杜大軍 占國華 李汪佩 費敏銳 周文舉

倒立擺作為一個支點在下、重心在上的絕對不穩(wěn)定被控對象,其具有非線性、不穩(wěn)定等特性[1],能夠反映控制理論與工程中很多核心問題,例如魯棒性、跟蹤等,作為理想的實驗平臺驗證的理論方法可推廣應(yīng)用到機器人直立行走的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直控制、海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制等[2?4],故倒立擺的穩(wěn)定控制一直以來都是控制領(lǐng)域研究中的開放性問題[5?7].

傳統(tǒng)倒立擺穩(wěn)定控制大都基于編碼器進行狀態(tài)信息測量然后進行控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析[[8?11].然而,隨著視覺傳感技術(shù)的跨越式發(fā)展并且感知信息更加豐富全面、直觀,甚至能夠應(yīng)用到復雜危險的工業(yè)控制現(xiàn)場[12?13],故其正在大量地被應(yīng)用到工業(yè)自動化檢測[14]、機器人控制[15?16]等領(lǐng)域.然而,在實時控制系統(tǒng)中,與非視覺傳感測量相比,為了獲得狀態(tài)檢測信息,必須對視覺傳感測量的圖像進行處理,這將不可避免地帶來圖像處理計算時間和計算誤差,從而影響控制系統(tǒng)性能甚至造成控制系統(tǒng)失穩(wěn)[17].因此,國內(nèi)外學者開始構(gòu)建基于視覺傳感的倒立擺控制系統(tǒng)實驗平臺進行理論方法驗證,為工業(yè)視覺伺服實時控制提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐.

在倒立擺視覺伺服控制中,因為倒立擺屬于快變的運動控制系統(tǒng),采樣周期非常小,故從擺體圖像采集到經(jīng)過圖像處理計算出小車位移和擺桿偏角耗費的計算時間對控制系統(tǒng)性能及其穩(wěn)定性影響至關(guān)重要.根據(jù)是否考慮圖像處理計算時間將目前倒立擺視覺伺服控制研究分為兩類:第一類不考慮圖像處理計算時間的倒立擺視覺伺服控制.例如文獻[18]采用視覺傳感僅測量直線一級倒立擺的擺桿偏角,并設(shè)計模糊邏輯控制器實現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定控制.文獻[19]選取高幀率(580fps)低像素的工業(yè)相機測量旋轉(zhuǎn)式倒立擺的擺桿偏角實現(xiàn)穩(wěn)定控制.以上研究采用視覺傳感僅測量了倒立擺的部分狀態(tài)信息,然而當全部狀態(tài)信息采用視覺傳感進行采集并進行處理時,產(chǎn)生的計算時間將嚴重影響控制系統(tǒng)性能甚至造成系統(tǒng)失穩(wěn),為此國內(nèi)外學者已開始考慮計算時間研究倒立擺視覺伺服控制.第二類考慮圖像處理計算時間的倒立擺視覺伺服控制.例如文獻[20]對直線一級倒立擺視覺圖像計算小車位移和擺桿偏角時,計算時間高達60ms,為此采用Smith預估算法進行時延補償并實現(xiàn)了穩(wěn)定控制.文獻[21]將對直線一級倒立擺視覺圖像處理產(chǎn)生的計算時間當作定時滯處理實現(xiàn)了穩(wěn)定控制.以上初步研究了圖像處理計算時間對倒立擺穩(wěn)定控制影響,但是它直接影響采樣策略與系統(tǒng)性能,故不能簡單地將其看作普通時延,亟需對視覺傳感采樣策略、計算時間特性及系統(tǒng)性能開展深入研究.

另外,在倒立擺實時控制實驗過程中進一步發(fā)現(xiàn),由于背景、光照及實驗環(huán)境等導致視覺傳感采集的圖像帶有噪聲,使得在計算小車位移和擺桿偏角過程中不可避免地產(chǎn)生計算誤差,這對倒立擺控制系統(tǒng)性能也具有較大影響.然而目前關(guān)于視覺伺服控制系統(tǒng)研究成果中鮮有考慮圖像處理計算誤差,因此深入分析圖像處理計算誤差特性及其對系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響非常重要.

