張鳳曉， 張麗平， 吳 濤，2

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601; 2.安徽大學(xué) 計算機智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039)

0 引 言

模糊集概念[1—2]被提出后，被廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計決策、系統(tǒng)工程、模式識別、人工智能等領(lǐng)域。Zadeh[3]在1975年提出二型模糊數(shù)用來解決不確定問題，但由于計算復(fù)雜，通常采用Mendel提出的區(qū)間二型模糊數(shù)[4]，區(qū)間二型模糊數(shù)是二型模糊數(shù)的特例。Zadeh[5]于2011年提出了Z-numbers的概念，Z-numbers的構(gòu)造更好地考慮了信息的“可信賴”程度。Wang[6]根據(jù)Z-numbers和語言評價集，提出了語言Z-numbers，并定義了相關(guān)的一些算子。Xu[7]提出了不確定語言型變量，并基于語言型偏好關(guān)系提出了語言型變量的集結(jié)算子，這為語言型模糊數(shù)的決策提供了便利。Kang[8—9]等提出將Z-numbers轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)來計算不確定問題，文獻[10]將Z-numbers理論應(yīng)用于關(guān)鍵緩存計算方法中。Bhanu[11]在Zadeh的基礎(chǔ)上提出了一些Z-numbers的算子。Bao[12]提出了語言型集合的語言評估尺度，將語言型集合轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，為比較語言型模糊集之間的優(yōu)劣性提供了有力的工具。Wang[13]和Peng[14]在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了新的語言型尺度函數(shù)，并運用在猶豫不確定語言型Z-numbers中，為語言型模糊集在實際決策應(yīng)用做出了貢獻。為了更好地表達(dá)現(xiàn)實環(huán)境中的不確定性，本文將區(qū)間二型模糊語言運用在Z-numbers中，以便更好地解決不確定問題。

提出了區(qū)間二型模糊語言Z-numbers(IT2FLZNs)在多屬性群決策中的應(yīng)用。首先，給出了關(guān)于區(qū)間二型模糊集及Z-numbers的相關(guān)概念，同時，提出了IT2FLZNs的定義，并給出了IT2FLZNs的相似度，利用相似度，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型求解各專家的權(quán)重及各屬性的權(quán)重向量，并通過親密度來確定折中方案。通過一個銀行流動風(fēng)險的實例，說明了方法的可行性與有效性。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 相關(guān)定義

定義1(二型模糊集[15]) 給定論域X及其元素x∈X，二型模糊集合A可以由其隸屬函數(shù)μA(x,u)，μ∈Jx?[0,1]表示為

A={((x,u),μA(x,u)):?x∈X,u∈Jx∈[0,1]}

(1)

其中，0≤μA(x,u)≤1，x是主變量，Jx是主隸屬度值域，u是次變量，uA(x,u)是次隸屬函數(shù)。

若論域X是連續(xù)的，則式(1)可以表示為

(2)

定義2 (區(qū)間二型模糊集[4]) 在二型模糊集中，當(dāng)所有的μA(x,u)=1時，集合A為區(qū)間二型模糊集合，可表示為

(3)

為了方便，定義A=(AU,AL)，一個區(qū)間梯形二型模糊數(shù)記為

(4)

1.2 Z-numbers 模糊數(shù)

模糊集的創(chuàng)始人Zadeh 教授在經(jīng)典模糊集的基礎(chǔ)上，提出了Z-numbers 模糊集，與經(jīng)典模糊集理論相比，Z-numbers 模糊集考慮了信息的可靠性程度，因而能更好地表達(dá)現(xiàn)實環(huán)境中的不確定性。

定義3( Z-numbers)[5]一個Z-numberZ是由一對有序的模糊數(shù)組成， 記為Z=(A,B)。A和B用來描述隨機變量X的值，其中第一個元素A是對隨機變量X的值的一個限制，第二個元素B表示的是對A可靠性程度的測量。例如，A和B用自然語言表示可為(好，可能)。

