率，仿真證明了FASTA在目前的改進(jìn)算法中具有最快的收斂速度。

上述算法在迭代過程中采用了軟閾值降噪法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，但是軟閾值降噪法的結(jié)果偏差較大，去除噪聲的同時(shí)會(huì)削弱源信號(hào)，效果不理想。針對(duì)軟閾值降噪法的缺點(diǎn)，不同的改進(jìn)降噪法相繼被提出。Blumensath等人[8]提出了硬閾值降噪法，但由于收縮函數(shù)在零點(diǎn)的不連續(xù)性從而會(huì)使結(jié)果產(chǎn)生較大的方差。Bobin等人[9]提出最大—平均機(jī)制改善了降噪效果，并證明了硬閾值比軟閾值擁有更好的降噪水平。Gao等人[10]針對(duì)以上2種降噪方法的缺陷，提出了新的半軟閾值降噪法，結(jié)果表明半軟閾值法降噪效果更優(yōu)越，但是由于該方法中需要估計(jì)2個(gè)閾值，方法復(fù)雜度也大大提升。隨后，Chartrand等人[11]證明了閾值算子可以統(tǒng)一為p-偽范數(shù)閾值算子，其中p(0

本文基于FASTA和p-指數(shù)閾值降噪法在計(jì)算效率和降噪效果上的優(yōu)勢，將2種算法相結(jié)合并應(yīng)用到MCA方法中，分析采用該方法對(duì)車軸應(yīng)變信號(hào)降噪的原理，并通過仿真和實(shí)測驗(yàn)證其可行性和有效性。

1 基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法

在求解稀疏系數(shù)的過程中，MCA方法的基本思想是，根據(jù)稀疏約束正則化的原則，求解形如式(1)的最優(yōu)化問題，以得到每個(gè)成分si的最稀疏表示。

min:‖φiαi-si‖2+λ‖αi‖1

(1)

式中：λ為正則化參數(shù)，用來調(diào)節(jié)每個(gè)分量的稀疏程度；‖·‖2為向量的2范數(shù)；‖·‖1為向量的1范數(shù)。

(2)

其中，

η=λτk

2 車軸應(yīng)變信號(hào)降噪原理

當(dāng)列車以恒定速度160 km·h-1行駛時(shí)，車軸應(yīng)變信號(hào)的中心頻率為16 Hz，同時(shí)有微弱的高次諧波，故可認(rèn)為該信號(hào)為單一頻率的類正余弦波形。當(dāng)信號(hào)受到外部干擾時(shí)，會(huì)出現(xiàn)明顯尖峰狀脈沖干擾，通過頻譜分析可知，干擾頻率與源信號(hào)中心頻率并無重合，故傳統(tǒng)意義上的濾波可以去除干擾，但由于車軸應(yīng)變信號(hào)存在高次諧波，將對(duì)源信號(hào)造成一定損傷，使得后期進(jìn)行載荷譜編制時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏差。

由于車軸應(yīng)變信號(hào)由以轉(zhuǎn)頻及其諧波為主要成分的周期成分以及干擾成分組成。這2種成分在形態(tài)表現(xiàn)上存在顯著差異，因此，可根據(jù)周期成分與干擾成分之間的差異性，利用MCA方法實(shí)現(xiàn)車軸應(yīng)變信號(hào)噪聲即干擾成分的去除?；贛CA的車軸應(yīng)變信號(hào)干擾成分去除步驟如下。

(1)對(duì)于信號(hào)中的周期成分，構(gòu)建局部離散余弦變換(Local Discrete Cosine Transform， LDCT)字典用于其稀疏表示，對(duì)于信號(hào)中的干擾成分，構(gòu)建8階消失矩Symlet小波字典用于其稀疏表示；閾值更新準(zhǔn)則選取線性遞減；綜合考慮計(jì)算效率和結(jié)果精度，迭代次數(shù)取100；閾值最小值根據(jù)信號(hào)中噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差確定，而標(biāo)準(zhǔn)差可以由中值絕對(duì)偏差策略獲得，即

(3)

(2)利用基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對(duì)車軸應(yīng)變信號(hào)進(jìn)行分析，得到周期成分和干擾成分的稀疏系數(shù)并進(jìn)行重構(gòu)，即可實(shí)現(xiàn)車軸應(yīng)變信號(hào)噪聲的去除。