本文聚焦于倒立擺視覺穩(wěn)定控制中圖像處理帶來的時變計算時間和計算誤差影響控制系統(tǒng)性能甚至穩(wěn)定性問題,深入開展倒立擺視覺穩(wěn)定控制研究,主要貢獻包括:1)創(chuàng)新設(shè)計了新型的倒立擺視覺伺服控制實驗平臺,設(shè)計了一種基于事件觸發(fā)機制的工業(yè)圖像采集策略,提出了考慮小車和擺桿特征的小車位移和擺桿偏角計算方法,并統(tǒng)計分析了圖像處理計算時間和計算誤差特性;2)建立了融合計算時間和計算誤差的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型,理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性并建立了反映計算時間與系統(tǒng)穩(wěn)定性能之間關(guān)系,給出了系統(tǒng)對計算誤差的H∞擾動抑制水平γ和H∞控制器設(shè)計方法.

1 倒立擺視覺伺服控制實驗平臺

為了分析圖像處理計算時間和計算誤差對控制系統(tǒng)性能的影響,以倒立擺運動控制實驗裝置為基礎(chǔ),采用視覺傳感代替?zhèn)鹘y(tǒng)編碼器,創(chuàng)新設(shè)計了一種新型的倒立擺視覺伺服控制實驗平臺,結(jié)構(gòu)如圖1所示.在實驗平臺中,工業(yè)相機首先采集倒立擺實時運動圖像,然后傳送到圖像處理和控制單元,經(jīng)過圖像處理計算得到擺桿偏角和小車位移的狀態(tài)信息,接著通過控制算法求出控制信號并發(fā)送到運動控制卡,實現(xiàn)控制信號到控制脈沖量的轉(zhuǎn)換,最后由伺服驅(qū)動器帶動伺服電機轉(zhuǎn)動控制小車運動,實現(xiàn)倒立擺視覺實時反饋控制.

圖1 倒立擺視覺伺服控制實驗平臺結(jié)構(gòu)Fig.1 Scheme of inverted pendulum visual servoing control platform

圖1中的實驗平臺主要包括以下幾個部分:

1)擺體.選取直線一級倒立擺作為被控對象,由基座、小車、擺桿、滑軌、同步帶、交流伺服電機、伺服驅(qū)動器、光電編碼器和限位開關(guān)組成.軌道長度0.6m,鋁制擺桿長0.5m,擺桿通過聯(lián)軸器鉸鏈在小車上,并且擺桿可自由旋轉(zhuǎn).

2)視覺傳感檢測裝置.主要包括工業(yè)相機和光源,工業(yè)相機采用Aca640-120gm 型單色相機,幀率可以自由調(diào)節(jié),最大幀率為120fps,圖像采集最大分辨率為659×492像素.光源自主設(shè)計采用5根縱向排列的LED日照燈管,架設(shè)在擺體正上方,光源與擺體之間高度可以自由調(diào)節(jié),同時可以根據(jù)實際需求自由調(diào)節(jié)光照強度.

3)圖像處理和控制單元.為了處理視覺傳感器采集的圖像,基于一臺帶有操作系統(tǒng)Windows XP的PC機,采用Microsoft Visual Studio 2010結(jié)合OpenCV2.4.11機器視覺庫研發(fā)了一套倒立擺圖像處理軟件,能運用多種算法處理倒立擺圖像,計算擺桿偏角和小車位移,然后根據(jù)控制算法計算控制信號,并發(fā)送到安裝在PCI插槽中的GT-400-SV-PCI型運動控制卡,通過其輸出相應(yīng)的控制脈沖量.

4)執(zhí)行器.主要包括交流伺服電機驅(qū)動器和伺服電機,運動控制卡下發(fā)給伺服電機的控制信號,通過伺服電機驅(qū)動器驅(qū)動伺服電機,然后通過皮帶帶動小車在軌道上來回運動.

在以上建立的倒立擺視覺伺服控制系統(tǒng)實驗平臺中,擺桿偏角和小車位移狀態(tài)信息的測量是實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制的前提與基礎(chǔ).然而,當視覺傳感取代編碼器后,無法通過圖像直接讀取小車位移和擺桿偏角,必須先對擺體圖像進行處理與定位,然后計算小車位移和擺桿偏角,但是在該過程中不可避免地產(chǎn)生計算時間和計算誤差兩個關(guān)鍵問題.