1.3 語言尺度函數(shù)

定義4(語言尺度函數(shù))[16]假設(shè)si∈S是一個語言術(shù)語，其中S={si|i=0,1,2，…，2t}是語言型術(shù)語的集合。如果一個θi∈[0,1]是一個數(shù)值，語言尺度函數(shù)是從si到θi(i=0,1,…，2t)的一個映射f，被定義如下：

f:si→θi(i=0,1,…,2t)

(5)

并且， 0≤θ0<θ1<…≤θ2t≤1，所以θi可以看作是決策者對選擇si的一種偏好，si越優(yōu)則θi越大，偏好越強烈。

2 IT2FLZNs的運算及相似度計算

2.1 概 念

定義5(IT2FLZNs) 假設(shè)X是一個論域，A是一個區(qū)間二型模糊集合，B是一個包含奇數(shù)個離散有序語言型術(shù)語的集合，則在論域X上，一個區(qū)間二型模糊語言Z-number (IT2FLZN)可以表示如下：

例1 假設(shè)t=3，A={非常低，低，中低，中，中高，高，非常高} 是一個區(qū)間二型模糊集合的語言集，B={極其不可能，非常不可能，不可能，偶爾，可能，非常可能，極其可能} 是對A可靠性測量的有序性語言集。則一個語言Z-number集合可表示為

2.2 基本運算

定義6 假設(shè)Zi，Zj是兩個區(qū)間二型模糊語言Z-numbers：

其中，sφi,sφj∈S={si|i=0,1,2，…,2t}，設(shè)f為一個語言尺度函數(shù)，λ>0，則IT2FLZNs運算如下：

(1) 加法運算。Zi⊕Zj=

(2) 減法運算。Zi-Zj=

(3) 乘法運算。Zi?Zj=

(4) 數(shù)乘運算。λZi=

Z1⊕Z2=

Z1-Z2=

Z1?Z2=

2Z1=

ZC=

2.3 相似度分析

定義7 (相似度) 設(shè)zi,zj是兩個IT2FLZNs，其中：

則zi,zj的相似度為

Sim(Zi,Zj)=1-d(Zi,Zj)

(6)

其中，

(7)

為zi,zj之間的距離，Sim(Zi,Zj)越大，則相似度越大。

性質(zhì)1Sim(Zi,Zj)∈[0,1]

證明很顯然，d(Zi,Zj)為歐氏距離，且d(Zi,Zj)∈[0,1]，所以性質(zhì)1得證。

性質(zhì)2Sim(Zi,Zj)=Sim(Zj,Zi)

證明由定義7本身得證。

性質(zhì)3Sim(Zi,Zj)=1，當(dāng)且僅當(dāng)Zi=Zj。

證明充分性：如果Zi=Zj，則d(Zi,Zj)=0，所以Sim(Zi,Zj)=1。必要性：如果Sim(Zi,Zj)=1，則d(Zi,Zj)=0。由距離的定義可知Zi=Zj。

3 IT2FLZNs的多屬性群決策方法

3.1 決策問題描述

在群決策過程中，需要尊重每位專家的權(quán)威性，所以專家自身的權(quán)重需要考慮。由于相似度可以表示評估信息的相似性，所以當(dāng)某一專家相似度矩陣值更大時，說明該專家與整體保持度高，差異性小，所給信息更重要，應(yīng)該給該專家更大的權(quán)重，由此構(gòu)建模型如下：

(8)

其中，Δ表示專家權(quán)重信息部分已知。

若在某一相同屬性下，兩個方案之間相似度很小，則屬性扮演更重要的作用，應(yīng)給與更大的權(quán)重，若相似度很大，則屬性對方案選擇影響不大，對應(yīng)權(quán)重較小，由此，構(gòu)建如下線性優(yōu)化模型：

(9)