基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法用于車軸應(yīng)變信號(hào)處理的流程如圖1所示。

圖1 基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法用于車軸應(yīng)變信號(hào)處理流程圖

3 仿真驗(yàn)證

首先，驗(yàn)證FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法在計(jì)算效率上的優(yōu)越性。隨機(jī)生成(1 000×1)維、稀疏度為10的向量，使用100×1 000型隨機(jī)矩陣進(jìn)行壓縮得到(100×1)維觀測向量，分別使用ISTA，F(xiàn)ISTA，F(xiàn)ASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法進(jìn)行源信號(hào)重構(gòu)。仿真中記錄每個(gè)算法的計(jì)算時(shí)間，用以衡量算法復(fù)雜度，運(yùn)行時(shí)間見表1。由表1可知：FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法在收斂速度上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的ISTA，運(yùn)行時(shí)間減少約61.5%，由于采用了自適應(yīng)步長的選擇策略，F(xiàn)ASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的收斂速度也顯示出比FISTA更快的優(yōu)勢，運(yùn)行時(shí)間比后者減少約46.4%。目標(biāo)函數(shù)的收斂情況對(duì)比如圖2所示。由圖2可見：采用ISTA在第50次迭代時(shí)得到的目標(biāo)值采用FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法在第10步迭代就能得到，收斂速度提高近5倍，F(xiàn)ISTA在第20步得到的目標(biāo)值改進(jìn)算法在第10次迭代得到，收斂速度提高近1倍；仿真證明了FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法在計(jì)算效率上有極大優(yōu)勢。

表1 算法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

圖2 算法收斂速度對(duì)比

其次，驗(yàn)證基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對(duì)車軸應(yīng)變信號(hào)中干擾成分的去除效果。給出由脈沖信號(hào)以及頻率為30.5 Hz的正弦信號(hào)x(t)=sin(2π×30.5×t)(t為采樣時(shí)刻)組成的2路復(fù)合仿真信號(hào)作為源信號(hào)輸入，分別用來模擬車軸應(yīng)變信號(hào)中的干擾成分和周期成分。工程上通常使用α穩(wěn)定分布描述脈沖信號(hào)，α∈(0,2]，α越小，脈沖性質(zhì)越顯著，仿真中設(shè)α=1.2。采樣頻率為1 000 Hz，峰值信噪比為20 dB，采樣時(shí)間為2.048 s。仿真得到車軸應(yīng)變信號(hào)的周期成分和干擾成分后，隨機(jī)生成1個(gè)2×1型混合矩陣將仿真信號(hào)進(jìn)行合成得到混合信號(hào)，構(gòu)成車軸應(yīng)變信號(hào)的源信號(hào)如圖3所示。

使用基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行處理，根據(jù)信號(hào)中周期成分和干擾成分的形態(tài)特點(diǎn)，稀疏字典選擇局部離散余弦變換字典和8階消失矩Symmlet小波字典，分別用來匹配混合信號(hào)中的周期成分和干擾成分，分離后的車軸應(yīng)變重構(gòu)信號(hào)如圖4所示。通過對(duì)比源信號(hào)周期成分與重構(gòu)信號(hào)周期成分的時(shí)域波形可知，重構(gòu)信號(hào)與源信號(hào)幅值大小一致，未發(fā)生變形，證明了算法可以有效將周期成分同干擾成分分離，并且重構(gòu)周期成分已基本不含噪聲，提高了信噪比。

圖3 車軸應(yīng)變源信號(hào)

最后，驗(yàn)證基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法的魯棒性。好的信號(hào)處理方法需要盡量不受噪聲的影響。選取最小均方誤差作為衡量車軸應(yīng)變的源信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)之間重構(gòu)質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)。最小均方誤差值越小，表明信號(hào)重構(gòu)的質(zhì)量越高。信噪比為5～30 dB時(shí)基于不同算法的MCA方法最小均方誤差值隨信噪比的變化情況如圖5所示。由圖5可見，基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法的最小均方誤差受信噪比影響較小，且明顯低于基于ISTA的MCA方法，表明前者在信號(hào)重構(gòu)質(zhì)量方面相較于后者具有更好的魯棒性。

圖4 車軸應(yīng)變重構(gòu)信號(hào)