1)計算時間.由于倒立擺屬于快變的運動控制對象,文獻[2]采用編碼器進行狀態(tài)信息采集并設(shè)置采樣周期為T=10ms.然而,當采用視覺傳感進行狀態(tài)信息采集時,通常僅相機曝光時間就需要10ms左右,并且由于擺體圖像像素點多,計算小車位移和擺桿偏角還需一定的圖像處理計算時間,故總的計算時間要遠大于10ms,這不但影響控制周期的選擇而且極大影響控制系統(tǒng)性能甚至導致控制系統(tǒng)失穩(wěn).

2)計算誤差.主要來自兩方面因素:一方面倒立擺的圖像受實驗環(huán)境例如光照、背景等干擾影響;另一方面工業(yè)相機視覺視野必須包含小車和擺桿運動整個區(qū)域,離擺體的距離要遠大于文獻[19]中對應(yīng)的距離,本文中相機成像平面與倒立擺平面距離約為1m,然而,由于相機較小,倒立擺較大,使得相機平面與倒立擺平面完全平行比較困難,不平行也不可避免地產(chǎn)生誤差.然而,由于采樣周期短,較小誤差就會導致較大的小車速度誤差和擺桿角速度誤差,進而導致施加在小車上控制力誤差大幅度增大,從而使得擺桿偏角和小車位移出現(xiàn)大幅度振蕩甚至導致不穩(wěn)定.例如當小車特征點的像素位移誤差為2pixels時,通過計算施加在小車上的對應(yīng)控制輸入誤差放大為5.84m/s2.

為了解決以上兩個關(guān)鍵問題,接下來首先設(shè)計基于事件觸發(fā)的圖像采集策略,然后考慮倒立擺的擺桿與小車特征,進行小車位移和擺桿偏角與圖像像素之間的定量關(guān)系計算,并分析計算時間與計算誤差的統(tǒng)計特性.

2 視覺傳感測量

2.1 圖像采集

在建立的倒立擺視覺伺服控制實驗平臺中,相機架設(shè)在擺體正前方,并且保持相機所在平面水平及光軸垂直于擺桿自由旋轉(zhuǎn)的垂直面.相機幀率設(shè)為100fps,即每幀圖像曝光時間為10ms;為了實時連續(xù)采集擺體運動圖像并降低總計算時間,相機采用事件觸發(fā)機制進行圖像采集,即當一幀圖像通過處理計算完小車位移和擺桿偏角后,立即向工業(yè)相機發(fā)送采集下一幀圖像的指令,如圖2所示.

圖2 倒立擺視覺伺服控制系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Control block diagram of inverted pendulum visual servoing control system

注1.在實際實驗中設(shè)置相機幀率為100fps,圖像的曝光時間均設(shè)為10ms,能夠使圖像具有一定的曝光度以保證圖像質(zhì)量,同時曝光時間也不太長,否則會增加總計算時間.工業(yè)相機采用事件觸發(fā)機制,使得相機能夠采集盡可能多的圖像,從而使控制器能夠運用最多的狀態(tài)信息以提高控制系統(tǒng)性能.然而,由于每次總計算時間的隨機性,使得每次采樣間隔并不相同,故實際每秒處理圖像30～50幀.

2.2 小車位移和擺桿偏角計算

在工業(yè)相機設(shè)置好后,不同于傳統(tǒng)的光電編碼器可以直接獲取狀態(tài)信息,相機采集的擺體圖像需要通過圖像處理提取出目標特征點信息后,才能快速計算小車位移和擺桿偏角.針對擺體圖像,小車位移和擺桿偏角計算過程如圖3所示,主要包括圖像預處理(S1:局部定位;S2:邊緣檢測)和狀態(tài)信息計算(S3:小車位移和擺桿偏角計算).

1)圖像預處理.工業(yè)相機采集的擺體圖像背景為灰白墻體背景,如圖4(a)所示,從中可以直觀地看到圖像信息冗余度較大,為了降低數(shù)據(jù)量,加快圖像處理速度,節(jié)省計算時間,需在原圖像中分別定位小車和擺桿的運動區(qū)域.因為相機和倒立擺之間的距離固定,故運動擺體通過相機透視投影后的圖像具有相對固定的分辨率,因此采用行掃描從圖像中提取出小車和擺桿的運動區(qū)域,如圖4(b)和圖4(c)所示.然后,采用Canny邊緣檢測算法[22?23]檢測小車和擺桿的邊緣信息,如圖5(a)和圖5(b)所示,在此基礎(chǔ)上計算小車位移和擺桿偏角.

