李 季， 張付臣

(重慶工商大學 數學與統(tǒng)計學院，重慶 400067)

0 引 言

當今社會，淡水資源嚴重稀缺，甚至很多地區(qū)水資源嚴重缺乏，雖然長江流域附近有著長江提供大量的水資源，但是隨著社會的發(fā)展，工農業(yè)的發(fā)展，水污染越來越嚴重，例如工廠污水的排放，過往船只丟棄的廢棄物，甚至江邊居民丟棄的各種污染物都會不同程度地對長江流域水資源造成污染。如何清理長江中的水污染以及如何計算出已經被污染部分與未被污染部分之間的臨界面就變得非常重要[1-6]。成功找到臨界面，一方面能夠防止污染的繼續(xù)，讓未被污染的水層保證不被繼續(xù)污染，另一方面也可以采取各種方式對已經被污染的水資源進行處理，合理利用這部分水資源做其他用處[7-11]。該文章就是在這種背景下，通過假設污染水層與未污染水層不能進行物質交換，并且兩者之間的臨界面為可擴散臨界面的情況下建模，研究該臨界面的存在性。水層結構如圖1所示。

圖1 水層結構示意圖Fig.1 Structure of the water layer

1 主要數學結果

通過Darcy定律和質量守恒定律進行建模，可以得到一個強耦合拋物線方程組：

其中Tf(h)=h2-h,Tp(h)=h, ，δ

針對這個方程組，有如下存在性定理：

(1)

使得h(0,·)=h0,0≤h(t,y)≤h2,?(t,y)∈[0,T]×Ω。

2 存在性定理的證明

首先介紹2個引理：

引理1[11]假設X是一個Hilbert空間，其中的元素f∈L2(0,T,X)，使得?tf∈L2(0,T,X′)，有以下不等式：

(2)

引理2[11]方程的解(hk,φ(hk))k∈N，滿足以下不等式(3)：

φ(hk(·,t-ε))))dt≤C·ε,?ε∈[0,T]

(3)

存在性定理的證明如下：

(4)

利用Schauder定理，證明?T>0,k∈N，方程(4)都有解uk∈W(0,T),使得uk(0,·)=u0。首先固定k∈N，?u∈V，則

所以，?u=u(t)∈L2(0,T,V)，有

另外，?g∈H,u∈V，有

所以，可以得到?g∈L2(0,T,V)，存在惟一解u=:Ψ(g)∈W(0,T)，滿足

然后定義一個映射:

Ψ:L2(0,T,H1(Ω))→L2(0,T,H1(Ω))

其中(h,f)是方程組的解,顯然所有這個映射的不動點都是式(1)的解，然后再證明這是一個從W(0,T)到W(0,T)的凸的、非空的、有界閉的映射，并且在W(0,T)上連續(xù)即可。

證明?k,?(t,x)∈[0,T]×Ω,都有0≤hk(t,x)≤h2；固定k≥0,η>0，假設uη(t,y):=((u+hD)(t,y)-η-h2)+，明顯uη∈L2(0,T,V)，并且▽uη=▽(u+hD)χ(u+hD>η+h2)，然后假設w(t,y)=uη(t,y)χ(0,τ)(t),τ∈(0,T]，代入方程式(1)中，再利用Mignot引理，其中假設f(λ):=(λ-η-h2)+，就可以證明?τ∈[0,T],(u+hD)(τ,y)≤h2。

同理，可以證明?τ∈[0,T],(u+hD)(τ,y)≥0。

證明數列{fk}k在L2(0,T,H1)中有界,這里主要利用Cauchy-Schwarz不等式、Gronwall不等式和Young不等式，通過分項積分，容易得到：

最后利用引理1和引理2證明所有序列{uk}k中的弱極限點u∈W(0,T)滿足方程(4)。這樣存在性定理就得證了。

3 結 論

針對長江水污染問題，利用Darcy定律和質量守恒定律，在污染水層和未污染水層為受限制含水層的假設下，同時假設它們之間的臨界面光滑，建立一個強耦合拋物線方程和構造截斷函數，利用Schauder定理，證明了該模型中臨界面解的存在性，為研究水污染和治理提供了理論依據。