圖5 重構(gòu)信號(hào)的最小均方誤差

4 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法用于去除車軸應(yīng)變信號(hào)中脈沖干擾的有效性，選取某型動(dòng)車組線路實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行測試。

試驗(yàn)中，在車軸的7個(gè)關(guān)鍵斷面處安裝應(yīng)變片，組橋用于測量垂向力。車軸貼片截面位置的選取如圖6所示。

在圖6所示的每個(gè)關(guān)鍵截面上，每相隔90°布置2個(gè)應(yīng)變傳感器，方向?yàn)檩S向，共計(jì)8個(gè)，以A截面為例，其貼片位置如圖7(a)所示。其中，對(duì)向的2組傳感器組成1個(gè)惠斯通全橋，因此每個(gè)截面有2個(gè)全橋j1和j2(j=A，B，C，D，E，F(xiàn)，G)。由于在恒定載荷作用下，1個(gè)全橋的輸出電壓為輪對(duì)轉(zhuǎn)角的周期函數(shù)，同一截面不同全橋輸出電壓Uj1和Uj2僅在相位上相差90°，為保證每個(gè)截面輸出電壓為一穩(wěn)定值，不隨時(shí)間變化。截面綜合輸出電壓Uj為

(4)

圖6 車軸貼片截面(單位：mm)

圖7 車軸截面貼片位置及組橋方案示意圖

其中，

式中：L為電阻式應(yīng)變片的轉(zhuǎn)換系數(shù)；UE為電橋輸入電壓；θ為輪對(duì)轉(zhuǎn)角；a和b為對(duì)每個(gè)截面4個(gè)傳感器采集到的應(yīng)變做傅里葉級(jí)數(shù)展開得到的傅里葉系數(shù)；φ為傅里葉級(jí)數(shù)展開的初相位。

得到截面輸出電壓后，即可根據(jù)電壓—應(yīng)變轉(zhuǎn)換系數(shù)得到相應(yīng)截面的綜合應(yīng)變。

由于車輛電氣設(shè)備對(duì)車軸應(yīng)變信號(hào)采集設(shè)備造成電磁干擾，車軸應(yīng)變信號(hào)中普遍長時(shí)間存在脈沖干擾，因此如不能有效去除脈沖干擾，將會(huì)對(duì)車軸載荷譜的編制造成較大誤差。

假設(shè)列車行駛速度為v(km·h-1)，車輪滾動(dòng)圓直徑為D(m)，則車輪旋轉(zhuǎn)1周的時(shí)間T=3.6πD/v，旋轉(zhuǎn)頻率f=v/3.6πD。不同速度對(duì)應(yīng)的前7次奇次輸出頻率見表2。由上述理論分析可知，對(duì)于時(shí)速160 km·h-1列車車軸信號(hào)而言，幾乎不存在1倍頻以外的高次諧波。實(shí)測車軸信號(hào)應(yīng)變信號(hào)時(shí)域波形如圖8所示。為方便示意，從實(shí)測的受干擾信號(hào)中截取3 000個(gè)采樣點(diǎn)，得到其頻譜圖如圖9所示。由圖8可見，車軸應(yīng)變信號(hào)受到了嚴(yán)重脈沖干擾。由圖9可見，車軸應(yīng)變信號(hào)頻譜中出現(xiàn)了大量1倍頻之外的噪聲頻率。

表2 速度及輸出倍頻

圖8 實(shí)測車軸應(yīng)變信號(hào)時(shí)域波形

圖9 實(shí)測車軸應(yīng)變信號(hào)頻譜圖

對(duì)車軸實(shí)測應(yīng)變信號(hào)進(jìn)行16.5 Hz的低通濾波，結(jié)果如圖10所示。由圖10可見，源信號(hào)出現(xiàn)脈沖干擾的時(shí)刻，低通濾波后重構(gòu)信號(hào)波形出現(xiàn)較大畸變，源信號(hào)未出現(xiàn)脈沖干擾的時(shí)刻，重構(gòu)信號(hào)存在均值漂移的情況，證實(shí)了傳統(tǒng)的濾波方式無法有效去除脈沖干擾。