2)小車位移計算.擺體圖像通過圖像預處理(S1,S2)后獲得的小車位移以像素為單位,而實際實驗平臺控制參數(shù)是以物理位移為單位,故需要進行單位轉(zhuǎn)換,這通過相機透視投影模型實現(xiàn)[19,22],如圖6所示.圖6包含4個坐標系,即世界坐標系(Ow:XwYwZw)、相機坐標系(Oc:XcYcZc)、像素坐標系(O0:uv)和成像平面坐標系(O1:xy),其中Oc表示相機光心,Zc表示相機光軸,并且Zc是垂直像素坐標系于主點O1(u0,v0),OcO1表示相機焦距,即f=OcO1,OcOw表示相機光心到擺桿自由旋轉(zhuǎn)垂直面之間距離,即d=OcOw.

圖3 視覺傳感測量過程Fig.3 Process of vision sensing measurement

圖4 小車和擺桿局部定位Fig.4 Local location of cart and pendulum

圖5 小車和擺桿邊緣信息Fig.5 Edge information of cart and pendulum

圖6 相機透視投影模型Fig.6 The camera perspective projection model

為了得到目標特征點的物理量,世界坐標系和像素坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中,P=[u v1]T和Pw=[XwYwZw1]T分別是目標特征點在像素坐標系中的二維齊次坐標和世界坐標系中的三維齊次坐標,λ是一個標量因子,相機外部參數(shù)T∈R3和單位正交矩陣R∈R3×3分別表示像素坐標系和世界坐標系之間的平移量和旋轉(zhuǎn)量.由于倒立擺平臺和工業(yè)相機均固定不動,故世界坐標系和相機坐標系始終重合一致,則相機外部參數(shù)為

相機內(nèi)部參數(shù)矩陣K∈R3×3采用相機標定[24]確定,即

其中,αu=f/dx,αv=f/dy.dx和dy分別為每個像素在成像平面坐標系的x軸和y軸方向上的物理距離.s為因成像平面坐標系的坐標軸不互相正交而導致的傾斜因子,不失一般性,設(shè)s=0.

由于世界坐標系和相機坐標系之間沒有發(fā)生旋轉(zhuǎn)和平移,故標量λ的大小就是目標特征點在世界坐標系中的坐標Zw,也是相機光心到擺桿自由旋轉(zhuǎn)的垂直面之間距離d,即λ=d.通過標定可得相機內(nèi)部參數(shù),如表1所示.

表1 相機內(nèi)部參數(shù)Table 1 Intrinsic parameters of camera

通過式(1)可得

由式(2)可知,在獲得目標特征點在像素坐標系中的水平坐標值u后,可計算出目標特征點在世界坐標系中的水平坐標值Xw,即得到小車位移.因此,為了計算小車在像素坐標系中的位移,首先在圖5(a)的小車邊緣圖像中采用行掃描算法[18,21],快速地找出小車的垂直邊緣(列坐標),然后根據(jù)先驗知識定義n個不同的像素行vi(i=1,···,n),如圖7所示.接著,采用逐行掃描可得到對應(yīng)小車邊緣的像素列索引ui(i=1,···,n),最后將其平均值作為小車的實際像素位移,即

圖7 行掃描檢測小車位移Fig.7 Cart position is determined using line scan algorithm

注2.針對以上像素行數(shù)n的取值要大于1,使得通過式(3)取均值可降低檢測誤差,但是n取值也不能過大,否則將大大增加圖像處理花費的計算時間而導致實時性差.根據(jù)實際實驗,本文中取n=3.

3)擺桿偏角計算.由于角度的大小在映射過程中始終保持不變,故擺桿在世界坐標系中的偏角與其在像素坐標系中的偏角相同.二值圖像中的直線通?？捎没舴蜃儞Q(Hough transform)方法[25]檢測并計算傾斜弧度.例如對圖5(b),采用霍夫變換從擺桿邊緣圖像中檢測擺桿偏角,結(jié)果如圖8所示.在實際實驗中,通常霍夫變換檢測出來滿足條件的直線不止一條,故計算所有滿足條件的直線傾斜弧度,并將平均值作為擺桿偏角.