其中，Δ1表示屬性權(quán)重信息部分已知。

3.2 決策步驟

步驟3 通過式(8)計算專家的權(quán)重向量λ=(λ1,λ2,…λq)。

步驟4 根據(jù)專家的權(quán)重值，利用區(qū)間二型加權(quán)平均算子匯總?cè)后w決策矩陣R=(zij)m×n。

步驟5 通過式(9)計算每個屬性的權(quán)重向量w=(w1,w2,…,wn)。

步驟7 計算各方案的群體效用值U(ai)、個體遺憾值R(ai)和親密度Q(ai)，有:

(10)

(11)

(12)

步驟8 分別根據(jù)U(ai)、R(ai)和Q(ai)對方案進行升序排列,得到3個排序,數(shù)值越小表明方案越優(yōu)。

步驟9 確定折中方案。 設(shè)按照Q(ai)值升序的排列結(jié)果為a(1),a(2),…,a(m)。 如果a(1)同時滿足以下兩個條件,則a(1)為折中方案:

4 實例分析

流動風(fēng)險對銀行自身的穩(wěn)定性十分重要，流動風(fēng)險指的是銀行在合同到期時無法按時、有效地滿足其預(yù)期的合同支付義務(wù)，因此，銀行的流動性能夠持續(xù)保證其在技術(shù)上的償付能力，而流動性風(fēng)險評估對于世界各地的銀行來說都是非常重要的。假設(shè)有3家銀行A=(a1,a2,a3)將被評估，而在現(xiàn)實中會考慮4種屬性:(c1)確?，F(xiàn)金流入和現(xiàn)金流出之間的適當(dāng)平衡的能力；(c2)協(xié)調(diào)銀行發(fā)行短期、中期和長期融資的能力；(c3)優(yōu)化再融資成本的能力，在流動性和盈利能力之間取得平衡；(c4)通過現(xiàn)金池技術(shù)或其他優(yōu)化工具，優(yōu)化銀行結(jié)構(gòu)為銀行集團的能力。專家權(quán)重信息為Δ={0.1≤λ1≤0.4;0.15≤λ2≤0.35;0.2≤λ3≤0.35}，Δ1={0.1≤w1≤0.4;0.15≤w2≤0.35;0.2≤w3≤0.4;0.2≤w4≤0.3}，區(qū)間二型模糊集合所對應(yīng)模糊數(shù)見文獻[18]的表1，原始評估信息如表1—表3所示：