采用基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對(duì)源信號(hào)進(jìn)行脈沖降噪處理，根據(jù)上文分析，車軸應(yīng)變信號(hào)周期成分成正弦波形式，構(gòu)建局部離散余弦變換字典進(jìn)行匹配，此外由于小波基對(duì)信號(hào)脈沖有著較好的匹配能力，構(gòu)建8階消失矩Symlet小波字典對(duì)干擾成分進(jìn)行稀疏表示。重構(gòu)信號(hào)周期成分和干擾成分如圖11所示。由圖11可見，重構(gòu)的周期成分在源信號(hào)出現(xiàn)脈沖干擾的時(shí)刻，波形并未出現(xiàn)畸變，且均值與源信號(hào)一致，沒有出現(xiàn)漂移的現(xiàn)象，證明了基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法能夠在不損傷車軸應(yīng)變信號(hào)周期成分的前提下，有效地去除脈沖干擾。

圖10 低通濾波信號(hào)波形圖

圖11 MCA方法得到的車軸應(yīng)變重構(gòu)信號(hào)波形

為進(jìn)一步說明基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法在去除車軸應(yīng)變信號(hào)中脈沖干擾效果上的優(yōu)越性，選取基于ISTA的MCA方法以及目前工程上常用的自適應(yīng)中值濾波算法進(jìn)行降噪效果對(duì)比，結(jié)果如圖12所示。由圖12可見，重構(gòu)信號(hào)波形差異不明顯，表明3種方法均可以有效去除信號(hào)中的脈沖干擾。

圖12 3種方法降噪信號(hào)波形圖

選取圖12所示位置源信號(hào)中存在脈沖干擾的時(shí)刻進(jìn)行局部放大，放大波形如圖13所示。由圖13可見，3種方法中基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法與基于ISTA的MCA方法并未在出現(xiàn)干擾的時(shí)刻發(fā)生波形畸變，而自適應(yīng)中值濾波效果較差，仍存在一定程度的變形；但3種方法在未出現(xiàn)干擾的時(shí)刻均較好地保留了源信號(hào)形貌。

圖13 脈沖干擾時(shí)刻波形局部放大圖

列車勻速行駛時(shí)，車軸各截面的綜合應(yīng)變近似不變，因此可將不同方法得到的處理信號(hào)結(jié)果其均值與標(biāo)準(zhǔn)差作為重構(gòu)質(zhì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。此外，也可采用同一截面、同一時(shí)間的源信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)間的相關(guān)系數(shù)作為重構(gòu)質(zhì)量評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。相關(guān)系數(shù)為

(5)

將處理后的重構(gòu)信號(hào)和同一截面另一通道的源信號(hào)依據(jù)式(4)進(jìn)行計(jì)算求得截面綜合應(yīng)變，并與通過源信號(hào)(同一路況、同一車速下測得)計(jì)算得到的截面綜合應(yīng)變的對(duì)比結(jié)果見表3。由表3可知，由FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法處理后得到的綜合應(yīng)變均值和標(biāo)準(zhǔn)差更接近源信號(hào)計(jì)算結(jié)果，誤差相比自適應(yīng)中值濾波和基于ISTA的MCA方法分別降低77.4%和55.5%，相關(guān)系數(shù)則分別提高13.5%和4.4%，證明了方法用于去除脈沖干擾的可行性和有效性。

表3 重構(gòu)質(zhì)量評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

5 結(jié) 語

針對(duì)基于ISTA的MCA方法收斂速度慢降噪效果差的缺點(diǎn)，將FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法引入到MCA方法中，根據(jù)車軸應(yīng)變信號(hào)與干擾信號(hào)的形態(tài)特點(diǎn)，分別構(gòu)建局部離散余弦變換字典和小波基字典進(jìn)行成分的稀疏表示，從而達(dá)到去除軌道車輛車軸應(yīng)變信號(hào)中脈沖干擾的目的。仿真車軸應(yīng)變信號(hào)處理結(jié)果表明，基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法實(shí)現(xiàn)了混疊信號(hào)中不同形態(tài)分量的分離，在收斂速度上要優(yōu)于基于ISTA的MCA方法，并且有更好的魯棒性。實(shí)測車軸應(yīng)變信號(hào)處理結(jié)果表明，基于FASTA結(jié)合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法能有效分離車軸應(yīng)變信號(hào)中的脈沖干擾成分，并且重構(gòu)信號(hào)與源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)高于基于ISTA的MCA方法以及自適應(yīng)中值濾波方法，提供了車軸應(yīng)變信號(hào)處理的一種有效方法。