圖8 霍夫變換檢測擺桿偏角Fig.8 Pendulum angle is determined using Hough transform

2.3 計算時間和計算誤差統(tǒng)計分析

1)計算時間統(tǒng)計分析.在圖像采集、小車和擺桿圖像處理定位及狀態(tài)信息計算過程中都需要耗費時間,導致小車位移和擺桿偏角狀態(tài)信息相對相機采樣時刻嚴重滯后.此外,由于光照、背景變化以及擺桿運動變化等因素影響圖像質(zhì)量使得每一幀圖像的處理計算時間不盡相同,具有一定的時變性,因此將圖像處理計算時間視為定時滯研究具有一定缺陷,需要進一步研究計算時間特性對倒立擺性能的具體影響.為了分析圖像處理計算時間的特性,采集了2000幀倒立擺運動圖像,然后通過上述圖像處理算法計算小車位移和擺桿偏角,同時記錄每幀圖像處理耗費的計算時間,如圖9所示.通過統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)計算時間變化范圍為[0.019,0.029]s.若用,分別表示圖像處理計算時間的上下界,則

圖9 計算時間Fig.9 Computational time

2)計算誤差統(tǒng)計分析.在倒立擺實時控制實驗過程中,由于背景、光照及實驗環(huán)境等導致視覺傳感采集的圖像帶有噪聲,進而在計算小車位移和擺桿偏角過程中不可避免地產(chǎn)生計算誤差.然而,由于影響圖像質(zhì)量難以用精確模型描述,故采用數(shù)學統(tǒng)計方法進行誤差分析.首先,通過實驗采集2000幀倒立擺實時運動圖像,同時將每幀圖像采集時刻的光電編碼器值作為基準值,在此運用同一個定時器,同時啟動光電編碼器和工業(yè)相機以保證工業(yè)相機和光電編碼器采樣時刻一致.接著,對每一幀圖像進行處理以計算小車位移和擺桿偏角,將其微分處理后得到小車速度信號和擺桿角速度信號,并與光電編碼器采集信息一一對比,小車位移、小車速度、擺桿偏角、擺桿角速度計算誤差分別如圖10～13所示.最后,從中可以發(fā)現(xiàn)小車位移和速度統(tǒng)計誤差分別是 [?0.0015,+0.0015]m,[?0.0015,+0.0015]m/s,擺桿偏角和角速度統(tǒng)計誤差分別是 [?0.007,+0.007]rad,[?0.35,+0.35]rad/s.若狀態(tài)量的圖像處理計算誤差用err(t)∈R4表示,則

其中,Bω=[0.0015 0.007 0.075 0.35]T,ω(t)∈[?1,+1]是隨機變量.

圖10 小車位移計算誤差統(tǒng)計Fig.10 Computational error statistics of cart position

圖11 小車速度計算誤差統(tǒng)計Fig.11 Computational error statistics of cart velocity

圖12 擺桿偏角計算誤差統(tǒng)計Fig.12 Computational error statistics of pendulum angle

圖13 擺桿角速度誤差統(tǒng)計Fig.13 Computational error statistics of pendulum angular velocity

注3.統(tǒng)計分析表明,運用視覺傳感采集擺體運動圖像,然后通過圖像處理計算擺桿偏角和小車位移所耗費的計算時間具有時變特性且有上下界.同時,背景、光照及實驗環(huán)境等帶來的圖像處理計算誤差也是隨機且具有上下界,故可將計算誤差定義為外部有界干擾.

由于倒立擺穩(wěn)定控制對實時性和精確度要求非常高,故接下來考慮時變圖像處理計算時間和計算誤差,建立視覺倒立擺系統(tǒng)模型并進行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計.

3 系統(tǒng)建模

考慮以上統(tǒng)計的圖像處理計算誤差(式(5)),根據(jù)牛頓運動學定理并在擺桿垂直向上的穩(wěn)定范圍內(nèi)(|θ|≤0.2rad)進行線性化,可建立倒立擺視覺伺服控制系統(tǒng)狀態(tài)空間方程,即

其中,x(t)∈R4是狀態(tài)量,且x1=α,x3=,x2=θ,x4=分別表示小車位移(m)、小車速度(m/s)、擺桿偏角(rad)、擺桿角速度(rad/s);u(t)表示控制輸入信號且為小車加速度;z(t)∈R2表示被調(diào)輸出;ω(t)∈L2[0,∞)是圖像處理計算誤差(式(5));A,B,C,D和Bω是已知常數(shù)矩陣,具體如下:

其中,l為擺桿轉(zhuǎn)動點到質(zhì)心的長度,m為擺桿質(zhì)量,J為擺桿基于轉(zhuǎn)動點的轉(zhuǎn)動慣量,g為重力加速度,α為小車位移,θ為擺桿與垂直方向的偏轉(zhuǎn)角度.