表1 專家d1決策矩陣Table 1 Expert d1 decision matrix

表2 專家d2決策矩陣Table 2 Expert d2 decision matrix

表3 專家d3決策矩陣Table 3 Expert d3 decision matrix

步驟3 通過模型式(8)，計算專家權(quán)重如下：

則專家權(quán)重為λ={0.3,0.35,0.35}。

步驟4 根據(jù)專家的權(quán)重值，可以利用區(qū)間二型加權(quán)平均算子匯總決策信息如下：

R=(zij)m×n：

z11={(0.588 4,0.729 9,0.729 9,0.818 3;1,1),(0.659 1,0.729 9,0.729 9,0.774 1;0.9,0.9)}
z12={(0.420 3,0.589 4,0.589 4,0.731 1;1,1),(0.504 9,0.589 4,0.589 4,0.660 3;0.9,0.9)}
z13={(0.527 2,0.709 1,0.709 1,0.827 5;1,1),(0.618 2,0.709 1,0.709 1,0.768 3;0.9,0.9)}
z14={(0.757 7,0.880 9,0.880 9,0.912 9;1,1),(0.819 3,0.880 9,0.880 9,0.896 9;0.9,0.9)}
z21={(0.697 6,0.846 7,0.846 7,0.905 3;1,1),(0.772 1,0.846 7,0.846 7,0.876 0;0.9,0.9)}
z22={(0.617 3,0.755 6,0.755 6,0.829 9;1,1),(0.686 4,0.755 6,0.755 6,0.792 7;0.9,0.9)}
z23={(0.601 4,0.704 0,0.704 0,0.753 5;1,1),(0.652 7,0.704 0,0.704 0,0.728 7;0.9,0.9)}z24={(0.571 5,0.734 8,0.734 8,0.816 5;1,1),(0.663 2,0.734 8,0.734 8,0.775 7;0.9,0.9)}
z31={(0.645 1,0.806 4,0.806 4,0.908 4;1,1),(0.725 8,0.806 4,0.806 4,0.857 4;0.9,0.9)}
z32={(0.488 7,0.642 5,0.642 5,0.744 1;1,1),(0.565 6,0.642 5,0.642 5,0.693 3;0.9,0.9)}
z33={(0.595 8,0.734 1,0.734 1,0.819 2;1,1),(0.664 9,0.734 1,0.734 1,0.776 6;0.9,0.9)}
z34={(0.652 3,0.793 8,0.793 8,0.850 2;1,1),(0.723 0,0.793 8,0.793 8,0.822 0;0.9,0.9)}

步驟5 通過模型式(9)，計算屬性的權(quán)重為w=(0.15,0.35,0.2,0.3)。

步驟6 對群體決策矩陣R,確定方案正理想解g+={z21,z22,z33,z14}和負(fù)理想g-={z11,z12,z23,z24}。

步驟7 根據(jù)式(8)—式(10)計算各方案的群體效用值U(ai)、個體遺憾值R(ai)和親密度Q(ai)，U(a1)=0.697 5,U(a2)=0.5,U(a3)=0.610 8；R(a1)=0.35，R(a2)=0.3，R(a3)=0.283 4。

根據(jù)式(10)，令θ=0.5，計算親密度為Q(a1)=1，Q(a2)=0.124 6，Q(a1)=0.280 5。

步驟8 分別根據(jù)U(ai)、R(ai)和Q(ai)對方案進行升序排列,得到3個排序：

U(ai):a1?a3?a2
R(ai):a1?a2?a3
Q(ai):a1?a3?a2

在實際決策中, 根據(jù)各專家不同的決策態(tài)度, 可以采取不同的偏好系數(shù), 即θ可取 [0,1]的任何值。下面分析偏好系數(shù)θ的變化對最終排序結(jié)果的影響,計算結(jié)果如表4所示。

表4 偏好系數(shù)θ對排序的影響Table 4 Influence of preferece coefficient θ on sorting

顯然, 從表4可以看出θ會對結(jié)果產(chǎn)生影響。當(dāng)θ取值為[0,0.3] 即專家較多考慮個體遺憾時,折中方案為a2,a3；當(dāng)θ取值為0.9 即較多考慮群體效用時，折中方案為a2。另外,當(dāng)θ分別取兩個極端值,即當(dāng)θ=0，只考慮個體遺憾時,排序結(jié)果等價于依據(jù)個體遺憾最小R(ai)進行排序；當(dāng)θ=1，即只考慮群體效用時，排序結(jié)果等價于依據(jù)群體效用最大U(a1)進行排序。

因此，θ描述了最大群體效用和最小個體遺憾之間的妥協(xié)，θ值的變化可以表達(dá)專家不同的主觀偏好，提高決策的靈活性和可用性。

5 結(jié)束語

基于區(qū)間二型模糊集合在不確定問題中的廣泛應(yīng)用，以及Z-numbers對自然語言的客觀信息和主觀理解成分的并列表達(dá)，更好地考慮了信息的“可信賴”程度。由此，提出了區(qū)間二型模糊語言Z-numbers，并定義了相關(guān)算子，利用相似度，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決專家及屬性權(quán)重，并通過群體效用值來確定折中方案。通過一個銀行流動風(fēng)險的實例，說明了該方法的可行性與有效性。下一步將考慮區(qū)間二型模糊集合與Z-numbers在決策中的其他應(yīng)用。