針對系統(tǒng)模型(6),設(shè)計無記憶的全狀態(tài)反饋控制器

由于相機采用事件觸發(fā)機制,當每一幀圖像通過處理計算完小車位移和擺桿偏角后才進行下一幀圖像的采集,如圖14所示,tk表示相機采集第k幀圖像時刻,dk表示第k幀圖像處理花費的計算時間,由式(4)可知其滿足

圖14 信號時序圖Fig.14 Signal timing diagram

從圖14可知,控制信號(7)可改寫為

因為相機采集圖像時刻tk與計算時間dk密切相關(guān),為了建立tk與dk之間關(guān)系,令

其中,d(t)是具有上下界的時變時延,滿足

將式(9)和式(10)代入式(6),可得

從式(12)可以發(fā)現(xiàn),閉環(huán)系統(tǒng)是一個帶有時變時延和外部噪聲干擾的連續(xù)系統(tǒng),對其穩(wěn)定性分析可以描述成如下定義的H∞控制問題.

定義 1.H∞控制問題[26?28].對給定常數(shù)γ>0,如果系統(tǒng)(12)具有如下性質(zhì):

1)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

2)外部擾動ω(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Gωz(s)的H∞范數(shù)不超過給定的常數(shù)γ,即在零初始化條件x(t)=0(t∈[?d2,0])下,滿足‖z(t)‖≤γ‖ω(t)‖,?ω(t)∈L2[0,∞),則稱系統(tǒng) (12)具有H∞性能γ,其中‖z(t)‖ ≤γ‖ω(t)‖反映了系統(tǒng)對外部擾動的抑制能力.

若不考慮圖像處理計算誤差,即ω(t)=0,由以上推理過程可知閉環(huán)系統(tǒng)(12)將退化為

注4.閉環(huán)控制系統(tǒng)(12)不僅考慮了時變計算時間特性,而且考慮了計算誤差,這不同于目前不考慮計算誤差且僅簡單考慮計算時間的研究工作[18?21],從而為深入分析計算時間和計算誤差與系統(tǒng)性能之間的定量關(guān)系奠定了基礎(chǔ).此外,閉環(huán)系統(tǒng)(13)僅考慮時變計算時間特性,這也為后續(xù)對比分析計算誤差對系統(tǒng)性能影響奠定了基礎(chǔ).

4 穩(wěn)定性分析

首先給出以下三個引理.

引理2[30].對于給定的實對稱矩陣R>0,R∈Rn×n,存在標量γ>0以及向量函數(shù)˙x:[?γ,0]→Rn,則以下不等式成立.

引理3[31].對于給定的實對稱矩陣R>0,R∈Rn×n,存在標量0

定理1.對于給定常數(shù)00,如果存在適當維數(shù)實正定對稱矩陣P,Qi(i=1,2),Zj(j=1,2),使得下列矩陣不等式成立

則閉環(huán)系統(tǒng)(12)對所有滿足式(11)的時延均漸近穩(wěn)定,且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ.

證明.構(gòu)造如下Lyapunov泛函:

對V(x(t))關(guān)于時間t求導,可得

將式(19)～(21)相加,可得

應(yīng)用引理2和引理3,可得

將式(23)～(25)代入式(22),可得V(x(t))的導數(shù)為

接下來從兩個方面證明定理1.

1)設(shè)ω(t)=0,?t≥0,則

2)在零初始條件x(t)=0(t∈[?d2,0])下,滿足‖z(t)‖≤γ ‖ω(t)‖,?ω(t)∈L2[0,∞),則

如果Π<0,則

上式兩邊對t從0～∞求積分,可得

在零初始條件下,V(x(t))|t=0=0,則

成立,即‖z(t)‖≤γ‖ω(t)‖成立.由引理1可知,矩陣不等式(17)成立,則Π<0成立.

推論1.對于給定常數(shù)0

則閉環(huán)系統(tǒng)(13)對所有滿足式(11)的時延均漸近穩(wěn)定.

推論1的證明與定理1的證明過程類似,只需將定理1中涉及圖像處理誤差ω(t)項的行和列(即第5、6行,第5、6列)刪除即可,證明略.

注5.定理1證明了受時變時延和計算誤差影響的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,建立了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件與時變時延之間的關(guān)系,給出了系統(tǒng)對計算誤差的抑制水平.推論1證明了受時變時延影響的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,建立了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件與時變時延之間的關(guān)系.

5 控制器設(shè)計

定理1給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性及H∞擾動抑制水平γ與控制器存在的充分條件,然而通過定理1直接解決反饋增益K困難,因為定理1中存在非線性耦合項如PBK,難以直接運用MATLAB的LMI工具箱求解矩陣不等式獲得控制器參數(shù),故需要進行矩陣變換,為此給出定理2.

定理2.對于給定常數(shù)0

則閉環(huán)系統(tǒng)(12)對所有滿足式(11)的時延均是漸近穩(wěn)定的,并在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ,且H∞控制器增益為K=Y X?1.

證明.令定理1中的矩陣不等式(17)分別左乘右乘對角矩陣

和它的轉(zhuǎn)置矩陣,并且令

由(εX?R)R?1(εX?R)T>0,其中R>0是實對稱矩陣,X是適當維數(shù)任意矩陣,可得

推論2.對于給定常數(shù)0

則閉環(huán)系統(tǒng)(13)對所有滿足(11)的時滯均是漸近穩(wěn)定的,且狀態(tài)反饋控制器增益為K=Y X?1.

推論2的證明與定理2的證明過程類似,只需將定理2中涉及計算誤差ω(t)項的行和列(即第5、6行,第5、6列)刪除即可,證明略.

注6.定理2給出了時變時延和H∞性能γ參數(shù)下,系統(tǒng)的控制器參數(shù)可以通過求解式(33)的可行解得到.推論2在給出了時變時延參數(shù)下,通過LMI工具箱求解式(34)的可行解可得控制器參數(shù).

6 仿真和實時控制實驗

首先,構(gòu)建倒立擺視覺伺服控制實驗平臺,如圖15所示.根據(jù)實際實驗平臺,可得倒立擺控制系統(tǒng)模型(6)中A和B參數(shù)為l=0.25m,m=0.109kg,J=0.009083kg·m2,g=9.81m/s2.根據(jù)式(4)可得

圖15 實驗平臺Fig.15 Experimental platform

常量參數(shù)γ,ε1,ε2經(jīng)過多次實驗,可設(shè)置為γ=2.400,ε1=0.083,ε2=0.104.

然后針對閉環(huán)系統(tǒng)(12)和(13),求解定理2和推論2的式(33)和式(34),可得控制增益分別為

下面從兩個方面驗證所提方法的合理性和有效性.

1)分析圖像處理計算誤差對倒立擺系統(tǒng)性能的影響

分別從仿真和實際平臺實驗對控制增益K1和K2進行驗證,設(shè)置狀態(tài)初始值均為x0=[0 0.100 0 0]T.

仿真實驗:對控制增益K1和K2的仿真結(jié)果分別如圖16和圖17所示.圖16是考慮圖像處理計算誤差設(shè)計控制器(控制律K1)的控制效果曲線,圖17是不考慮圖像處理誤差設(shè)計控制器(控制律K2)的控制效果曲線.對比圖16和圖17可以發(fā)現(xiàn),在控制律K1作用下,小車和擺桿均很快進入穩(wěn)定狀態(tài)且波動很小,而在控制律K2作用下,雖然擺桿可進入穩(wěn)定狀態(tài),但是小車在軌道上來回大偏移量移動,控制律K1的控制性能明顯優(yōu)于控制律K2的控制性能.

實際平臺實驗:在圖15所示的實驗平臺上,分別采用控制增益K1和K2進行實時控制實驗.實驗驗證控制增益K1可實現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定控制,其實時控制效果如圖18所示,小車和擺桿均在5s內(nèi)進入穩(wěn)定狀態(tài),其穩(wěn)定性能比較良好.由于實際實驗環(huán)境更加復雜多變,多重因素影響倒立擺的實際穩(wěn)定性能,理論仿真不可能完全模擬實際條件,因此實際的實時控制實驗效果跟理論仿真存在一定的差異是合理的.然而,控制增益K2直接無法實現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定控制.

圖16 在控制律K1下的小車位移和擺桿偏角(仿真)Fig.16 Cart position and pendulum angle in controller K1(simulation)

圖17 在控制律K2下的小車位移和擺桿偏角(仿真)Fig.17 Cart position and pendulum angle in controller K2(simulation)

圖18 在控制律K1下的小車位移和擺桿偏角(實時控制)Fig.18 Cart position and pendulum angle in controller K1(real-time control)

仿真和實際平臺實驗結(jié)果顯示,在同等常量參數(shù)下,定理2求解的控制律K1的控制性能明顯優(yōu)于推論2求解的控制律K2的控制性能,由此表明對于含有視覺伺服的控制系統(tǒng)研究中,考慮圖像處理計算誤差對系統(tǒng)性能的影響非常必要.

2)分析圖像處理計算時間對倒立擺系統(tǒng)性能的影響

在控制增益K1下,通過仿真實驗可得保證閉環(huán)系統(tǒng)(12)穩(wěn)定所允許的時變計算時延最大上界d2=0.089s,即所允許的圖像處理計算時間最大上界=0.045s,即當d2>0.089s(即>0.045s)后,系統(tǒng)(12)發(fā)散不可控.

為了詳細分析圖像處理計算時間對倒立擺系統(tǒng)性能的實際影響,在圖像處理過程中加上一定的計算時間,使分別達到0.029s,0.034s,0.037s,0.039s,0.040s,進而在控制增益K1下依次進行倒立擺實時控制實驗,并設(shè)置狀態(tài)初始初始值均為x0=[0 0 0 0]T.實時控制實驗的小車位移和擺桿偏角分別如圖19和圖20所示.從中可以發(fā)現(xiàn):當=0.029s/0.034s/0.038s時,小車位移和擺桿偏角曲線圖沒有明顯差異,隨著增大,小車位移和擺桿偏角曲線圖波動略微增大,但沒有明顯變化,但是當=0.039s/0.040s時,小車位移和擺桿偏角曲線出現(xiàn)劇烈波動并且最終發(fā)散,失去穩(wěn)定.

通過實時控制實驗發(fā)現(xiàn),倒立擺能夠穩(wěn)定控制的=0.038s,略小于仿真實驗得到的臨界值=0.045s,因為實際實驗環(huán)境比仿真環(huán)境更加復雜,理論仿真不可能完全與實際環(huán)境一致,故實際實驗得到的上界值小于仿真實驗得到的上界值是合理的.此外,實驗尤其表明,圖像處理計算時間對倒立擺系統(tǒng)性能具有非常明顯影響,故考慮其時變特性設(shè)計控制器更加符合實際.

7 結(jié)論

圖19 不同圖像處理計算時間上界的小車位移Fig.19Cart position in different upper bound of image processing computational time

圖20 不同圖像處理計算時間上界的擺桿偏角Fig.20Pendulum angle in different upper bound of image processing computational time

本文主要研究帶有時變圖像處理計算時間和計算誤差的倒立擺視覺伺服實時控制問題.首先研究設(shè)計了一種網(wǎng)絡(luò)化倒立擺視覺伺服控制實驗平臺,提出了小車位移和擺桿偏角的視覺傳感測量實時計算方法,并統(tǒng)計分析了圖像處理計算時間和計算誤差特性,建立了帶有時變計算時間和計算誤差的倒立擺視覺控制系統(tǒng)閉環(huán)模型,證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性并建立了反映圖像處理計算時間與系統(tǒng)穩(wěn)定性能之間的關(guān)系且給出了系統(tǒng)對計算誤差的擾動抑制水平γ,并進行了H∞控制器設(shè)計.與目前不考慮計算時間和計算誤差或?qū)⒂嬎銜r間視為定時滯進行研究倒立擺視覺實時控制方法相比[18?21],本文提出的帶時變計算時間和計算誤差的倒立擺視覺H∞控制研究更加具有優(yōu)勢.另外,本文研究內(nèi)容可進一步拓展到雙并聯(lián)倒立擺視覺伺服控制系統(tǒng),這是后續(xù)一項十分有價值的研究工作.